21. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška DDD příklad l ■_, l I učo c j c ľ j ľ j ľ ľ j ľ j body c ľ -_i ľ j _D IE3H5E1B9 Extrémy (5 bodů): Krabice ve tvaru kvádru je umístěna v prvním Příklad 1 oktantu (x, y, z > 0) tak, že jeden vrchol je umístěn v počátku a s ním incidentní stěny leží v souřadných rovinách. Protější vrchol V = [x, y, z] leží na ploše 2x2 + 5y2 + z = 1. (a) Zapište vztah pro objem f (x, y) kvádru v závislosti na x, y a explicitně vyjádřete přípustný obor pro hodnoty x, y. (b) Nalezněte maximum / pro hodnoty x, y v přípustném oboru (nezapomeňte zdůvodnit, že jde skutečně o globální maximum). Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 21. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška 000 l příklad , 2 příklad l j I— učo c j c j ľ j ľ j ľ j ľ j ľ j body c j ľ j ľ j _D IE3H5E1B9 Integrálni počet (6 bodů): Uvažujte oblast M v 1. kvadrantu omezenou PffJ^J^fJ 2 grafy funkcí y = y = 2x2,xy = 3 a xy = 6. (a) Vypočtěte Jacobián transformace -u = x2/y, v = xy a vyjádřete drrdy pomocí dít d-u. (b) Vypočtěte obsah oblasti M pomocí integrace v souřadnicích uv (tedy po výše uvedené transformaci). (c) Výsledek z části b) vyjádřete jako linární kombinaci prvků množiny {ln n; n G N} s celočíselnými koeficienty. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 21. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška DDD příklad uco body D IE3H5E1B3 Grafy (5 bodů): Užijte Bellman-Fordův algoritmus k nalezení nejkratších PffJ^J^fJ 3 cest z vrcholu S do všech ostatních vrcholů. Hrany procházejte v abecedním pořadí dle počátečního (v případě shodnosti dle koncového) vrcholu. Vhodným způsobem zapisujte jednotlivé průchody algoritmu, aby bylo možné Váš postup rekonstruovat. Uveďte, jak zjistíte (ne)existenci záporného cyklu. Zakreslete strom nejkratších cest z S do ostatních vrcholů a uveďte, na základě jakých dat je konstruován. 12*^?)— 2M G ) 2 Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 21. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška 000 l příklad , H příklad l ■_, l I učo c j c ľ j ľ j ľ ľ j ľ j body c ľ -_i ľ j _D IE3H5E1B9 Grafy (4 body): Příklad 4 (a) Zformulujte Diracovu a Oreho větu o hamiltonovských grafech a udejte příklad grafu, který vyhovuje předpokladům Oreho věty, ale nikoliv věty Diracovy. (b) Dokažte, že je-li G rovinný na alespoň 11 vrcholech, potom jeho doplněk rovinný není. (c) Udejte příklad (a zdůvodněte jeho správnost) souvislého grafu se šesti vrcholy, který není eulerovský a je hamiltonovský. (d) Rozhodněte, zda existuje pěstěný strom s kódem 000101110001101011. Pokud neexistuje, zdůvodněte proč, v opačném případě jej nakreslete. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 21. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška DDDE příklad l ■_, l I učo c j c ľ j ľ j ľ ľ j ľ j body c ľ -_i ľ j _D IE3H5E1B9 Extrémy (5 bodů): Krabice ve tvaru kvádru je umístěna v prvním Příklad 1 oktantu (x, y, z > 0) tak, že jeden vrchol je umístěn v počátku a s ním incidentní stěny leží v souřadných rovinách. Protější vrchol V = [x, y, z] leží na ploše o rovnici 3x2 + Ay2 + z = 1. (a) Zapište vztah pro objem f (x, y) kvádru v závislosti na x, y a explicitně vyjádřete přípustný obor pro hodnoty x, y. (b) Nalezněte maximum / pro hodnoty x, y v přípustném oboru (nezapomeňte zdůvodnit, že jde skutečně o globální maximum). Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 21. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška D D D Ě příklad , 2 příklad l j I— učo c j c j ľ j ľ j ľ j ľ j ľ j body c j ľ j ľ j _D IE3H5E1B9 Integrálni počet (6 bodů): Uvažujte oblast M v 1. kvadrantu omezenou PffJ^J^fJ 2 grafy funkcí y = y>V = ^x2,xV = 2 a xy = 5. (a) Vypočtěte Jacobián transformace -u = x2/y, v = xy a vyjádřete drrdy pomocí dít d-u. (b) Vypočtěte obsah oblasti M pomocí integrace v souřadnicích uv (tedy po výše uvedené transformaci). (c) Výsledek z části b) vyjádřete jako linární kombinaci prvků množiny {ln n; n G N} s celočíselnými koeficienty. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 21. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška DDDE příklad 3 uco body D IE3H5E1B3 Grafy (5 bodů): Užijte Bellman-Fordův algoritmus k nalezení nejkratších PffJ^J^fJ 3 cest z vrcholu S do všech ostatních vrcholů. Hrany procházejte v abecedním pořadí dle počátečního (v případě shodnosti dle koncového) vrcholu. Vhodným způsobem zapisujte jednotlivé průchody algoritmu, aby bylo možné Váš postup rekonstruovat. Uveďte, jak zjistíte (ne)existenci záporného cyklu. Zakreslete strom nejkratších cest z S do ostatních vrcholů a uveďte, na základě jakých datje konstruován. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 21. ledna 2013_MB103 Matematika III_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška DDDE :»H příklad l ■_, l I učo c j c ľ j ľ j ľ ľ j ľ j body c ľ -_i ľ j _D IE3H5E1B9 Grafy (4 body): Příklad 4 (a) Rozhodněte, zda existuje pěstěný strom s kódem 0010000011011010011100101111. Pokud neexistuje, zdůvodněte proč, v opačném případě jej nakreslete. (b) Udejte příklad (a zdůvodněte jeho správnost) souvislého grafu se šesti vrcholy, který je eulerovský a není hamiltonovský. (c) Určete všechna možná skóre grafů na 6 vrcholech, z nichž čtyři vrcholy mají předepsané stupně 5, 5, 3, 2. (d) Uveďte Eulerovu formuli pro souvislé rovinné grafy a s jejím využitím dokažte omezení \E\ < 3\V\ — 6 pro počet hran v závislosti na počtu vrcholů v souvislém rovinném grafu. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.