Matematika III, 6. cvičení
Absolutní extrémy funkcí více proměnných na kompaktní množině
Na kompaktní (tj. uzavřené a ohraničené) množině M nabývá funkce / svých absolutních (globálních) extrémů buď ve stacionárních bodech ležících v M nebo na hranici množiny M. Při určování absolutních extrémů funkce / postupujeme takto:
(1) určíme stacionární body uvnitř M, případně body, ve kterých nějaká parciální derivace funkce / neexistuje;
(2) vyšetříme funkci / na hranici M;
(3) vybereme největší a nejmenší dosaženou funkční hodnotu.
V bodě (2), který bývá obvykle nejtěžší, se dá pro funkci dvou proměnných postupovat následujícím způsobem:
Na částech Mj hranice M si vyjádříme y pomocí x nebo naopak (hranici M rozdělíme na takové části Mi, aby vyjádření jedné proměnné pomocí druhé nebylo moc komplikované), a to pak dosadíme do předpisu funkce /, čímž pro každou část Mj dostaneme novou funkci §i jedné proměnné. U každé funkce gi určíme také uzavřený interval (protože M je uzavřená, bude také interval uzavřený), ze kterého je proměnná této funkce, a na tomto intervalu vyšetříme funkci gi, tj. určíme funkční hodnoty funkce gi v krajních bodech intervalu, v jejích stacionárních bodech ležících uvnitř intervalu a případně v bodech uvnitř intervalu, ve kterých neexistuje g^. Tyto hodnoty funkce gi budou stejné jako hodnoty funkce / v odpovídajících bodech na hranici M.
Příklad 98. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) = (2x2 + 3y2)e~(x2+y2^ na množině M : x2 + y2 < 4.
Výsledek. Největší hodnota je | pro [x,y] = [0, ±1], nejmenší hodnota je 0 pro [x,y] = [0, 0].
Příklad 99. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) = xy — x2 — y2 + x + y na trojúhelníku M ohraničeném souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0.
Výsledek. Jediným stacionárním bodem je [1,1], v němž je absolutní maximum /(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 je v bodech [4, 0] a [0,4] ležících na hranici.
Příklad 100. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f{x, y) = x2 + 2xy + 2y2 — 3x — 5y na trojúhelníku M s vrcholy A = [0, 2], B = [3, 0] a C = [0, -1].
Výsledek. Absolutní maximum je 7 v bodě [0,-1], absolutní minimum je —^ v bodě [|,1].
Funkční hodnoty v kandidátech na extrém jsou: /(^, 1) = — if,/(0, — 1) = 7,/(0, 2) = — 2,/(3, 0) = 0  f(0 5) = -25   f(9_  7) = _49   f/36  _5_) = _25 U'./VU'4J 8 'JV 10 '5/ 20 'JV 17 >     17) 17-
Příklad 101.  Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) = 2x2 + Ay2 na množině M : x2 +y2 < 9.
Výsledek. Absolutní maximum je 36 v bodech [0, ±3], absolutní minimum je 0 v bodě [0, 0].
Příklad 102. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f{x,y) = x2 + 3xy + y2 + 2 na množině M ohraničené grafy funkcí y = 2 a y = \x\.
Výsledek. Absolutní maximum je 22 v bodě [2, 2], absolutní minimum je —2 v bodě [—2, 2].
Příklad 103. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f{x,y) = x2 + 2xy — Ax + 8y na množině určené podmínkami 0<x<l,0<y<2.
16
Výsledek. Absolutní maximum je 17 v bodě [1, 2], absolutní minimum je —3 v bodě [1, 0].
Příklad 104. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y, z) = x + 2y + 3z na množině M : x2 + y2 < z < 1.
Nápověda. Protože f'x = 1, f = 2, f'z = 3, nejsou žádné stacionární body, tudíž hledané hodnoty budou na hranici M, tj. na množině M\ U M2, kde M\ : x2 + y2 = z < 1, M2 : x2 + y2 < z = 1. Pro Mi máme funkci f\(x, y) = x + 2y + 3(x2 + y2) na množině N\ : x2 + y2 < 1, pro M2 máme funkci /2(a;, y) = x + 2y + 3 na množině N2 : x2 + y2 < 1. Pro funkce dvou proměnných už to (snad) umíme dořešit.
Výsledek. Absolutní maximum je 3 + -^g v bodě [-^?, 1], absolutní minimum je — ^ v bodě r_I _i _Li
L   6'    3' 36J-
V některých speciálních případech (pokud např. umíme sestrojit vrstevnice funkce, jejíž extrémy hledáme, a pokud množina, na níž tyto extrémy hledáme, je „dostatečně jednoduchá") můžeme použít rychlejší metodu, kterou si objasníme na následujícím příkladu:
Příklad 105. Pomoct vrstevnic funkce f(x, y) = x — y určete její největší a nejmenšt hodnotu na množině M : x2 + y2 < 1.
Výsledek. Absolutní maximum v bodě [l/\/2, —1/V2], jeho hodnota je \/2, absolutní minimum v bodě [—1/\/2, l/\/2]> jeho hodnota je —y/2.
Příklad 106. Pomoct vrstevnic funkce f(x, y) = xy určete její největší a nejmenší hodnotu na množině M : \x\ + \y\ < 1.
Výsledek. Absolutní maximum je ^ v bodech [±^,±^], absolutní minimum je —^ v bodech
Příklad 107. Pomocí vrstevnic funkce f(x, y) = x2 — Ax + y2 — Ay + 10 určete její největší a nejmenší hodnotu na množině M : x2 + y2 < 1.
Výsledek. Absolutní maximum je 11 + 4V2 v bodě [-1/72,-1/72], absolutní minimum je 11 - 472 v bodě [1/72,1/72].
Příklad 108. Pomocí vrstevnic funkce f (x,y) = + určete její největší a nejmenší hodnotu na množině M : (x — l)2 + (y — l)2 < 1.
Výsledek. Absolutní maximum je 2 + 72 v bodě [1 + 1/72,1 + 1/72], absolutní minimum je 2 - 72 v bodě [1 - 1/72,1 - 1/72].
Jacobiho matice zobrazení z IR2 do IR2 a jeho inverze
Nechť F = (f, g) : M2 —> M2 a předpokládejme, že funkce /, 5 (tj. složky zobrazení F) mají v bodě [xo,yo] spojité parciální derivace a že Jacobiho matice F'(xa,ya) = ^^(^'^) ^(Iq yo)) zobrazení i7 v bodě [xo,yo] Je regulárni, tj. det F'(xq, í/o) 7^ 0 (det F'(xq, í/o) se nazývá jacobián zobrazení i7 v bodě [xq, í/o]) - P&k existuje okolí bodu [xq, í/o], v němž je zobrazení F prosté, tudíž k němu existuje inverzní zobrazení F^1 v okolí bodu F(xQ,yo), a pro Jacobiho matici tohoto inverzního zobrazení v bodě [íío,«o] = F(xo,Vo) platí (F~1)'(uo,vo) = [F'(xq, í/o)]
Příklad 109. Rozhodněte, zdaje zobrazení F = (/, g) : M2 —>■ M2, A;tře /(x, y) = x2 —y2, g(x, y) = 2xy (tj. zobrazení z 1—> z2, uvažujeme-li F jako zobrazení C —> C), prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. V případě, že ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě F(2,1).
17
1/5 1/10\ -1/10    1/5 J '
Výsledek, det F'(2,1) = 20 7^ 0, tudíž v nějakém okolí bodu [2,1] je F prosté. Dále
(F-1)\3A)= ^
Příklad 110. Rozhodněte, zdaje zobrazení F = (f,g) : M2 —> M2, kde f(x,y) = xy,g(x,y) = |, prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. V kladném případě urěete Jacobiho matici inverzního zobrazení F-1 v bodě F(2,1).
Výsledek, det F'(2,1) = —4 7^ 0, tudíž i7 je prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. Dále
Příklad 111. Rozhodněte, zda je zobrazení F = (f, g) : M2 —>■ M2, kde f (x,y) = \J x2 + y2,g(x, y) xy, prosté v nějakém okolí bodu [0,1]. V kladném případě urěete Jacobiho matici inverzního zobrazení F^1 v bodě F(0,1).
Výsledek, det F'(0,1)
-1 7^ 0, tudíž F je prosté v nějakém okolí bodu [0,1]. Dále (F-1)'(1,0)=(J l
Příklad 112. Spočítejte jacobián funkce F, která je transformací dvou proměnných do polárních souřadnic, a příslušné inverzní transformace.
Nápověda. Funkce F je definována následujícím způsobem:
[x, y] 1—>  \Jx2 + y2, arctg —   pro x > 0,
[x, y] 1-4-     x2 + y2,7t + arctg
[0, y] >->• y, - sgn(y)
pro x < 0,
Z polárních souřadnic nazpět je to i7 1 : [r, </?] 1—> [rcos</?,rsin</?]. Lépe se bude počítat, když napřed určíme jacobián zobrazení F^1 a z něj pak jacobián zobrazení F.
Výsledek. det(F_1)' = r,detF' = ±
18