m II1-3. notebook October 03, 2012 1 Funkce f : £„ -4 R je tedy diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai.....3„) € M." takový, že pro všechny „směry" v £ M" platí O v bodě x existují všechny směrové derivace dvf(x)t v £ O v H dvf{x) je lineární v závislosti na přírůstku v 0 0 = iirrwo 4- v) - ř(x) - dv/{x)); "~ tj. 0 = lirn^Q ^ (f(x 4- v) - f(x) - a^ v). k.r^l.ítti M>fl/h> tc^PU) 10 3-11:59 10 3-12:18 Je-li funkce f diferencovatelná v hodí x. pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné v € E' je přitom dvf{x) = df{x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dj{x) = 3- v. )) = = df(x)(v = df(x)(ř 10 3-12:29 10 3-12:37 Uvažujme t ; fc2 —> & se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xg.yo] je lineární funkce óf : £2 ~* ^ df — -—- dx 4- -r— d y &x dy J na přírůstcích se souřadnicemi danými pravě parciálními derivacemi. (Mi) AT 10 3-12:44 Kvůli přehlednosti označme h — dx.k .— dy. Pak r(x*-dx.y*H-dy}-f(x\y4) = = (x* - hf 4- (y* +- x}2 - (x*)2 - (y*)2 = = 2x*/i + 2y*X+ ť + k2. Odtud drfx*. v*¥n. k) = 2x* ■ h + 2v* ■ k s r(h. k) = n2 + x2 10 3-12:47 45 m II1-3. notebook October 03, 2012 M a pevný bod [.^yo] f(xb,yo) + ^(xb,ya)(x -*o) + ^-(*o,yo){y - yo)- Je to\ jediná rovina procházející (x0.yo), ve které leží derivace a tedy l terny všech křivek c(t) = (x(t),y(t),f(x(t),y(t))). Říkáme jí tečné rovins ke grafu funkce f. 10 3-13:03 Pro pevný přírůstek v e IR" je vyčíslení diferenciálu na tomto přírůstku opět operace na funkcích f ; E„ —> 5£ f^dvf = df{v). Výsledkem je df(v) : H„ —BL Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. 10 3-13:09 Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f{x.y) — e* +y v bodě [0.0] s diferencemi v = (í-/í) = (0.05;-0.02). Parciální derivace jsou: % = e»3+-^3x2. 0- e*'+y -(3x2 ■ 3x2 ^ 6x). = e'3" .3x2. 0 = e*'+" . 1U 3-13:4U 2