Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Matematika I – 12a
Euklidovská geometrie
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
3. 12. 2012
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Obsah přednášky
1 Euklidovské prostory
2 Odchylky podprostorů
3 Standardní úlohy
4 Objemy
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Plán přednášky
1 Euklidovské prostory
2 Odchylky podprostorů
3 Standardní úlohy
4 Objemy
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve
vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto:
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve
vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto:
Definition
Standardní bodový euklidovský prostor En je afinní prostor An,
jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor Rn se skalárním
součinem
x, z = xT
· y.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve
vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto:
Definition
Standardní bodový euklidovský prostor En je afinní prostor An,
jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor Rn se skalárním
součinem
x, z = xT
· y.
Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A0; u)
s ortonormální bazí u.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve
vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto:
Definition
Standardní bodový euklidovský prostor En je afinní prostor An,
jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor Rn se skalárním
součinem
x, z = xT
· y.
Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A0; u)
s ortonormální bazí u.
Vzdálenost bodů A, B ∈ En definujeme jako velikost vektoru
B − A , budeme ji značit ρ(A, B).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve
vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto:
Definition
Standardní bodový euklidovský prostor En je afinní prostor An,
jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor Rn se skalárním
součinem
x, z = xT
· y.
Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A0; u)
s ortonormální bazí u.
Vzdálenost bodů A, B ∈ En definujeme jako velikost vektoru
B − A , budeme ji značit ρ(A, B).
Euklidovské podprostory v En jsou afinní podprostory jejichž
zaměření uvažujeme spolu se zúženými skalárními součiny.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Theorem (jednoduché vlastnosti skalárních součinů)
Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru
V se skalárním součinem, platí
1 u + v ≤ u + v (trojúhelníková nerovnost). Přitom
rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé.
2 |u · v| ≤ u v (Cauchyova nerovnost). Přitom rovnost
nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé.
3 pro každý ortonormální systém vektorů (e1, . . . , ek) platí
u 2 ≥ |u · e1|2 + · · · + |u · ek|2 (Besselova nerovnost).
4 Pro ortonormální systém vektorů (e1, . . . , ek) je
u ∈ e1, . . . , ek právě když
u 2 = |u · e1|2 + · · · + |u · ek|2 (Parsevalova rovnost).
5 Pro ortonormální systém vektorů (e1, . . . , ek) a u ∈ V je
vektor w = (u · e1)e1 + · · · + (u · ek)ek jediným vektorem, který
minimalizuje velikost u − v pro všechny v ∈ e1, . . . , ek .
K důkazům se vrátíme ve středu (jsou v textech).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Theorem (jednoduché důsledky pro euklidovskou geometrii)
Pro body A, B, C ∈ En platí
1 ρ(A, B) = ρ(B, A)
2 ρ(A, B) = 0 právě, když A = B
3 ρ(A, B) + ρ(B, C) ≥ ρ(A, C)
4 V každé kartézké souřadné soustavě (A0; e) mají body
A = A0 + a1e1 + · · · + anen, B = A0 + b1e1 + · · · + bnen
vzdálenost n
i=1(ai − bi )2.
5 Pro podprostory R a Q v En existují bod P ∈ Q a Q ∈ R
minimalizující vzdálenosti bodů B ∈ Q a A ∈ R. Vzdálenost
bodů Q a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A − B
do Z(Q)⊥ pro libovolné body B ∈ Q a A ∈ R.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Speciálním případem posledního bodu je tvrzení:
Je–li dán bod A a podprostor Q v En, pak existuje bod P ∈ Q
minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je
rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A − B do Z(Q)⊥ pro
libovolný B ∈ Q.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Speciálním případem posledního bodu je tvrzení:
Je–li dán bod A a podprostor Q v En, pak existuje bod P ∈ Q
minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je
rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A − B do Z(Q)⊥ pro
libovolný B ∈ Q.
Vektor A − B se jednoznačně rozkládá na A − B = u1 + u2,
u1 ∈ Z(Q), u2 ∈ Z(Q)⊥. Přitom u2 nezávisí na volbě B ∈ Q,
P = A + (−u2) = B + u1 ∈ Q a
A − B 2 = u1
2 + u2
2 ≥ u2
2 = A − P . Odtud již vyplývá,
že minima je skutečně dosaženo, a to pro bod P. Vypočtená
vzdálenost je skutečně u2 .
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Příklad – vzdálenost přímek
Určete vzdálenost přímek v R3.
p : [1, −1, 0] + t(−1, 2, 3), a q : [2, 5, −1] + t(−1, −2, 1).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Příklad – vzdálenost přímek
Určete vzdálenost přímek v R3.
p : [1, −1, 0] + t(−1, 2, 3), a q : [2, 5, −1] + t(−1, −2, 1).
Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky
(spojnice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového
podprostoru generovaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální
doplněk je: (−1, 2, 3), (−1, −2, 1) ⊥ = (8, −2, 4) = (4, −1, 2) .
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Příklad – vzdálenost přímek
Určete vzdálenost přímek v R3.
p : [1, −1, 0] + t(−1, 2, 3), a q : [2, 5, −1] + t(−1, −2, 1).
Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky
(spojnice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového
podprostoru generovaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální
doplněk je: (−1, 2, 3), (−1, −2, 1) ⊥ = (8, −2, 4) = (4, −1, 2) .
Spojnicí daných přímek je například úsečka [1, −1, 0][2, 5, −1],
promítneme tedy vektor [1, −1, 0] − [2, 5, −1] = (−1, −6, 1). Pro
vzdálenost přímek pak dostáváme:
ρ(p, q) =
|(−1, −6, 1) · (4, −1, 2)|
(4, −1, 2)
=
4
√
21
.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Plán přednášky
1 Euklidovské prostory
2 Odchylky podprostorů
3 Standardní úlohy
4 Objemy
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou
v bodových prostorech En zaváděny prostřednictvím vhodných
pojmů ve vektorových euklidovských prostorech.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou
v bodových prostorech En zaváděny prostřednictvím vhodných
pojmů ve vektorových euklidovských prostorech.
Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 ≤ |u·v|
u v ≤ 1, má tedy smysl
následující definice.
Definition
Odchylka ϕ(u, v) vektorů u, v ∈ V v reálném vektorovém
prostoru se skalárním součinem je dána vztahem
cos ϕ(u, v) =
u · v
u v
, 0 ≤ ϕ(u, v) ≤ 2π.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou
v bodových prostorech En zaváděny prostřednictvím vhodných
pojmů ve vektorových euklidovských prostorech.
Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 ≤ |u·v|
u v ≤ 1, má tedy smysl
následující definice.
Definition
Odchylka ϕ(u, v) vektorů u, v ∈ V v reálném vektorovém
prostoru se skalárním součinem je dána vztahem
cos ϕ(u, v) =
u · v
u v
, 0 ≤ ϕ(u, v) ≤ 2π.
V rovině R2 pro odchylku vektorů na jednotkové kružnici
u = (1, 0), v = (cos ϕ, sin ϕ) skutečně platí cos ϕ = u·v
u v .
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou
v bodových prostorech En zaváděny prostřednictvím vhodných
pojmů ve vektorových euklidovských prostorech.
Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 ≤ |u·v|
u v ≤ 1, má tedy smysl
následující definice.
Definition
Odchylka ϕ(u, v) vektorů u, v ∈ V v reálném vektorovém
prostoru se skalárním součinem je dána vztahem
cos ϕ(u, v) =
u · v
u v
, 0 ≤ ϕ(u, v) ≤ 2π.
V rovině R2 pro odchylku vektorů na jednotkové kružnici
u = (1, 0), v = (cos ϕ, sin ϕ) skutečně platí cos ϕ = u·v
u v .
Odchylka je nezávislá na velikostech a vhodnou rotací dosáhneme
toho, že jeden z dvojice vektorů má tvar (x1, 0).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou
v bodových prostorech En zaváděny prostřednictvím vhodných
pojmů ve vektorových euklidovských prostorech.
Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 ≤ |u·v|
u v ≤ 1, má tedy smysl
následující definice.
Definition
Odchylka ϕ(u, v) vektorů u, v ∈ V v reálném vektorovém
prostoru se skalárním součinem je dána vztahem
cos ϕ(u, v) =
u · v
u v
, 0 ≤ ϕ(u, v) ≤ 2π.
V rovině R2 pro odchylku vektorů na jednotkové kružnici
u = (1, 0), v = (cos ϕ, sin ϕ) skutečně platí cos ϕ = u·v
u v .
Odchylka je nezávislá na velikostech a vhodnou rotací dosáhneme
toho, že jeden z dvojice vektorů má tvar (x1, 0).Ve vícerozměrných
prostorech je odchylka dvou vektorů vždy měřena v rovině, kterou
tyto vektory generují (nebo je nula).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
V libovolném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem
přímo z definic plyne
u−v 2
= u 2
+ v 2
−2(u·v) = u 2
+ v 2
−2 u v cos ϕ(u, v).
To je tzv. kosinová věta.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
V libovolném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem
přímo z definic plyne
u−v 2
= u 2
+ v 2
−2(u·v) = u 2
+ v 2
−2 u v cos ϕ(u, v).
To je tzv. kosinová věta.
Dále platí pro každou ortonormální bázi e a u ∈ V vztah
u 2 = i |u · ei |2, tj.
1 =
i
(cos ϕ(u, ei ))2
,
což je obvyklé tvrzení o směrových kosinech ϕ(u, ei ) vektoru u.
Z definice odchylek vektorů nyní můžeme dovodit rozumné definice
pro obecné podprostory v každém euklidovském vektorovém
prostoru.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Definition
Nechť U1, U2 jsou podprostory v euklidovském prostoru V .
Odchylka podprostorů U1, U2 je reálné číslo
α = ϕ(U1, U2) ∈ [0, π
2 ] splňující:
(1) Je-li dim U1 = dim U2 = 1, U1 = u , U2 = v , pak
cos α =
|u.v|
u v
.
(2) Jsou-li dimenze U1, U2 kladné a U1 ∩ U2 = {0}, pak je
odchylka minimem všech odchylek jednorozměrných
podprostorů
α = min{ϕ( u , v ); 0 = u ∈ U1, 0 = v ∈ U2}.
Ukážeme v zápětí, že takové minimum skutečně vždy existuje.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Definition (pokračování)
(3) Je-li U1 ⊂ U2 nebo U2 ⊂ U1 (zejména je-li jeden z nich
nulový), je α = 0.
(4) Je-li U1 ∩ U2 = {0} a U1 = U1 ∩ U2 = U2, pak
α = ϕ(U1 ∩ (U1 ∩ U2)⊥
, U2 ∩ (U1 ∩ U2)⊥
).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Definition (pokračování)
(3) Je-li U1 ⊂ U2 nebo U2 ⊂ U1 (zejména je-li jeden z nich
nulový), je α = 0.
(4) Je-li U1 ∩ U2 = {0} a U1 = U1 ∩ U2 = U2, pak
α = ϕ(U1 ∩ (U1 ∩ U2)⊥
, U2 ∩ (U1 ∩ U2)⊥
).
Odchylka podprostorů Q1, Q2 v bodovém euklidovském prostoru
En se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Q1), Z(Q2).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Definition (pokračování)
(3) Je-li U1 ⊂ U2 nebo U2 ⊂ U1 (zejména je-li jeden z nich
nulový), je α = 0.
(4) Je-li U1 ∩ U2 = {0} a U1 = U1 ∩ U2 = U2, pak
α = ϕ(U1 ∩ (U1 ∩ U2)⊥
, U2 ∩ (U1 ∩ U2)⊥
).
Odchylka podprostorů Q1, Q2 v bodovém euklidovském prostoru
En se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Q1), Z(Q2).
Všimněme si, že odchylka je vždy dobře definována, zejména v
posledním případě je
(U1 ∩ (U1 ∩ U2)⊥
) ∩ (U2 ∩ (U1 ∩ U2)⊥
) = {0}
můžeme tedy opravdu odchylku určit podle bodu (2).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Lemma
Nechť v je vektor v euklidovském prostoru V a U ⊂ V libovolný
podprostor. Označme v1 ∈ U, v2 ∈ U⊥ (jednoznačně určené)
komponenty vektoru v, tj. v = v1 + v2. Pak pro odchylku ϕ
podprostoru generovaného v od U platí
cos ϕ( v , U) = cos ϕ( v , v1 ) =
v1
v
.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Lemma
Nechť v je vektor v euklidovském prostoru V a U ⊂ V libovolný
podprostor. Označme v1 ∈ U, v2 ∈ U⊥ (jednoznačně určené)
komponenty vektoru v, tj. v = v1 + v2. Pak pro odchylku ϕ
podprostoru generovaného v od U platí
cos ϕ( v , U) = cos ϕ( v , v1 ) =
v1
v
.
Výpočet odchylek v obecných dimenzích je snadno spočitatelný
pomocí výpočtu zkracování vlastních vektorů při dvou kolmých
projekcí mezi prostory, odvodíme ve středu, viz texty k přednáškám.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Plán přednášky
1 Euklidovské prostory
2 Odchylky podprostorů
3 Standardní úlohy
4 Objemy
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
1. Najděte vzdálenost bodu A ∈ En od podprostoru Q ⊂ En.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
1. Najděte vzdálenost bodu A ∈ En od podprostoru Q ⊂ En.
2. V E2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný
úhel
Najdeme vektor u ∈ R2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor
v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A
a zaměřením v . Úloha má dvě nebo jedno řešení.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
1. Najděte vzdálenost bodu A ∈ En od podprostoru Q ⊂ En.
2. V E2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný
úhel
Najdeme vektor u ∈ R2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor
v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A
a zaměřením v . Úloha má dvě nebo jedno řešení.
3. Spočtěte patu kolmice vedené bodem na daný podprostor.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
1. Najděte vzdálenost bodu A ∈ En od podprostoru Q ⊂ En.
2. V E2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný
úhel
Najdeme vektor u ∈ R2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor
v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A
a zaměřením v . Úloha má dvě nebo jedno řešení.
3. Spočtěte patu kolmice vedené bodem na daný podprostor.
4. V E3 určete vzdálenost dvou přímek p, q.
Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A ∈ p, B ∈ q.
Komponenta vektoru A − B v ortogonálním doplňku
(Z(p) + Z(q))⊥ má velikost rovnu vzdálenosti p a q.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
1. Najděte vzdálenost bodu A ∈ En od podprostoru Q ⊂ En.
2. V E2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný
úhel
Najdeme vektor u ∈ R2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor
v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A
a zaměřením v . Úloha má dvě nebo jedno řešení.
3. Spočtěte patu kolmice vedené bodem na daný podprostor.
4. V E3 určete vzdálenost dvou přímek p, q.
Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A ∈ p, B ∈ q.
Komponenta vektoru A − B v ortogonálním doplňku
(Z(p) + Z(q))⊥ má velikost rovnu vzdálenosti p a q.
5. V E3 najděte osu dvou mimoběžek p a q:
Nechť η je rovina generovaná jedním bodem A ∈ p a součtem
Z(p) + (Z(p) + Z(q))⊥. Pak průnik η ∩ q spolu se zaměřením
(Z(p) + Z(q))⊥ dávají parametrický popis hledané osy. (Prověřte,
kolik má úloha obecně řešení!)
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Plán přednášky
1 Euklidovské prostory
2 Odchylky podprostorů
3 Standardní úlohy
4 Objemy
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Orientovaný (bodový) euklidovský prostor je euklidovský bodový
prostor, jehož zaměření je orientované. V dalším budeme uvažovat
standardní En spolu s orientací zadanou standardní bazí Rn.
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Orientovaný (bodový) euklidovský prostor je euklidovský bodový
prostor, jehož zaměření je orientované. V dalším budeme uvažovat
standardní En spolu s orientací zadanou standardní bazí Rn.
Nechť u1, . . . , uk, jsou libovolné vektory v zaměření Rn, A ∈ En je
libovolný bod. Rovnoběžnostěn Pk(A; u1, . . . , uk) ⊂ En je množina
Pk(A; u1, . . . , uk) = {A+c1u1+· · ·+ckuk; 0 ≤ ci ≤ 1, i = 1, . . . , k}.
Jsou-li vektory u1, . . . , uk nezávislé, jde o k–rozměrný
rovnoběžnostěn Pk(A; u1 . . . , uk) ⊂ En. Pro dané vektory
u1, . . . , uk máme k dispozici také rovnoběžnostěny menších dimenzí
P1(A; u1), . . . , Pk(A; u1, . . . , uk)
v euklidovských podprostorech A + u1 , . . . , A + u1, . . . , uk .
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Jsou-li u1, . . . , uk lineárně závislé definujeme objem Vol Pk = 0. Pro
nezávislé vektory pak platí
u1, . . . , uk = u1, . . . , uk−1 ⊕ ( u1, . . . , uk−1
⊥ ∩ u1, . . . , uk ).
Navíc v tomto rozkladu se uk jednoznačně vyjádří jako
uk = uk + ek, kde ek ⊥ u1, . . . , uk−1 .
Absolutní hodnotu objemu definujeme induktivně:
| Vol |P1(A; u1) = u1
| Vol |Pk(A; u1, . . . , uk) = ek | Vol |P(A; u1, . . . , uk−1).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Jsou-li u1, . . . , uk lineárně závislé definujeme objem Vol Pk = 0. Pro
nezávislé vektory pak platí
u1, . . . , uk = u1, . . . , uk−1 ⊕ ( u1, . . . , uk−1
⊥ ∩ u1, . . . , uk ).
Navíc v tomto rozkladu se uk jednoznačně vyjádří jako
uk = uk + ek, kde ek ⊥ u1, . . . , uk−1 .
Absolutní hodnotu objemu definujeme induktivně:
| Vol |P1(A; u1) = u1
| Vol |Pk(A; u1, . . . , uk) = ek | Vol |P(A; u1, . . . , uk−1).
Je-li u1, . . . , un báze kompatibilní s orientací V , definujeme
(orientovaný) objem rovnoběžnostěnu
Vol Pk(A; u1, . . . , un) = | Vol |Pk(A; u1, . . . , un), v opačném případě
klademe Vol Pk(A; u1, . . . , un) = −| Vol |Pk(A; u1, . . . , un).
Euklidovské prostory Odchylky podprostorů Standardní úlohy Objemy
Theorem
Nechť Q ⊂ En je euklidovský podprostor a nechť (e1, . . . , ek) je
jeho ortonormální báze. Pak pro libovolné vektory
u1, . . . , uk ∈ Z(Q) a A ∈ Q platí
1 Vol Pk(A; u1, . . . , uk) = det



u1 · e1 . . . uk · e1
...
...
u1 · ek . . . uk · ek



2 (Vol Pk(A; u1, . . . , uk))2 = det



u1 · u1 . . . uk · u1
...
...
u1 · uk . . . uk · uk



K důkazu se vrátíme ve středu, viz texty.