Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Matematika I – 13a Projektivní rozšíření Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 12. 12. 2012 Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Obsah přednášky 1 Kvadratické formy a kvadriky 2 Projektivní geometrie 3 Projektivní klasifikace kvadrik Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Plán přednášky 1 Kvadratické formy a kvadriky 2 Projektivní geometrie 3 Projektivní klasifikace kvadrik Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Theorem (věta o setrvačnosti) Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na reálném vektorovém prostoru V existuje celé číslo 0 ≤ p ≤ r a r nezávislých lineárních forem ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗ takových, že f (u) = (ϕ1(u))2 + · · · + (ϕp(u))2 − (ϕp+1(u))2 − · · · − (ϕr (u))2 . Jinak řečeno, existuje polární báze, ve které má f analytické vyjádření f (x1, . . . , xn) = x2 1 + · · · + x2 p − x2 p+1 − · · · − x2 r . Počet p kladných diagonálních koeficientů v matici dané kvadratické formy nezávisí na volbě polární báze. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Theorem (věta o setrvačnosti) Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na reálném vektorovém prostoru V existuje celé číslo 0 ≤ p ≤ r a r nezávislých lineárních forem ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗ takových, že f (u) = (ϕ1(u))2 + · · · + (ϕp(u))2 − (ϕp+1(u))2 − · · · − (ϕr (u))2 . Jinak řečeno, existuje polární báze, ve které má f analytické vyjádření f (x1, . . . , xn) = x2 1 + · · · + x2 p − x2 p+1 − · · · − x2 r . Počet p kladných diagonálních koeficientů v matici dané kvadratické formy nezávisí na volbě polární báze. Dvě symetrické matice A, B dimenze n jsou maticemi téže kvadratické formy v různých bazích právě, když mají stejnou hodnost a když matice příslušných forem v polární bázi mají stejný počet kladných koeficientů. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Theorem (Sylvestrovo kriterium) Symetrická reálná matice A je pozitivně definitní, právě když jsou všechny její hlavní minory kladné. Matice je negativně definitní, právě když platí (−1)i |Ai | > 0 pro všechny hlavní submatice Ai . Theorem (Jacobiho věta) Uvažme kvadratickou formu f hodnosti r s maticí A v dané bázi. V Langrangeově algritmu není třeba jiných kroků než doplňování čtverců, právě když jsou hlavní minory |Ai | = 0 pro všechny i = 1, . . . , r. Pak existuje polární báze, ve které má f vyjádření f (x1, . . . , xn) = |A1|x2 1 + |A2| |A1| x2 2 + · · · + |Ar | |Ar−1| x2 r Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Plán přednášky 1 Kvadratické formy a kvadriky 2 Projektivní geometrie 3 Projektivní klasifikace kvadrik Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Na mnoho praktických úloh euklidovská nebo afinní geometrie stačí, na jiné bohužel ale nikoliv: Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Na mnoho praktických úloh euklidovská nebo afinní geometrie stačí, na jiné bohužel ale nikoliv: při zpracovávání obrazu z kamery nejsou zachovávány úhly a rovnoběžné přímky se mohou (ale nemusí) protínat. robustnost a jednoduchost numerických operací při zpracování scén. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Na mnoho praktických úloh euklidovská nebo afinní geometrie stačí, na jiné bohužel ale nikoliv: při zpracovávání obrazu z kamery nejsou zachovávány úhly a rovnoběžné přímky se mohou (ale nemusí) protínat. robustnost a jednoduchost numerických operací při zpracování scén. Základní ideou projektivní geometrie je rozšíření afinních prostorů o body v nekonečnu způsobem, který bude dobře umožňovat manipulace s lineárními objekty typu bodů, přímek, rovin, projekcí, apod. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Body roviny A2 si představíme jako rovinu z = 1 v R3. Pak každý bod P představuje vektor u = (x, y, 1) ∈ R3 a tím i jednorozměrný podprostor u ⊂ R3. Naopak, skoro každý podprostor v R3 protíná naši rovinu v právě jednom bodě P a jednotlivé vektory takového podprostoru jsou dány souřadnicemi (x, y, z) jednoznačně, až na společný skalární násobek. Žádný průnik s naší rovinou nebudou mít pouze podprostory s body o souřadnicích (x, y, 0). Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Body roviny A2 si představíme jako rovinu z = 1 v R3. Pak každý bod P představuje vektor u = (x, y, 1) ∈ R3 a tím i jednorozměrný podprostor u ⊂ R3. Naopak, skoro každý podprostor v R3 protíná naši rovinu v právě jednom bodě P a jednotlivé vektory takového podprostoru jsou dány souřadnicemi (x, y, z) jednoznačně, až na společný skalární násobek. Žádný průnik s naší rovinou nebudou mít pouze podprostory s body o souřadnicích (x, y, 0). Definition Projektivní rovina P2 je množina všech jednorozměrných podprostorů v R3. Homogenní souřadnice bodu P = (x : y : z) v projektivní rovině jsou trojice reálných čísel určené až na společný skalární násobek a alespoň jedno z nich musí být nenulové. Přímka v projektivní rovině je definována jako množina jednorozměrných podprostorů (tj. bodů v P2), které společně vyplní rovinu v R3. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Example V afinním prostoru R2 uvažujme dvě přímky L1 : y − x − 1 = 0 a L2 : y − x + 1 = 0. Jsou-li body přímek L1 a L2 konečné body v projektivním prostoru P2, jsou jejich homogenní souřadnice (x : y : z) dány: L1 : y − x − z = 0, L2 : y − x + z = 0. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Example V afinním prostoru R2 uvažujme dvě přímky L1 : y − x − 1 = 0 a L2 : y − x + 1 = 0. Jsou-li body přímek L1 a L2 konečné body v projektivním prostoru P2, jsou jejich homogenní souřadnice (x : y : z) dány: L1 : y − x − z = 0, L2 : y − x + z = 0. Jak dostaneme rovnice těchto přímek v souřadnicích v afinní rovině s y = 1? Dosadíme y = 1 do předchozích rovnic: L1 : 1 − x − z = 0, L2 : 1 − x + z = 0 Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Example V afinním prostoru R2 uvažujme dvě přímky L1 : y − x − 1 = 0 a L2 : y − x + 1 = 0. Jsou-li body přímek L1 a L2 konečné body v projektivním prostoru P2, jsou jejich homogenní souřadnice (x : y : z) dány: L1 : y − x − z = 0, L2 : y − x + z = 0. Jak dostaneme rovnice těchto přímek v souřadnicích v afinní rovině s y = 1? Dosadíme y = 1 do předchozích rovnic: L1 : 1 − x − z = 0, L2 : 1 − x + z = 0 Nyní jsou „nekonečné“ body naší původní afinní roviny dány vztahem z = 0 a naše přímky L1 a L2 se protínají v bodě (1, 1, 0). To odpovídá geometrické představě, že rovnoběžné přímky L1, L2 v afinní rovině se protínají v nekonečnu (a to v bodě (1 : 1 : 0)). Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Volbou libovolné afinní nadroviny An ve vektorovém prostoru Rn+1, která neprochází počátkem, můžeme ztotožnit body P ∈ An s jednorozměrnými podprostory, které tyto generují. Zbylé jednorozměrné podprostory vyplní rovinu rovnoběžnou s An a říkáme jim „nekonečné body“ v projektivním rozšíření Pn afinní nadroviny An. Zjevně je vždy množina nekonečných bodů v Pn projektivním prostorem dimenze o jedničku nižším. Abstraktněji hovoříme o projektivizaci vektorového prostoru: pro libovolný vektorový prostor V dimenze n + 1 definujeme P(V ) = {P ⊂ V ; P je jednorozměrný vektorový podprostor}. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Volbou libovolné afinní nadroviny An ve vektorovém prostoru Rn+1, která neprochází počátkem, můžeme ztotožnit body P ∈ An s jednorozměrnými podprostory, které tyto generují. Zbylé jednorozměrné podprostory vyplní rovinu rovnoběžnou s An a říkáme jim „nekonečné body“ v projektivním rozšíření Pn afinní nadroviny An. Zjevně je vždy množina nekonečných bodů v Pn projektivním prostorem dimenze o jedničku nižším. Abstraktněji hovoříme o projektivizaci vektorového prostoru: pro libovolný vektorový prostor V dimenze n + 1 definujeme P(V ) = {P ⊂ V ; P je jednorozměrný vektorový podprostor}. Volbou libovolné báze u ve V dostáváme tzv. homogenní souřadnice na P(V ) tak, že pro P ∈ P(V ) použijeme jeho libovolný nenulový vektor u ∈ V a souřadnice tohoto vektoru v bázi u. Afinní přímka má tedy ve svém projektivním rozšíření pouze jediný bod (oba konce se „potkají“ v nekonečnu a projektivní přímka vypadá jako kružnice), projektivní rovina má projektivní přímku nekonečných bodů atd. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Při zvolených homogenních souřadnicích je možné jednu z jejich hodnot zafixovat na jedničku (tj. vyloučíme všechny body projektivního prostoru s touto souřadnicí nulovou) a získáme tak vložení n–rozměrného afinního prostoru An ⊂ P(V ). To je přesně konstrukce, kterou jsme použili v opačném směru v příkladu projektivní roviny. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Při zvolených homogenních souřadnicích je možné jednu z jejich hodnot zafixovat na jedničku (tj. vyloučíme všechny body projektivního prostoru s touto souřadnicí nulovou) a získáme tak vložení n–rozměrného afinního prostoru An ⊂ P(V ). To je přesně konstrukce, kterou jsme použili v opačném směru v příkladu projektivní roviny. Každé prosté lineární zobrazení τ : V1 → V2 mezi vektorovými prostory samozřejmě zobrazuje jednorozměrné podprostory na jednorozměrné podprostory. Tím vzniká zobrazení na projektivizacích T : P(V1) → P(V2). Takovým zobrazením říkáme projektivní zobrazení. Jinak řečeno, projektivní zobrazení je takové zobrazení mezi projektivními prostory, že v každé soustavě homogenních souřadnic na definičním oboru i obrazu je toto zobrazení zadáno násobením vhodnou maticí. Obecněji, pokud naše pomocné lineární zobrazení není prosté, definuje projektivní zobrazení pouze mimo svoje jádro, tj. na bodech, jejichž homogenní souřadnice se nezobrazují na nulu. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Ilustrujme výhodu projektivní geometrie na perspektivní projekci R3 → R2. Bod (X, Y , Z) „reálného světa“ se promítá na bod (x, y) na průmětně takto: x = −f X Z , y = −f Y Z . To je nejen nelineární formule, ale navíc při Z malém bude velice problematická přesnost výpočtů. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Ilustrujme výhodu projektivní geometrie na perspektivní projekci R3 → R2. Bod (X, Y , Z) „reálného světa“ se promítá na bod (x, y) na průmětně takto: x = −f X Z , y = −f Y Z . To je nejen nelineární formule, ale navíc při Z malém bude velice problematická přesnost výpočtů. Při rozšíření této transformace na zobrazení P3 → P2 dostáváme zobrazení (X : Y : Z : W ) → (x : y : z) = (−fX : −fY : Z), tj. popsané prostou lineární formulí   x y z   =   −f 0 0 0 0 −f 0 0 0 0 1 0   ·     X Y Z W     Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Tento jednoduchý výraz zadává perspektivní projekci pro všechny konečné body v R3 ⊂ P3, které dosazujeme jako výrazy s W = 1. Navíc jsme odstranili problémy s body, jejichž obraz leží v nekonečnu. Skutečně, je-li Z-ová souřadnice skutečného bodu scény blízká nule, bude hodnota třetí homogenní souřadnice obrazu mít souřadnici blízkou nule, tj. bude představovat bod blízký nekonečnu. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Invertibilní projektivní zobrazení projektivního prostoru Pn na sebe odpovídají v homogenních souřadnicích invertibilním maticím dimenze n + 1. Dvě takové matice zadávají stejnou projektivní transformaci právě, když se liší o konstantní násobek. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Invertibilní projektivní zobrazení projektivního prostoru Pn na sebe odpovídají v homogenních souřadnicích invertibilním maticím dimenze n + 1. Dvě takové matice zadávají stejnou projektivní transformaci právě, když se liší o konstantní násobek. Jestliže si zvolíme první souřadnici jako tu, jejíž nulovost určuje nekonečné body, budou transformace, které zachovávají konečné body, dány maticemi, jejichž první řádek musí být až na první člen nulový. Jestliže budeme chtít přejít do afinních souřadnic konečných bodů, tj. zafixujeme si hodnotu první souřadnice na jedničku, musí být první prvek na prvním řádku být také rovný jedné. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Matice projektivních transformací zachovávajících konečné body tedy mají tvar:      1 0 · · · 0 b1 a11 · · · a1n ... ... bn an1 · · · ann      kde b = (b1, . . . , bn)T ∈ Rn a A = (aij ) je invertibilní matice dimenze n. Působení takové matice na vektoru (1, x1, . . . , xn) je právě obecná afinní transformace. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Plán přednášky 1 Kvadratické formy a kvadriky 2 Projektivní geometrie 3 Projektivní klasifikace kvadrik Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Jestliže popíšeme kvadriku v afinních souřadnicích pomocí obecné kvadratické rovnice, viz výše, jejím přepsáním v homogenních souřadnicích dostaneme vždy výlučně homogenní výraz, jehož všechny členy jsou druhého řádu. Důvod je ten, že pouze takové homogenní výrazy budou mít pro homogenní souřadnice smysl nezávisle na zvoleném konstantním násobku souřadnic (x0, x1, . . . , xn). Hledáme tedy takový, jehož zúžením na afinní souřadnice, tj. dosazením x0 = 1, získáme původní výraz. To je ale mimořádně jednoduché, prostě dopíšeme dostatek x0 ke všem výrazům – žádný ke kvadratickým členům, jedno k lineárním a x2 0 ke konstantnímu členu. Kvadratické formy a kvadriky Projektivní geometrie Projektivní klasifikace kvadrik Jestliže popíšeme kvadriku v afinních souřadnicích pomocí obecné kvadratické rovnice, viz výše, jejím přepsáním v homogenních souřadnicích dostaneme vždy výlučně homogenní výraz, jehož všechny členy jsou druhého řádu. Důvod je ten, že pouze takové homogenní výrazy budou mít pro homogenní souřadnice smysl nezávisle na zvoleném konstantním násobku souřadnic (x0, x1, . . . , xn). Hledáme tedy takový, jehož zúžením na afinní souřadnice, tj. dosazením x0 = 1, získáme původní výraz. To je ale mimořádně jednoduché, prostě dopíšeme dostatek x0 ke všem výrazům – žádný ke kvadratickým členům, jedno k lineárním a x2 0 ke konstantnímu členu. Získáme tak dobře definovanou kvadratickou formu na našem pomocném vektorovém prostoru Rn+1, ale ty jsme už vůči libovolné volbě báze klasifikovali. Zkuste si samostatně převést tuto klasifikaci do projektivní i afinní podoby. (Hezké a náročné cvičení na závěr semestru!)