Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic OOOOOOOOOOOOO Plán přednášky Q Matice lineárních zobrazení 0 Vlastní čísla zobrazení a matic Nechť V a 1/1/ jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení f : V —> W se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: O f(u + v) = f{u) + f(v), Vu, v g V O f{a-u) = a- f(u), Va éK, Vu g V. Nechť V a 1/1/ jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů Zobrazení f : V —> 1/1/ se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: O f(u + v) = f{u) + f(v), Vu, v g V O f(a-u) = a- f(u), Va éK, Vu £ V. V souřadnicích jde o násobení maticí A = fUjV V W fu.v Přitom je každé lineární zobrazení jednoznačně určeno svými hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na bázi u. Odtud přímo vidíme, že fu,vÍ£ dáno jako násobení maticí, do jejíchž sloupců jsou vepsány souřadnice hodnot zobrazení f{u-,) v bázi v. 4 □ ► 4 3 ► 4 1 -00.0 Matice lineárních zobrazení o»ooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Príklad Vektor w = (3, 2,1) má ve standardní bázi e = (ei, e2, 63) prostoru M3 souřadnice zatímco v bázi u = ((1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)) má w souřadnice protože w = (3, 2,1) = 1 • (1,1,1) + 1 • (1,1, 0) + 1 • (1, 0, 0). Všimněte si, že když říkáme vektor w = (3,2,1), tak tím vlastně automaticky myslíme tento vektor vztažený ke standardní bázi e. ■0 0.0 Matice lineárních zobrazení oo»oooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Skladaní lineárních zobrazení odpovídá násobení matic. Snadno proto vidíme, jak se změní matice zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot: kde T je matice přechodu od u' k u a S je matice přechodu od v' k v. Je-1i tedy A = fu,y_ původní matice zobrazení, bude nová dána jako A' = S'1 AT. Matice lineárních zobrazení oo»oooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Skladaní lineárních zobrazení odpovídá násobení matic. Snadno proto vidíme, jak se změní matice zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot: kde T je matice přechodu od u' k u a S je matice přechodu od v' k v. Je-1i tedy A = fu,y_ původní matice zobrazení, bude nová dána jako A' = S'1 AT. Ve speciálním případě lineární transformace f : V —> V vyjadřujeme zpravidla f pomocí jedné báze u prostoru V, tzn. že přechod k nové bázi u' bude znamenat změnu na A' = T~1AT. Matice lineárních zobrazení ooo»ooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Příklady lineárních zobrazení Příklad Následující zobrazení jsou lineární transformace na vektorovém prostoru M2: O Prodloužení nebo zkrácení vektoru Z_((x,y)) = a • (x,y). aVyzkoušet a rozmyslet můžete např. s využitím http://www.wiley.com/ legacy/proďucts/subject/life/biological_anthropology/0471205079_ virtual_reconstruction/chapter5_trafo.html. Matice lineárních zobrazení ooo»ooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Příklady lineárních zobrazení Příklad Následující zobrazení jsou lineární transformace na vektorovém prostoru M2: O Prodloužení nebo zkrácení vektoru Z_((x,y)) = a • (x,y). O Rotace o ^ v kladném smyslu L((x, y)) = (—y,x). aVyzkoušet a rozmyslet můžete např. s využitím http://www.wiley.com/ legacy/proďucts/subject/life/biological_anthropology/0471205079_ virtual_reconstruction/chapter5_trafo.html. Matice lineárních zobrazení ooo#ooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Následující zobrazení jsou lineární transformace na vektorovém prostoru M2: O Prodloužení nebo zkrácení vektoru Z_((x,y)) = a • (x,y). O Rotace o ^ v kladném smyslu L((x, y)) = (—y,x). O Obecněji, rotace o úhel ip v kladném smyslua aVyzkoušet a rozmyslet můžete např. s využitím http://www.wiley.com/ legacy/proďucts/subject/life/biological_anthropology/0471205079_ virtual_reconstruction/chapter5_trafo.html. ■0 0.0 Matice lineárních zobrazení ooo#ooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Následující zobrazení jsou lineární transformace na vektorovém prostoru M2: O Prodloužení nebo zkrácení vektoru Z_((x,y)) = a • (x,y). O Rotace o ^ v kladném smyslu L((x, y)) = (—y,x). O Obecněji, rotace o úhel ip v kladném smyslua Projekce vektoru na některou souřadnou osu, např. aVyzkoušet a rozmyslet můžete např. s využitím http://www.wiley.com/ legacy/proďucts/subject/life/biological_anthropology/0471205079_ virtual_reconstruction/chapter5_trafo.html. L{{x,y))=ye2 = (0,y). Matice lineárních zobrazení oooo^oooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Příklad Jako příklad skládání lineárních transformací M2 —> M2 uveďme složení dvou rotací. Jak jsme dříve ukázali, rotace o úhel ip v kladném smyslu je (ve standardní bázi) reprezentována maticí ícosíp — sin M2 uveďme složení dvou rotací. Jak jsme dříve ukázali, rotace o úhel ip v kladném smyslu je (ve standardní bázi) reprezentována maticí ícosíp — s\mp\ v \s\r\ (p cos (p J ' podobně pro matici rotace o úhel tp. Jejich složení (v libovolném pořadí) zřejmě odpovídá rotaci o úhel tp + tp, proto /cos( R2 je pro dáno předpisem: L(u) = x1v1 + (x3 - x2) 1/2, kde u = (xi,x2,x3)r, v\ = (2, — 1)T, V2 = (1, — 2)T. Určete matici A, která reprezentuje toto lineárni zobrazení (a) v bázích e = (ei, e2, 63) a e = (ei, 62) (standardní báze prostorů R3 a R2), (b) v bázích e = (ei, e2, 63) a v = (i/i, 1/2). Matice lineárních zobrazení oooooo»oooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Řešení a) Protože je , , / 2xi - x2 + x3 \ '(u)=Ui+2x2-2x3J' je /.(ei) = (2,-l)r, Z.(e2) = (-l,2)r, L(e3) = (1, -2)7 Protože ve standardní bázi e cílového prostoru M2 je w = [w]e, je maticová reprezentace zobrazení L v těchto bázích tj- Matice lineárních zobrazení Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooo»ooooo ooooooooooooo b) Protože je L(ei) = (2, -l)r = vi, L(e2) = (-1, 2)T = -v2, L(e3) = (1, -2)T = v2, je [/.(ei)]v = (l,0)r, [Z.(e2)]v = (0,-l)r, [/.(e3)]v = (0, l)r, je maticová reprezentace zobrazení L v těchto bázích B = Be 0 tj. [/.(/,)]„ 0 Matice lineárních zobrazení 00000000*0000 Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Příklad V části b) předchozího příkladu je matice přechodu of báze v = (1/1, V2) k bázi e (v cílovém prostoru M2) rovna V = {Wl]e me) = {vi 1/2 proto V^1 1 -2 -1 3 l 1 2 2 1 -1 -2 2 1 3 3/ Matice lineárních zobrazení Vlastní čísla zobrazení a matic 00000000*0000 ooooooooooooo Příklad V části b) předchozího příkladu je matice přechodu of báze v = (1/1, V2) k bázi e (v cílovém prostoru M2) rovna V = {Wl]e me) = {vi 1/2 proto V^1 2 1 -1 -2 2 1 3 3/ 1 /-2 -r 3 V 1 2 a je tedy matice uvažovaného lineárního zobrazení v bázích e a v rovna B = V'1-A-B 2 1 3 3 _I _ i 3 3 2 -1 1 -1 2 -2 1 O 0N O -1 1, Budeme zkoumat různé typy lineárních zobrazení. Tak se dostaneme k pořádnějšímu pochopení nástrojů, které nám vektorové prostory pro lineární modelování procesů a systémů nabízejí. Ve standardní bázi R2 uvažujme následující matice zobrazení f : R2 -> R2: -(o°)' °-(; v) Budeme zkoumat různé typy lineárních zobrazení. Tak se dostaneme k pořádnějšímu pochopení nástrojů, které nám vektorové prostory pro lineární modelování procesů a systémů nabízejí. Ve standardní bázi R2 uvažujme následující matice zobrazení f : R2 -> R2: -G i)- °)- ^(""o1)- Matice A zadává kolmou projekci podél podprostoru W c {(0, a); a G M} C M2 na podprostor V C {(a,0); a £ R} C M2. Evidentně pro toto zobrazení f : R2 —> R2 platí f o f = f a tedy ŕ|imf je identické zobrazení. Jádrem f je právě podprostor W. Matice lineárních zobrazení oooooooooo«oo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení f. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů Mi[x] stupně nejvýše jedna v bázi (l,x). Matice lineárních zobrazení oooooooooo«oo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení f. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů Mi[x] stupně nejvýše jedna v bázi (l,x). Matice C zadává zobrazení f, které první vektor báze zvětší a-krát, druhý fa-krát. Tady se nám tedy celá rovina rozpadá na dva podprostory, které jsou zobrazením f zachovány a ve kterých jde o pouhou homotetii (stejnolehlost), tj. roztažení skalárním násobkem. Např. volba a = 1, b = — 1 odpovídá komplexní konjugaci x + iy i—> x — iy na dvourozměrném reálném prostoru l2~Cv bázi (1, /'). Toto je lineární zobrazení reálného vektorového prostoru, nikoliv však jednorozměrného komplexního prostoru C. V geometrii roviny jde o zrcadlení podle osy x. Matice lineárních zobrazení 00000000000*0 Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo Matice D je maticí rotace o pravý úhel ve standardní bázi. Jako pro každé lineární zobrazení, které je bijekcí, umíme najít báze na definičním oboru a oboru hodnot, ve kterých bude jeho maticí jednotková matice E (prostě vezmeme jakoukoliv bázi na definičním oboru a její obraz na oboru hodnot). Neumíme ale v tomto případě totéž s jednou bází na začátku i konci. Zkusme však uvažovat matici D jako matici zobrazení g : C2 —> C2. Pak umíme najít vektory u = (/', 1), v = (1, /'), pro které bude platit To ale znamená, že v bázi (u, v) na C2 má g matici a povšimněme si, že tato komplexní analogie k případu matice C má na diagonále prvky a = cos(^7r) + / sin(^7r) a komplexně sdružený a. , u „ V na vektorovém prostoru dimenze n nad skaláry K. Jestliže si představíme takovou rovnost zapsanou v souřadnicích, tj. s využitím matice zobrazení A v nějakých bazích, jde o výraz A-x-a-x = (A-a-E)-x = Q. Z předchozího víme, že taková soustava rovnic má jediné řešení x = 0, pokud je matice A — aE invertibilní. My tedy chceme najít takové hodnoty a g K, pro které naopak A — aE invertibilní není. Matice lineárních zobrazení Vlastní čísla zobrazení a matic ooooooooooooo oooo»oooooooo Nutnou a dostatečnou podmínkou pro existenci a g K s vlastností A • x = a • x (pro nenulový vektor x) je det(>* - a • E) = 0. Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic oooo»oooooooo Nutnou a dostatečnou podmínkou pro existenci a g K s vlastností A • x = a • x (pro nenulový vektor x) je det(>* — a ■ E) = 0. Jestliže považujeme A = a za proměnnou v předchozí skalární rovnici, hledáme ve skutečnosti kořeny polynomu stupně n. Jak jsme viděli v případě matice D výše, kořeny mohou, ale nemusí existovat podle volby pole skalárů K. Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooo»ooooooo Definice Skaláry vyhovující rovnici f (u) = a ■ u pro nenulový vektor u g V nazýváme vlastní čísla (hodnoty) zobrazení f (eigenvalues), příslušné vektory u pak vlastní vektory zobrazení f (eigenvectors). Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic ooooo»ooooooo Definice Skaláry vyhovující rovnici f (u) = a ■ u pro nenulový vektor u g V nazýváme vlastní čísla (hodnoty) zobrazení f (eigenvalues), příslušné vektory u pak vlastní vektory zobrazení f (eigenvectors). Z definice vlastních čísel je zřejmé, že jejich výpočet nemůže záviset na volbě báze a tedy matice zobrazení f. Skutečně, jako přímý důsledek trasformačních vlastností a Cauchyovy věty pro výpočet determinantu součinu dostáváme jinou volbou souřadnic (podobnou) matici A' = P~1AP s invertibilní maticí P a |P~MP-AE| = \P~1(A-\E)P\ = IP-^A-XE^P] = \A-XE protože násobení skalárů je komutativní a |P_1| = Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic oooooo»oooooo Poznámka Je-1i u vlastní vektor matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také libovolný jeho (nenulový) násobek vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože A(au) = a (Au) = a (X u) = A (a u). Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic oooooo»oooooo Poznámka Je-1i u vlastní vektor matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také libovolný jeho (nenulový) násobek vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože A(au) = a (Au) = a (X u) = A (a u). Podobně, jsou-li u, v vlastní vektory matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také jejich součet vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože A(u + v) = (Au) + (Av) = (A u) + (A v) = A (u + v). Vlastní vektory příslušející téže vlastní hodnotě tedy tvoří (společně s nulovým vektorem) podprostor vektorového prostoru M". To také zdůvodňuje terminologii „vlastní prostor". Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic OOOOOOOOOOOOO Príklad (a) Pro matici A -3 2 -5 4 z předchozího příkladu je Eigen(-l) = (u) = < L > Eigen(2) = Eigen(2) = (v) = ( \). (b) Pro matici B -1 1 -10 -3 z předchozího příkladu je Eigen(-2 + 3/) = V v jisté bázi, pak \A — XE\ nazýváme také charakteristický polynom zobrazení f. Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic oooooooooo»oo Obdobnou terminologii používame i pro matice. Definice Pro matici A dimenze n nad K nazývame polynom \A — XE\ g K„[A] charakteristický polynom matice A. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní hodnoty matice A. Je-1i A matice zobrazení f : V —> V v jisté bázi, pak \A — XE\ nazýváme také charakteristický polynom zobrazení f. t Protože je charakteristický polynom zobrazení f : V —> V nezávislý na volbě báze V, dim V = n, jsou i jeho koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné A skaláry vyjadřující vlastnosti zobrazení f, tj. nemohou záviset na naší volbě báze. Zejména je snadné vyjádřit koeficienty u nejvyšších a nejnižších mocnin: |v4-A-E| = (-l)"A" + (-l)"-1(3ii + --- + ann)-A"-1 + --- + |/\|-A0 Součet diagonálních členů matice se nazývá stopa matice, značíme ji TrA, stopa zobrazení je definována jako stopa jeho matice v libovolné bázi. Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic OOOOOOOOOOOOO Věta Vlastní vektory lineárního zobrazení f : V —> V príslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic OOOOOOOOOOOOO Věta Vlastní vektory lineárního zobrazení f : V —> V príslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. Důsledek Jestliže existuje n navzájem různých kořenů a, charakteristického polynomu zobrazení f : V —> V, dim V = n, pak existuje rozklad V na přímý součet vlastních pod prostorů dimenze 1. To znamená, že existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má f diagonální matici (s vlastními čísly na diagonále). Příslušnou bázi (vyjádřenou v souřadnicích vzhledem k libovolně zvolené bázi V) obdržíme řešením n systémů homogenních lineárních rovnic o n neznámých s maticemi (A — a, • E), kde A je matice f ve zvolené bázi. Matice lineárních zobrazení ooooooooooooo Vlastní čísla zobrazení a matic 000000000000» Príklad Určete matici osové souměrnosti v M2 podle přímky procházející počátkem a bodem [3,1], ve vhodné bázi a určete vlastní čísla a vlastní vektory této transformace.