Obecně o cvičeních IB000

Na látku jednotlivých lekcí předmětu navazují povinná cvičení, jejichž hlavním cílem je přemostit "propast" mezi suchou teorií z přednášek a použitím této teorie k řešení příkladů a problémů, které můžete potkat v dalším studiu a v praxi. Avšak pozor, nepředstavujte si, že jediným cílem cvičení je vás naučit mechanicky řešit příklady pro zkoušky, to určitě ne (i když si to mnozí studenti představují)! Ne, vy byste se měli naučit, jak získané matematické poznatky využívat i v příkladech, se kterými se dopředu nesetkáte...

Cvičení jsou organizována co dva týdny po 2 hodinách, neboli v poloviční délce oproti přednáškám, přesto jejich snahou je pokrýt rovnoměrně látku všech lekcí, možná trochu se zpožděním oproti těm lekcím.

Co v osnově k cvičením najdeme

Na rozdíl od přednášek, jejichž náplň je pevně daná výukovým textem a promítanými slidy, je náplň cvičení poměrně volná a závisí na cvičícím a konkrétním zájmu studentů, co se bude přesně probírat. Studenti by proto měli chodit do cvičení dobře připraveni s představou, co se mají a chtějí dozvědět. K tomu jsou zde naznačeny body a směry, které to které cvičení může probírat...

Skutečně nejhorší jsou studenti, co ani nebyli na přednášce, ani si přednášku před cvičením neprostudovali! Těm pak ani dobré cvičení nemá jak pomoci a není tam čas na jejich neznalost brát ohled.

Jelikož může nastat, že první cvičení některé skupiny budou mít před první přednáškou, nebude zde náplň pevně navázaná na přednášku, nýbrž cvičící může volně tvořit obsah v rámci níže uvedených mantinelů.

Obecná náplň cvičení - s komentáři

(Pořadí se nemusí dodržovat.)

• K čemu je tento předmět a k čemu je matematika obecně. Viz komentář jednoho z cvičících 2012:

V prvním týdnu mě překvapilo, kolik studentů si myslí, že matematika je k ničemu a že ji v životě nepoužijí, tak jsem na druhý týden vymyslel nějaké motivační ukázky použití matematiky. Konkrétně jsem jim ukázal nějakou primitivní kryptografii (jak matematikou zabezpečit komunikaci) a že existuje něco jako měnová arbitráž a že na to lze použít nějaké matematické metody (jak matematikou vydělat peníze). Doporučuji na začátek nějakou motivaci (ať už tuto, nebo jinou) zařadit.

• Rozebrat některé z příkladů z přednášky na důkazy, případně jiné krátké důkazy. Vysvětlit praktický rozdíl mezi důkazem tvrzení a jeho vyvrácením protipříkladem, což se studentům často plete. Dát si záležet na pochopení rozdílů mezi "rozhodněte, zda", "dokažte" a "vyvraťte (podejte protipříklad)" a co to všechno znamená. Příklady na "vyvraťte tvrzení" - hledat a najít jeden co nejkonkrétnější protipříklad.
• Probrat výrokové formule, práci s nim a pravdivostní tabulky. Dopsání formule k předvyplněné tabulce. Vyjádření formule pouze pomocí implikace a negace. Tautologie. Mechanická negace formule s příklady na skutečné použití.
  • Co třeba takový příklad: Z elementárních výroků "předevčírem pršelo", "včera sněžilo", "dnes je konec světa" sestavte tautologii v přirozeném jazyce. Pohrejte si s ní, ať vypadá hezky a košatě, zkuste ji pak také znegovat.
• Vysvětlit skutečně do hraničních detailů význam implikace, tj. ne pouze pravdivostní tabulka, ale skutečný logický význam v matematických tvrzeních. Jaký má význam implikace z napravdivých (sporných) předpokladů.
• Kvantifikátory, jak se s nimi pracuje (v jednoduchých situacích). Jednoduché příklady - že obecně nelze prohazovat pořadí kvantifikátorů, že nelze zaměnit existenční za univerzální, ale ani naopak.
  • Rozdíl si dobře uvědomíme třeba na následujícím příkladu:
  1. Pro každého studenta A v posluchárně existuje osoba B taková, že B je partnerem/partnerkou A.
  2. Existuje osoba B taková, že B je partnerem/partnerkou každého (tj. všech najednou) studenta A v posluchárně.

Poznámka k matematickému zápisu

• Studenti se někdy asi cítí "zastrašeni" důrazem na přesné matematické vyjadřování od první lekce. Pravý význam (že skutečně nejde o psaní matematických symbolů, ale naučení se přesně vyjadřovat v běžném jazyce) je sice zdůrazňován už na přednášce, ale je třeba se na odstranění tohoto strachu zaměřit i na cvičení. Viz komentář jednoho z cvičících 2012:

Mnoho studentů se bojí “matematického zápisu” a vůbec netuší, jak nějaké tvrzení napsat. Bojí se přitom použít slova a celé věty a myslí si, že všude musí být matematické znaky (kvantifikátory atp.), tj. neopodstatněný strach ze spojení “přesné matematické tvrzení”. Možná je dobré je v tom trochu povzbuzovat a třeba na úvod na prvním cvičení zařadit nějaké ukázky jednoduchých tvrzení a hledání nepřesností v nich.

• Co třeba tvrzení "pro každé číslo platí, že je liché nebo sudé"? Zde je hlavní nepřesnost v chybějícím určení číselného oboru - celá nebo reálná? Podobné příklady přesných i nepřesných tvrzení pomohou pochopit to "správné".
• Zkuste si formálně zapsat důkaz tvrzení "součin dvou lichých (celých) čísel je lichý" - nechť se každý student pokouší sám, je to jasné tvrzení, ale pocvičí se při něm, co je v zápise důkazu podstatné.