Následující náplň cvičení je na celou dvouhodinovku, neboť se jedná o příliš obsáhlé učivo.

Obecná náplň cvičení

Opět skládání relací.

• Jak se relace skládají, ilustruje se chování definice skládání "na obrázku", tj. v grafickém zobrazení relace se šipkami. V případě zadání relací maticí je vhodné si obrázek dokreslit. Srovnání se skládáním "tabulkami" jako v relačních databázích (databáze však nejsou naším zájmem, je to jen jeden z ilustračních případů).
• Zdůraznit pořadí relací u skládání!
• Příklad skládání slovně popsaných relací, kde je třeba ad hoc kombinovat slovní popisy k získání "uchopitelné" definice té složené relace.

Relace ekvivalence - mohli jste mít trochu už v Cvičení 3

• Ekvivalence je reflexivní, symetrická a tranzitivní relace. Příklady relací ekvivalence a jejich přirozený vztah ke "shlukování" - rozkladům nosné množiny.
• Potrénovat i formální stránku rozkladů množin, podle definice.

Pochopení relace uspořádání a především konečných uspořádaných množin.

• Zopakování relace uspořádání - reflexivní, symetrická a tranzitivní, vysvětlení role reflexivity jako neostré versus "ostré uspořádání". Ne všechny dvojice na uspořádané množině jsou porovnatelné - proto se někdy říká "částečné uspořádání".
• Popisy relací uspořádání - výčtem dvojic, slovním popisem, Hasseovým diagramem. Kromě slovního popisu na obecné konečné množině (jako "mezi studenty sedící v posluchárně...") se příklady soustřeďují na malé uspořádané množiny a důraz se opět klade na pochopení, jak uspořádání vypadají a jak je použít. Konstrukce uspořádání po složkách a lexikografického. Jiným vhodným příkladem uspořádání je dělitelnost na přirozených číslech.
• Pojmy uspořádaných množin: nejmenší/největší prvek, minimální a maximální (čím se tyto liší od nejmenších/největších!), infimum a supremum podmnožiny, atd. Tyto pojmy je nejlepší trénovat na malých Hasseovských diagramech.
• Lehce se ukáží nekonečné uspořádané množiny a jejich "divné" chování, jako třeba možná neexistence minimálního prvku atd.
• Předuspořádání - pochopit význam asociované ekvivalence a z ní získaného jádra předuspořádání. V mnoha praktických situacích si říkáme, že nějaké věci "uspořádáme" a přitom to je pouze předuspořádání! Vezměme si třeba "uspořádání zboží podle ceny" - co děláme s těmi, co stojí stejně?

Možná jednoduchá tvrzení o uspořádáních k procvičení důkazů

(Pokud bude čas...)

• Na konečné uspořádané množině je vždy alespoň jeden minimální prvek (proč na nekonečné ne?).
• Pokud je prvek nejmenší, musí to být právě jediný minimální prvek, ale naopak to platí jen na konečných množinách.
• Lexikografické uspořádání podle lineárně uspořádaných složek poskytuje opět lineární uspořádání.