\documentclass[12pt]{ib102}
\usepackage[czech]{babel}

\setassignment{5}
\setexercise{2}
\setduedate{21}{10}{2013}
\setpoints{2}

%%% ZDE NAPISTE SVOJE UCO, JMENO A SKUPINU
\setstudent{James Bond}
\setgroup{MI6}
\setuco{007}


\begin{document}
\begin{zadani}
Nechť $\Sigma$ je libovolná abeceda a $removeFirst : 2^{\Sigma^*} \rightarrow 2^{\Sigma^*}$ je unární operace nad jazyky definovaná následovně:
$$removeFirst(L) = \left\{w \in \Sigma^* \mid \exists x \in \Sigma \; . \; xw \in L \right\}$$

\bigskip

\noindent Intuitivně: $removeFirst(L)$ je jazyk, který vznikne z~$L$ odstraněním prvního písmene ze všech slov délky alespoň jedna. Například
\begin{align*}
removeFirst(\{\varepsilon, aa, aba\}) &= \{a, ba\} \\
removeFirst(\{b, ab, abba\}) &= \{\varepsilon, b, bba\}
\end{align*}

\noindent Rozhodněte, zda je třída všech regulárních jazyků nad abecedou $\Sigma$ uzavřená na operaci $removeFirst$, a vaše tvrzení dokažte. Tzn.:
\begin{itemize}
\item Pokud je vaše odpověď kladná, dokažte, že pro libovolný regulární jazyk $L \subseteq \Sigma^*$ je jazyk $removeFirst(L)$ také regulární.
\item Pokud je vaše odpověď záporná, najděte abecedu $\Sigma$ a jazyk $L \subseteq \Sigma^*$, který je regulární, ale jazyk $removeFirst(L)$ regulární není.
\end{itemize}
\end{zadani}

\begin{reseni}
%%% SEM PISTE SVE RESENI
\end{reseni}

\end{document}
