Příklady na cvičení ke 13. přednášce

(Jednoduchá lineární regrese)


Příklad 1.: Porovnání koeficientu korelace s danou konstantou

Pro náhodný výběr rozsahu 50 z dvourozměrného normálního rozložení se skutečným koeficientem
korelace ρ byl vypočten výběrový koeficient korelace r[12] = 0,5. Na asymptotické hladině
významnosti 0,05 testujte hypotézu H[0]: ρ = 0,6 proti H[1]: ρ ≠ 0,6. Test proveďte pomocí
kritického oboru i pomocí p-hodnoty.



Příklad 2.: Porovnání dvou koeficientů korelace

Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n = 35, n^* = 40, první pochází z dvourozměrného
normálního rozložení s koeficientem korelace ρ, druhý pochází z dvourozměrného normálního rozložení
s koeficientem korelace ρ^*. Výběrový koeficient korelace 1. výběru nabyl hodnoty r[12] = 0,4, 2.
výběru r[12]^* = 0,55.  Na asymptotické hladině významnosti 0,05  testujte H[0]: ρ = ρ^*  proti
H[1]: ρ ≠ ρ^*. Test proveďte pomocí kritického oboru i pomocí p-hodnoty.



Příklad 3.: Regresní přímka

V dílně pracuje 15 dělníků, u nichž byl zjištěn počet směn odpracovaných za měsíc (proměnná X) a
počet zhotovených výrobků (proměnná Y).


X: 20 21 18 17 20 18 19 21 20 14 16 19 21 15 15

Y: 92 93 83 80 91 85 82 98 90 60 73 86 96 64 81


a) Orientačně ověřte předpoklad, že data pocházejí z dvourozměrného normálního rozložení. Vypočtěte
výběrový koeficient korelace mezi X a Y, interpretujte jeho hodnotu  a na hladině významnosti 0,05
testujte hypotézu, že X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny.


b) Za předpokladu, že regresní přímka dobře vystihuje závislost Y na X, sestavte regresní matici,
vypočtěte odhady regresních parametrů a napište rovnici regresní přímky.


c) Najděte odhad rozptylu, vypočtěte index determinace a interpretujte ho.


d) Najděte 95% intervaly spolehlivosti pro regresní parametry.


e) Na hladině významnosti 0,05 proveďte celkový F-test.


f) Na hladině významnosti 0,05 proveďte dílčí t-testy.


g) Vypočtěte regresní odhad počtu výrobků pro 18 odpracovaných směn.


h) Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram s proloženou regresní přímkou.







Příklad 4.:

U automobilu Škoda 120 byla změřena spotřeba benzínu (v l/100 km) v závislosti na rychlosti (v
km/h).


                                 rychlost

                                         40

                                            50

                                               60

                                                  70

                                                     80

                                                        90

                                                           100

                                                              110

                                 spotřeba

                                         5,7

                                            5,4

                                               5,2

                                                  5,2

                                                     5,8

                                                        6,0

                                                           7,5

                                                              8,1


a) Data znázorněte graficky dvourozměrným tečkovým diagramem a najděte vhodnou regresní funkci.


b) Sestavte regresní matici, vypočtěte odhady regresních parametrů, odhad rozptylu a index
determinace.


c) Určete 95 % intervaly spolehlivosti pro regresní parametry.


d) Na hladině významnosti 0,05 proveďte celkový F-test.


e) Na hladině významnosti 0,05 proveďte dílčí t-testy.


f) Určete regresní odhad spotřeby benzínu při rychlosti 80 km/h.


g) Znázorněte data s proloženou regresní funkcí.