STATISTIKA II
Martin Řezáč, Marie Budíková
2013
Obsah
1. Normální rozložení a odvozená rozložení
2. Základní pojmy matematické statistiky. Diagnostické grafy
3. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí
4. Metody hledání bodových odhadů parametrů. Úvod do testování hypotéz
5. Porovnání empirického a teoretického rozložení
6. Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení
7. Parametrické úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech z normálních
rozložení
8. Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru a dvou nezávislých
náhodných výběrech z alternativních rozložení
9. Analýza rozptylu jednoduchého třídění
10. Neparametrické testy o mediánech
11. Testování nezávislosti náhodných veličin
12. Jednoduchá lineární regrese
13. Statistické tabulky
14. Analýza a testování normality jedné proměnné pomocí SAS, Stata a SPSS
3
31
56
80
104
127
151
184
210
232
268
309
340
353
1. Normální rozložení a odvozená rozložení
3
Definice normálního rozložení
4
Definice standardizované normálné náhodné veličiny
5
Ilustrace vlastností standardizované normálné náhodné veličiny (1)
6
Ilustrace vlastností standardizované normálné náhodné veličiny (2)
7
Ilustrace vlastností standardizované normálné náhodné veličiny (3)
8
Nalezení vrcholu a inflexních bodů v obecném případě:
Hlavní charakteristiky křivky normálního rozdělení
9
Vlastnosti normální náhodné veličiny
10
Příklady
11
Příklad
12
13
Příklad
14
15
Příklady
16
17
Příklady
18
N-rozměrné normální rozložení
19
Náhodný vektor s dvourozměrným normálním rozložením
20
Graf dvourozměrné hustoty (1)
21
Graf dvourozměrné hustoty (2)
22
Graf dvourozměrné hustoty (3)
23
Graf dvourozměrné hustoty (4)
24
Graf dvourozměrné hustoty (5)
25
Marginální rozložení skalární NV a lineární transformace
26
Příklad
27
Příklad
28
Vlastnosti vícerozměrného normálního rozdělení
29
Mahalanobisova vzdálenost
30
2. Základní pojmy matematické statistiky. Diagnostické grafy.
Motivace: Matematická statistika je věda, která analyzuje a interpretuje
data především za účelem získání předpovědi a zlepšení rozhodování
v různých oborech lidské činnosti. Přitom se řídí principem statistické
indukce, tj. na základě znalostí o náhodném výběru z určitého rozložení
pravděpodobností se snaží učinit závěry o vlastnostech tohoto rozložení.
Ústředním pojmem matematické statistiky je tedy pojem náhodného
výběru.
31
Definice náhodného výběru
32
a) Nechť X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, které mají
všechny stejné rozložení L(ϑ). Řekneme, že X1, ..., Xn je náhodný výběr
rozsahu n z rozložení L(ϑ). (Číselné realizace x1, ..., xn náhodného výběru
X1, ..., Xn uspořádané do sloupcového vektoru odpovídají datovému
souboru zavedenému v popisné statistice.)
b) Nechť (X1,Y1), ..., (Xn,Yn) jsou stochasticky nezávislé dvourozměrné
náhodné vektory, které mají všechny stejné dvourozměrné rozložení L2(ϑ).
Řekneme, že (X1,Y1), ..., (Xn,Yn) je dvourozměrný náhodný výběr rozsahu
n z dvourozměrného rozložení L2(ϑ). (Číselné realizace (x1,y1), ..., (xn,yn)
náhodného výběru (X1,Y1), ..., (Xn,Yn) uspořádané do matice typu n x 2
odpovídají dvourozměrnému datovému souboru zavedenému v popisné
statistice.)
c) Analogicky lze definovat p-rozměrný náhodný výběr rozsahu n z prozměrného
rozložení Lp(ϑ).
Definice statistiky
33
Libovolná funkce T = T(X1, ..., Xn) náhodného výběru X1, ..., Xn (resp.
T = T(X1,Y1, ..., Xn,Yn) náhodného výběru (X1,Y1), ..., (Xn,Yn)) se nazývá
(výběrová) statistika.
Důsledek:
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení s distribuční funkcí Φ(x). Pak
simultánní distribuční funkce náhodného vektoru (X1, ..., Xn) je
Φ(x1) … Φ(xn).
Definice důležitých statistik (1)
34
Definice důležitých statistik (2)
35
Definice důležitých statistik (3)
36











jinak0
0SSpro
SS
S
S
MY
S
MX
1n
1 n
1i
21
21
12
2
2i
1
1i
Definice důležitých statistik (4)
37
Definice důležitých statistik (5)
38
Charakteristika vlastnosti Počet pravděpodobnosti Matematická statistika Popisná statistika
poloha E(X) = μ M m
variabilita D(X) = σ2 S2
variabilita S
společná variabilita C(X1, X2) = σ12 S12
těsnost vztahu R(X1, X2) = ρ R12 r12
rozložení Ф(x) Fn(x) F(x)
Příklad (1)
39
(Výpočet realizací výběrového průměru, výběrového rozptylu a hodnot výběrové distribuční funkce)
Příklad (2)
40
(Výpočet realizací výběrového průměru, výběrového rozptylu a hodnot výběrové distribuční funkce)
1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
x
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
F10(x)
1)x(F:2,4x
9,0
10
9
)x(F:2,4x2,3
8,0
10
8
)x(F:2,3x2,2
7,0
10
7
)x(F:2,2x2,1
5,0
10
5
)x(F:2,1x2
3,0
10
3
)x(F:2x1,9
2,0
10
2
)x(F:9,1x1,8
0)x(F:8,1x
10
10
10
10
10
10
10
10








Příklad
41
(Výpočet realizace výběrového koeficientu korelace)
Mezi náhodnými veličinami X a Y existuje silná nepřímá lineární závislost. Čím starší auto, tím nižší cena.
Vlastnosti důležitých statistik (1)
42
Vlastnosti důležitých statistik (2)
43
Vlastnosti důležitých statistik (3)
44
c) Případ jednoho náhodného výběru z dvourozměrného rozložení: Nechť (X1,Y1), ...,
(Xn,Yn) je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení s kovariancí σ12 a koeficientem
korelace ρ. Pak pro libovolné hodnoty parametrů σ12 a ρ platí:
E(S12) = σ12,
E(R12) ≈ ρ (shoda je vyhovující pro n ≥ 30).
Poznámka: Metody matematické statistiky často slouží k vyhodnocování výsledků
pokusů. Aby mohl být pokus správně vyhodnocen, musí být dobře naplánován.
Uvedeme zde nejjednodušší typy uspořádání pokusů.
Předpokládejme například, že sledujeme hmotnostní přírůstky selat téhož plemene při
různých výkrmných dietách.
Typy pozorování (1)
45
a) Jednoduché pozorování: Náhodná veličina X je pozorována za týchž podmínek.
Situace je charakterizována jedním náhodným výběrem X1, ..., Xn.
Náhodně vylosujeme n selat téhož plemene, podrobíme je jediné výkrmné dietě a
zjistíme u každého selete hmotnostní přírůstek. Tím dostaneme realizaci jednoho
náhodného výběru.
Typy pozorování (2)
46
Typy pozorování (3)
47
Diagnostické grafy
48
Motivace: Diagnostické grafy slouží především k tomu, aby nám pomohly orientačně
posoudit povahu dat a určit směr další statistické analýzy. Při zpracování dat se často
předpokládá splnění určitých podmínek. V případě jednoho náhodného výběru je to
především normalita (posuzujeme ji pomocí NP plotu či histogramu) a nepřítomnost
vybočujících hodnot (odhalí je krabicový diagram).
Krabicový diagram
Umožňuje posoudit symetrii a variabilitu datového
souboru a existenci odlehlých či extrémních hodnot.
Způsob konstrukce: Odlehlá hodnota leží mezi
vnějšími a vnitřními hradbami, tj. v intervalu
(x0,75 + 1,5q, x0,75 + 3q) či v intervalu
(x0,25 - 3q, x0,25 – 1,5q). Extrémní hodnota leží za vnějšími hradbami, tj. v intervalu
(x0,75 + 3q, ∞) či v intervalu (-∞, x0,25 - 3q).
Příklad (1)
49
Počet členů 1 2 3 4 5 6
Počet domácností 2 6 4 10 5 3
α nα c xα
0,25 7,5 8 x(c)=x(8) 2
0,50 15 15 4
0,75 22,5 23 x(c)=x(23) 5
Příklad (2)
50
Dolní kvartil je 2, tedy aspoň čtvrtina domácností má aspoň dva členy.
Medián je 4, tedy aspoň polovina domácností má aspoň 4 členy.
Horní kvartil je 5, tedy aspoň tři čtvrtiny domácností mají aspoň 5 členů.
Vypočteme kvartilovou odchylku: q = x0,75 – x0,25 = 5 – 2 = 3.
Dolní vnitřní hradba: x0,25 – 1,5q = 2 – 1,5.3 = -2,5
Horní vnitřní hradba: x0,75 + 1,5q = 5 + 1,5.3 = 9,5
Nakonec sestrojíme krabicový diagram:
Vidíme, že datový soubor vykazuje určitou nesymetrii – medián je posunut směrem
k hornímu kvartilu, soubor je tedy záporně sešikmen. V souboru se nevyskytují žádné
odlehlé ani extrémní hodnoty.
7
6
5
4
3
2
1
0
Pravděpodobnostně – pravděpodobnostní graf (P – P plot)
51
Příklad
52
usp. hodnoty 1,8 1,8 1,9 2 2 2,1 2,1 2,2 2,3 2,4
pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
průměrné pořadí 1,5 1,5 3 4,5 4,5 6,5 6,5 8 9 10
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Histogram
53
Umožňuje porovnat tvar hustoty četnosti s tvarem hustoty pravděpodobnosti
vybraného teoretického rozložení. (Ve STATISTICE je pojem histogramu širší,
skrývá se za ním i sloupkový diagram.)
Způsob konstrukce ve STATISTICE: na vodorovnou osu se vynášejí třídicí intervaly
(implicitně 10, jejich počet lze změnit, stejně tak i meze třídicích intervalů) či
varianty znaku a na svislou osu absolutní nebo relativní četnosti třídicích intervalů či
variant. Do histogramu se zakreslí tvar hustoty (či pravděpodobnostní funkce)
vybraného teoretického rozložení.
Příklad
54
U 70 domácností byly zjišťovány týdenní výdaje na nealkoholické nápoje (v Kč).
Nakreslete histogram.
Řešení:
Histogram s proloženou hustotou
pravděpodobnosti normálního rozložení:
Vidíme, že tvar histogramu se poněkud odchyluje
od tvaru hustoty pravděpodobnosti normálního
rozložení. Malé hodnoty jsou četnější než velké –
datový soubor je kladně sešikmen.
Vlastnosti rozložení četností datového souboru se projeví
ve vzhledu histogramu, N–P plotu a krabicového diagramu, jak vidíme na na
následujícím obrázku:
Výdaje
Počet dom. 7 16 27 14 4 2
50 80 110 140 170 200
0
5
10
15
20
25
30
Vlastnosti rozložení četností datového souboru
55
3. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí
56
Definice parametrického prostoru a parametrické funkce
57
Definice nestranného odhadu, lepšího nestranného odhadu, posloupnosti
asymptoticky nestranných odhadů a konzistentních odhadů
58
Důsledek: Vztah mezi jednotlivými typy bodových odhadů
59
Lze dokázat, že z nestrannosti odhadu vyplývá jeho
asymptotická nestrannost a z asymptotické nestrannosti
vyplývá konzistence, pokud posloupnost rozptylů
odhadu konverguje k nule.
Věta o vlastnostech bodových odhadů odvozených z jednoho náhodného výběru (1)
60
Věta o vlastnostech bodových odhadů odvozených z jednoho náhodného výběru (2)
61
Ilustrace (1)
Vlastnosti výběrového průměru a výběrového rozptylu budeme ilustrovat na
náhodném výběru rozsahu 100 z rozložení Rs(0,1). V tomto případě E(Xi) = 1/2,
D(Xi) = 1/12, i = 1, …, 100. Pomocí systému STATISTICA vygenerujeme pro
každou z náhodných veličin X1, …, X100 100 realizací a uložíme je do
proměnných v1, …, v100. Dále vypočítáme průměr a rozptyl těchto realizací,
uložíme je do proměnných PRUMER a ROZPTYL. Graficky znázorníme
hodnoty některé z proměnných v1, …, v100 (např. v1) a hodnoty proměnné
PRUMER:
62
Prom1
PRUMER
-20 0 20 40 60 80 100 120
PORADI
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Ilustrace (2)
Vidíme, že hodnoty proměnné v1 kolísají od 0 do 1, zatímco hodnoty proměnné
PRUMER se nacházejí v úzkém pásu kolem 1/2.
Dále vypočteme průměr a rozptyl např. proměnné v1 a proměnné PRUMER a
dále vypočtěte průměr proměnné ROZPTYL.
Průměr proměnné v1 by měl být blízký 0,5, rozptyl 1/12 = 0,083. Průměr
proměnné PRUMER by se měl blížit 0,5, zatímco rozptyl by měl být n = 100 x
menší než 1/12, tj. 0,00083. Dále průměr proměnné ROZPTYL by se měl blížit
1/12 = 0,083.
63
Ilustrace (3)
Nestrannost výběrové distribuční funkce budeme ilustrovat na náhodném výběru
rozsahu 1000 z rozložení N(0,1). Získáme výběrovou distribuční funkci tohoto
výběru a její graf porovnáme s grafem distribuční funkce náhodné veličiny se
standardizovaným normálním rozložením. Graf výběrové distribuční funkce má
černou barvu, graf distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení má
červenou barvu.
64
Ilustrace (4)
Průběh výběrové distribuční funkce F1000(x) je velmi podobný průběhu distribuční
funkce Ф(x). Pokud bychom postup zopakovali s podstatně menším rozsahem
náhodného výběru (např. n = 100), průběh obou funkcí by se lišil výrazněji:
65
Věta o vlastnostech bodových odhadů odvozených z r ≥ 2 nezávislých náhodných výběrů
66
Věta o vlastnostech bodových odhadů odvozených z jednoho dvourozměrného náhodného výběru
Nechť (X1,Y1), ..., (Xn,Yn) je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení
s kovariancí σ12 a koeficientem korelace ρ. Označme S12 výběrovou
kovarianci a R12 výběrový koeficient korelace. Pak pro libovolné
hodnoty parametrů σ12 a ρ platí:
E(S12) = σ12,
E(R12) ≈ ρ (shoda je vyhovující pro n ≥ 30).
Znamená to, že výběrová kovariance S12 je nestranným odhadem
kovariance σ12, avšak výběrový koeficient korelace R12 je vychýleným
odhadem koeficientu korelace ρ.
67
Definice intervalu spolehlivosti
68
Doporučený postup při konstrukci intervalu spolehlivosti (1)
69
Doporučený postup při konstrukci intervalu spolehlivosti (2)
70
Ilustrace
Jestliže 100x nezávisle na sobě uskutečníme náhodný výběr z rozložení se střední
hodnotou μ a pokaždé sestrojíme 95% empirický interval spolehlivosti pro μ, pak
přibližně v 95 případech bude ležet parametr μ v intervalech spolehlivosti a asi v
5 případech interval spolehlivosti μ nepokryje.
71
Příklad (1)
72
Příklad (2)
73
Příklad
74
Poznámka o šířce intervalu spolehlivosti
75
Ilustrace (1)
ad a) Grafické znázornění závislosti dolních a horních meze 95%
empirických intervalů spolehlivosti pro střední hodnotu normálního
rozložení při známém rozptylu na rozsahu náhodného výběru:
Vidíme, že šířka intervalu spolehlivosti klesá se zvětšujícím se rozsahem
náhodného výběru, zprvu rychle a pak stále pomaleji.
76
Ilustrace (2)
ad b) Grafické znázornění závislosti dolních a horních mezí 100(1-α)%
empirických intervalů spolehlivosti pro střední hodnotu normálního rozložení při
známém rozptylu a konstantním rozsahu výběru na riziku:
Vidíme, že šířka intervalu spolehlivosti s rostoucím rizikem klesá.
77
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22
Prom1
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
Příklad
78
(Stanovení minimálního rozsahu výběru z normálního rozložení)
Poznámky
79
Cokoliv z náhodného výběru můžeme pokládat za bodový odhad parametru.
Bodový odhad by měl být nestranný.
Konzistentní odhad – rozptyly se asymptoticky blíží k 0.
4. Metody hledání bodových odhadů parametrů. Úvod do testování hypotéz.
80
Definice maximálně věrohodného odhadu
81
Definice věrohodnostních rovnic
82
Příklad (1)
83
(Maximálně věrohodný odhad v diskrétním skalárním případě)
Příklad (2)
84
(Maximálně věrohodný odhad v diskrétním skalárním případě)
Příklad (1)
85
(Maximálně věrohodný odhad ve spojitém vektorovém případě)
Příklad (2)
86
(Maximálně věrohodný odhad ve spojitém vektorovém případě)
Definice momentového odhadu
87
Příklad
88
Testování hypotéz
Motivace: Častým úkolem statistika je na základě dat ověřit předpoklady o
parametrech nebo typu rozložení, z něhož pochází náhodný výběr. Takovému
předpokladu se říká nulová hypotéza. Nulová hypotéza vyjadřuje nějaký
teoretický předpoklad, často skeptického rázu a uživatel ji musí stanovit předem,
bez přihlédnutí k datovému souboru. Proti nulové hypotéze stavíme alternativní
hypotézu, která říká, co platí, když neplatí nulová hypotéza. Alternativní hypotéza
je formulována tak, aby mohla platit jenom jedna z těchto dvou hypotéz.
Pravdivost alternativní hypotézy by znamenala objevení nějakých nových
skutečností nebo zásadnější změnu v dosavadních představách.
Např. výzkumník by chtěl na základě dat prověřit tezi (nový objev), že pasivní
kouření škodí zdraví. Jako nulovou hypotézu tedy položí tvrzení, že pasivní
kouření neškodí zdraví a proti nulové hypotéze postaví alternativní, že pasivní
kouření škodí zdraví.
Testováním hypotéz se myslí rozhodovací postup, který je založen na daném
náhodném výběru a s jehož pomocí rozhodneme o zamítnutí či nezamítnutí
nulové hypotézy.
89
Definice nulové a alternativní hypotézy
90
Testování nulové a alternativní hypotézy
91
Definice chyby 1. a 2. druhu
Při testování H0 proti H1 se můžeme dopustit jedné ze dvou chyb: chyba 1. druhu spočívá
v tom, že H0 zamítneme, ač ve skutečnosti platí a chyba 2. druhu spočívá v tom, že H0
nezamítneme, ač ve skutečnosti neplatí. Situaci přehledně znázorňuje tabulka:
Pravděpodobnost chyby 1. druhu se značí α a nazývá se hladina významnosti testu
(většinou bývá α = 0,05, méně často 0,1 či 0,01). Pravděpodobnost chyby 2. druhu se značí
β. Číslo 1–β se nazývá síla testu a vyjadřuje pravděpodobnost, že bude H0 zamítnuta za
předpokladu, že neplatí. Obvykle se snažíme, aby síla testu byla aspoň 0,8. Obě hodnoty, α i
1–β, závisí na velikosti efektu, který se snažíme detekovat. Čím drobnější efekt, tím musí
být větší rozsah náhodného výběru.
Poznámka: Testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze třemi způsoby.
Testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze lze provést pomocí kritického oboru,
pomocí intervalu spolehlivosti nebo pomocí p-hodnoty.
92
skutečnost
rozhodnutí
H0 nezamítáme H0 zamítáme
H0 platí správné rozhodnutí chyba 1. druhu
H0 neplatí chyba 2. druhu správné rozhodnutí
Definice testového kritéria, oboru nezamítnutí, kritického oboru a kritických hodnot
Statistika T0 = T0(X1, ..., Xn) se nazývá testovým kritériem. Množina
všech hodnot, jichž může testové kritérium nabýt, se rozpadá na obor
nezamítnutí nulové hypotézy (značí se V) a obor zamítnutí nulové
hypotézy (značí se W a nazývá se též kritický obor). Tyto dva obory jsou
odděleny kritickými hodnotami (pro danou hladinu významnosti α je lze
najít ve statistických tabulkách).
93
Rozhodnutí o nulové hypotéze pomocí realizace testového kritéria v oboru
nezamítnutí či v kritickém oboru
Jestliže číselná realizace t0 testového kritéria T0 padne do kritického
oboru W, pak nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α a
znamená to skutečné vyvrácení testované hypotézy. Jestliže t0 padne do
oboru nezamítnutí V, pak jde o pouhé mlčení, které platnost nulové
hypotézy jenom připouští.
94
Stanovení kritického oboru v případě oboustranné alternativy, levostranné
alternativy, pravostranné alternativy
95
Doporučený postup při testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze
pomocí kritického oboru
− Stanovíme nulovou hypotézu a alternativní hypotézu. Přitom je vhodné zvolit
jako alternativní hypotézu ten předpoklad, jehož přijetí znamená závažné
opatření a mělo by k němu dojít jen s malým rizikem omylu.
− Zvolíme hladinu významnosti α. Zpravidla volíme α = 0,05, méně často 0,1
nebo 0,01.
− Najdeme vhodné testové kritérium a na základě zjištěných dat vypočítáme
jeho realizaci.
− Jestliže realizace testového kritéria padla do kritického oboru, nulovou
hypotézu zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme alternativní
hypotézu. V opačném případě nulovou hypotézu nezamítáme na hladině
významnosti α.
− Na základě rozhodnutí, které jsme učinili o nulové hypotéze, učiníme nějaké
konkrétní opatření, např. seřídíme obráběcí stroj.
− (Při testování hypotéz musíme mít k dispozici odpovídající nástroje, nejlépe
vhodný statistický software. Nemáme-li ho k dispozici, musíme znát příslušné
vzorce. Dále potřebujeme statistické tabulky a kalkulačku.)
96
Testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze pomocí 100(1-α)%
empirického intervalu spolehlivosti pro parametrickou funkci h(ϑ)
97
Testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze pomocí p-hodnoty
p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti pro zamítnutí nulové hypotézy.
Je to riziko, že bude zamítnuta H0 za předpokladu, že platí (riziko planého poplachu).
Jestliže p-hodnota ≤ α, pak H0 zamítáme na hladině významnosti α, je-li p-hodnota >
α, pak H0 nezamítáme na hladině významnosti α.
Způsob výpočtu p-hodnoty:
 Pro oboustrannou alternativu p = 2 min{P(T0 ≤ t0), P(T0 ≥ t0)}.
 Pro levostrannou alternativu p = P(T0 ≤ t0).
 Pro pravostrannou alternativu p = P(T0 ≥ t0).
(p-hodnota vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou číselné realizace x1, ..., xn náhodného
výběru X1, ..., Xn podporují H0, je-li pravdivá. Statistické programové systémy
poskytují ve svých výstupech p-hodnotu. Její výpočet vyžaduje znalost distribuční
funkce rozložení, kterým se řídí testové kritérium T0, je-li H0 pravdivá. Vzhledem
k tomu, že v běžných statistických tabulkách jsou uvedeny pouze hodnoty distribuční
funkce standardizovaného normálního rozložení, bez použití speciálního software jsme
schopni vypočítat p-hodnotu pouze pro test hypotézy o střední hodnotě normálního
rozložení při známém rozptylu.)
98
Ilustrace významu p-hodnoty (1)
Oboustranný test:
99
Ilustrace významu p-hodnoty (2)
Levostranný test:
100
Ilustrace významu p-hodnoty (3)
Pravostranný test:
101
Příklad (1)
102
Příklad (2)
103
5. Porovnání empirického a teoretického rozložení
Motivace: Možnost použití statistických testů je podmíněna nějakými
předpoklady o datech. Velmi často je to předpoklad o typu rozložení,
z něhož získaná data pocházejí. Mnoho testů je založeno na předpokladu
normality.
Opomíjení předpokladů o typu rozložení může v praxi vést i ke zcela
zavádějícím výsledkům, proto je nutné věnovat tomuto problému
patřičnou pozornost.
104
Popis Kolmogorovova – Smirnovova testu a jeho Lilieforsovy varianty
105
Lilieforsova modifikace Kolmogorovova – Smirnovova testu
Nechť nulová hypotéza tvrdí, že náhodný výběr pochází z normálního rozložení,
jehož parametry μ a σ2 neznáme. Tyto parametry musíme odhadnout z dat. Tím se
změní rozložení testové statistiky Dn. V takovém případě jde o Lilieforsovu
modifikaci Kolmogorovova – Smirnovova testu. Příslušné modifikované kvantily
byly určeny pomocí simulačních studií.
Poznámka ke K-S testu ve STATISTICE: Test normality poskytuje hodnotu
testové statistiky (ozn. d) a dvě p-hodnoty. První se vztahuje k případu, kdy μ a σ2
známe předem, druhá (ozn. Liliefors p) se vztahuje k případu, kdy μ a σ2
neznáme. Objeví-li se ve výstupu p = n.s. (tj. non significant), pak hypotézu o
normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
106
Příklad (1)
107
Příklad (2)
108
Popis Shapirova – Wilkova testu
109
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
110
V sedmi náhodně vybraných prodejnách byly zjištěny následující ceny určitého druhu zboží (v
Kč): 35, 29, 30, 33, 45, 33, 36. Rozhodněte pomocí Lilieforsovy varianty K-S testu a S-W testu na
hladině významnosti 0,05, zda lze tyto ceny považovat za realizace náhodného výběru
z normálního rozložení.
Řešení:
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a 7 případech. Do proměnné X jsou zapíšeme
zjištěné ceny.
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Tabulky četností - OK – Proměnné X, OK – Normalita
– zaškrtneme Lilieforsův test a Shaphiro - Wilksův W test –Testy normality
V tabulce je uvedena hodnota testové statistiky pro Lilieforsův test (d = 0,24029) a pro S-W test
(W = 0,86866) a odpovídající p-hodnoty. Lilieforsovo p je počítáno na základě parametrů
odhadnutých z dat. V našem případě p > 0,2 a pro S-W test p = 0,18068. Ani jeden z testů
nezamítá nulovou hypotézu o normalitě.
Výpočet doplníme normálním pravděpodobnostním grafem a kvantil – kvantilovým grafem:
Graphs – 2D Graphs - Normal Probability Plots (resp. Quantile- Quantile plot)- Variables X – OK.
Testy normality (Tabulka22)
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
x 7 0,240290 p > .20 0,868661 0,180679
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
111
N-P plot:
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Pozorovaná hodnota
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
Očekávanánormálníhodnota
Výpočet pomocí systému STATISTICA (3)
112
Q-Q plot:
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Teoretický kvantil
0,10 0,25 0,50 0,75 0,90
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
Pozorovanýkvantil
Další testy normality (1)
113
Další testy normality (2)
114
Další testy normality (3)
115
Popis testu dobré shody v diskrétním a spojitém případě (1)
116
Popis testu dobré shody v diskrétním a spojitém případě (2)
117
Příklad
118
(Test dobré shody pro diskrétní rozložení)
j nj pj npj
0 52 0,301 150.0,301=45,15 1,039
1 48 0,361 150.0,361=54,15 0,698
2 36 0,217 150.0,217=32,55 0,366
3 10 0,087 150.0,087=13,05 0,713
4 4 0,034 150.0,034=5,1 0,237
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
119
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných (POČET a ČETNOST) a pěti případech
a zapíšeme do něj hodnoty 0 1 2 3 4 a 52 48 36 10 4.
Statistiky – Prokládání rozdělení – Diskrétní rozdělení – Poissonovo – OK – Proměnná
POČET – Proměnná vah ČETNOST – Stav zapnuto – OK – Parametry Lambda 1,2, OK.
Ve výstupní tabulce je uvedena hodnota testového kritéria (3,03371) a odpovídající phodnota
(0,38646). Nulová hypotéza se tedy nezamítá na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
(Podmínky dobré aproximace jsou splněny, všechny teoretické četnosti - uvedené ve
sloupci Očekávané četnosti – jsou větší než 5.)
Proměnná: pocet, Rozdělení:Poissonovo, Lambda = 1,20000 (T abulka4)
Chí-kvadrát = 3,03371, sv = 3, p = 0,38646
Kategorie
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
Poz
O
<= 0,00000
1,00000
2,00000
3,00000
< Nekonečno
52 52 34,66667 34,666745,17914 45,179130,11943 30,1194
48 100 32,00000 66,666754,21495 99,394136,14330 66,2627
36 136 24,00000 90,666732,52897 131,923121,68598 87,9487
10 146 6,66667 97,333313,01159 144,9347 8,67439 96,6231
4 150 2,66667 100,0000 5,06535 150,0000 3,37690 100,0000
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
120
Pro vytvoření grafu se vrátíme do Proložení diskrétních rozložení – Základní výsledky
– Graf pozorovaného a očekávaného rozdělení.
Proměnná: pocet, Rozdělení:Poissonovo, Lambda = 1,20000
Chí-kvadrát test = 3,03371, sv = 3, p = 0,38646
-1 0 1 2 3 4 5
Kategorie (horní meze)
0
10
20
30
40
50
60
Početpozorování
Příklad
121
(Test dobré shody pro spojité rozložení)
nj pj=Ф(uj+1)- Ф(uj) npj (nj – npj)2
11 0,060598 6,0598 24,4060 4,0276
20 0,241730 24,1730 17,4142 0,7204
44 0,382925 38,2925 32,5756 0,8507
19 0,241730 24,1730 26,7608 1,1070
6 0,060598 6,0598 0,0036 0,0006
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
122
1
xj
2
nj
1
2
3
4
5
3,94 11
3,98 20
4,02 44
4,06 19
4,1 6
Proměnná:xj, Rozdělení:Normální (T abulka10)
Chí-kvadrát = 5,54004, sv = 2, p = 0,06266
Horní
hranice
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
Pozorované -
Očekáv.
<= 3,96000
4,00000
4,04000
4,08000
< Nekonečno
11 11 11,00000 11,0000 6,68072 6,6807 6,68072 6,6807 4,31928
20 31 20,00000 31,000024,17303 30,853824,17303 30,8538 -4,17303
44 75 44,00000 75,000038,29249 69,146238,29249 69,1462 5,70751
19 94 19,00000 94,000024,17303 93,319324,17303 93,3193 -5,17303
6 100 6,00000 100,0000 6,68072 100,0000 6,68072 100,0000 -0,68072
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
123
Pro vytvoření grafu se vrátíme do Proložení spojitých rozdělení – Základní výsledky –
Graf pozorovaného a očekávaného rozdělení.
Proměnná:xj, Rozdělení:Normální
Chí-kvadrát test = 5,54004, sv = 2, p = 0,06266
3,92 3,96 4,00 4,04 4,08 4,12
Kategorie (horní meze)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Početpozorování
Poznámka o testu dobré shody
124
Test dobré shody může být použit i v těch případech, kdy rozložení, z něhož
daný náhodný výběr pochází, neodpovídá nějakému známému rozložení (např.
exponenciálnímu, normálnímu, Poissonovu, ...), ale je určeno intuitivně nebo
na základě zkušenosti.
Příklad
125
Ve svých pokusech pozoroval J.G. Mendel 10 rostlin hrachu a na každé z nich počet
žlutých a zelených semen. Výsledky pokusu:
Z genetických modelů vyplývá, že pravděpodobnost výskytu žlutého semene by měla
být 0,75 a zeleného 0,25. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu,
že výsledky Mendelových pokusů se shodují s modelem.
Řešení: Výpočty potřebné pro stanovení testové statistiky K uspořádáme do tabulky.
K = 0,148148 + 0,258547 + ... + 0,134409 = 1,797495, r = 10, χ2
0,95(9) = 16,9.
Protože 1,797495 < 16,9, nulovou hypotézu nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
č.rostliny 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
počet žlutých semen 25 32 14 70 24 20 32 44 50 44
počet zelených semen 11 7 5 27 13 6 13 9 14 18
celkem 36 39 19 97 37 26 45 53 64 62
j nj pj npj
1 25 0,75 36.0,75=27 0,148148
2 32 0,75 39.0,75=29,25 0,258547
10 44 0,75 62.0,75=46,5 0,134409
Výpočet pomocí systému STATISTICA
126
Vytvoříme datový soubor se třemi proměnnými Celkem, X a Y a 10 případy. Do proměnné Celkem zapíšeme
celkový počet žlutých a zelených semen, do X zapíšeme pozorované absolutní četnosti žlutých semen, do
proměnné Y vypočítané teoretické četnosti (v našem případě Celkem*0,75).
Statistiky – Neparametrická statistika – Pozorované vs. očekávané χ2 – Proměnné Pozorované četnosti X,
Očekávané četnosti Y, OK – Výpočet.
Ve výstupní tabulce najdeme hodnotu testové statistiky (Chi-Kvadr. = 1,797495) a odpovídající phodnotu,
kterou porovnáme se zvolenou hladinou významnosti. V našem případě je p-hodnota
0,99428, takže nulová hypotéza se nezamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Pozorované vs. očekávané četnosti (Mendel hrach)
Chi-Kvadr. = 1,797495 sv = 9 p = ,994280
POZN.: Nestejné součty pozor. a oček. četností
Případ
pozorov.
X
očekáv.
Y
P - O (P-O)^2
/O
C: 1
C: 2
C: 3
C: 4
C: 5
C: 6
C: 7
C: 8
C: 9
C: 10
Sčt
25,0000 27,0000 -2,00000 0,148148
32,0000 29,2500 2,75000 0,258547
14,0000 14,2500 -0,25000 0,004386
70,0000 72,7500 -2,75000 0,103952
24,0000 27,7500 -3,75000 0,506757
20,0000 19,5000 0,50000 0,012821
32,0000 33,7500 -1,75000 0,090741
44,0000 39,7500 4,25000 0,454403
50,0000 48,0000 2,00000 0,083333
44,0000 46,5000 -2,50000 0,134409
355,0000 358,5000 -3,50000 1,797495
6. Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení
Motivace: Mnoho náhodných veličin, s nimiž se setkáváme ve výzkumu i
praxi, se řídí normálním rozložením. Za jistých předpokladů obsažených
v centrální limitní větě se dá rozložení jiných náhodných veličin
aproximovat normálním rozložením. Proto je zapotřebí věnovat velkou
pozornost právě náhodným výběrům z normálního rozložení.
127
Rozložení statistik odvozených z výběrového průměru a výběrového rozptylu
128
Důkaz
129
Příklad
130
Výpočet pomocí systému STATISTICA
131
132
133












,
)1n(
s)1n(
1
2
2
Příklad (1)
134
Příklad (2)
135
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
136
Vytvoříme nový datový soubor o jedné proměnné X a 10 případech. Do proměnné
X napíšeme dané hodnoty.
Statistika – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X –
OK – Detailní výsledky – zaškrtneme Meze spolehl. prům. a Meze sp. směr. odch.
(ostatní volby zrušíme) – pro oboustranný 95% interval spolehlivosti ponecháme
implicitní hodnotu pro Interval 95,00, pro jednostranné intervaly změníme
hodnotu na 90,00.
Výsledky pro oboustranné 95% intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu μ, pro
směrodatnou odchylku σ a rozptyl σ2:
Vidíme, že
1,92 < μ < 2,20 s pravděpodobností aspoň 0,95,
0,1383 < σ < 0,3671 s pravděpodobností aspoň 0,95.
0,0191 < σ2 < 0,1348 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
137
Výsledky pro jednostranné 95% intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu μ,
pro směrodatnou odchylku σ a rozptyl σ2:
Vidíme, že
μ > 1,94 s pravděpodobností aspoň 0,95,
μ < 2,20 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ > 0,1467 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ < 0,3309 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ2 > 0,0215 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ2 < 0,1095 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Proměnná
Int. spolehl.
-90,000%
Int. spolehl.
90,000
Spolehlivost
Sm.Odch.
-90,000%
Spolehlivost
Sm.Odch.
+90,000%
NProm1
=v3^2
NProm2
=v4^2
X 1,943421 2,176579 0,146678 0,3308620,021514 0,10947
Jednotlivé typy testů pro parametry normálního rozložení
138
139
140
141
Příklad
142
Výpočet pomocí systému STATISTICA
143
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK –
vybereme Rozdíl mezi dvěma průměry (normální rozdělení) – zaškrtneme Výběrový
průměr vs. Střední hodnota a zvolíme jednostr. – do políčka Pr1 napíšeme 122, do
políčka SmOd1 napíšeme 8,6, do políčka N1 napíšeme 50, do políčka Pr2 napíšeme
125 - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,0086, tedy zamítáme nulovou hypotézu na
hladině významnosti 0,01.
Definice rozdílového náhodného výběru a vzorec pro meze na základě
náhodného výběru z dvourozměrného normálního rozložení
144
𝜇1
𝜇2
,
𝜎1
2
𝜎12
𝜎12 𝜎2
2
Příklad
145
číslo vzorku 1 2 3 4 5
1. metoda 2,3 1,9 2,1 2,4 2,6
2. metoda 2,4 2,0 2,0 2,3 2,5
Výpočet pomocí systému STATISTICA
146
Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 5 případech. Do 1.
proměnné X napíšeme hodnoty pro 1. metodu, do 2. proměnné Y hodnoty pro
2. metodu a do 3. proměnné Z rozdíly mezi X a Y.
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky, OK - Proměnné
Z, Detailní výsledky – zaškrtneme Meze spolehl. Prům. – Interval 90% Výpočet.
Dostaneme tabulku:
Vidíme tedy, že -0,0844 < μ < 0,1244 s pravděpodobností aspoň 0,9.
Popisné statistiky (chemicka latka)
Proměnná
Int. spolehl.
-90,000%
Int. spolehl.
90,000
Z -0,084439 0,124439
Definice párového t-testu
147
𝜇1
𝜇2
,
𝜎1
2
𝜎12
𝜎12 𝜎2
2
Příklad (1)
148
č.firmy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X 10 12 14 12 12 17 9 15 9 11 7 15
Y 11 14 15 11 13 16 10 13 11 17 9 19
Příklad (2)
149
Výpočet pomocí systému STATISTICA
150
Vytvoříme nový datový soubor o 2 proměnných a 12 případech. Do 1.
proměnné X napíšeme hodnoty pro mezinárodní podnikání, do 2. proměnné
hodnoty pro domácí podnikání.
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – t-test pro závislé vzorky, OK Proměnné
X, Y – OK – Výpočet. Dostaneme tabulku:
Vypočtenou p-hodnotu 0,05849 porovnáme se zvolenou hladinou
významnosti α = 0,1. Protože p ≤ α, zamítáme nulovou hypotézu na hladině
významnosti 0,1.
t-test pro závislé vzorky (investovani)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Rozdíl Sm.odch.
rozdílu
t sv p
X
Y
11,91667 2,937480
13,25000 3,04884512 -1,33333 2,188122 -2,11085 11 0,058490
7. Parametrické úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech z
normálních rozložení
Motivace: V této situaci je naším úkolem porovnat střední hodnoty či
rozptyly dvou normálních rozložení na základě znalosti dvou nezávislých
náhodných výběrů pořízených z těchto rozložení. Zpravidla konstruujeme
intervaly spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot respektive hodnotíme
shodu středních hodnot pomocí dvouvýběrového t-testu či
dvouvýběrového z-testu a shodu rozptylů pomocí F-testu.
151
Rozložení statistik odvozených z výběrových průměrů a výběrových rozptylů (1)
152
Rozložení statistik odvozených z výběrových průměrů a výběrových rozptylů (2)
153
Důkaz
154
Příklad
155
Výpočet pomocí systému STATISTICA
156
157
158
Lineární interpolace
159
Příklad: máme α=0,05, vyjde ν=5,25, v tabulkách
najdeme t0,95(5)= 2,015 a t0,95(6)= 1,943.
Interpolací dostáváme:
997,1)525,5(
56
015,2943,1
015,2)25.5(95,0 


t
160
161
Příklad
162
Výpočet pomocí systému STATISTICA
163
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných d a h a jednom případu.
Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme
=34,48-35,59-
sqrt((24*1,7482+9*1,7121)/33)*sqrt((1/25)+(1/10))*VStudent(0,975;33)
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme
=34,48-35,59+
sqrt((24*1,7482+9*1,7121)/33)*sqrt((1/25)+(1/10))*VStudent(0,975;33)
S pravděpodobností aspoň 0,95 tedy -2,114 g/l < μ1 - μ2 < -0,106 g/l.
1
d
2
h
1 -2,11368 -0,10632
Příklad
164
Výpočet pomocí systému STATISTICA
165
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných d a h a jednom případu.
Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme
=(1,7482/1,7121)/VF(0,975;24;9)
(Funkce VF(x;ný;omega) počítá x-kvantil Fisherova – Snedecorova rozložení
F(ný, omega).)
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme
=(1,7482/1,7121)/VF(0,025;24;9)
S pravděpodobností aspoň 0,95 tedy platí: 0,28 < σ1
2/ σ2
2 < 2,76.
1
d
2
h
1 0,2825212,759698
166
167
168
169
Příklad (1)
170
Příklad (2)
171
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
172
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných a 35 případech. První
proměnnou nazveme OBSLUHA, druhou ID. Do proměnné OBSLUHA
napíšeme nejprve doby obsluhy v první restauraci a poté doby obsluhy ve
druhé restauraci. Do proměnné ID, která slouží k rozlišení první a druhé
restaurace, napíšeme 20 krát jedničku a 15 krát dvojku.
Pomocí NP-grafu ověříme normalitu dat v obou skupinách. Grafy – 2D Grafy
– Normální pravděpodobnostní grafy – Proměnné OBSLUHA, OK,
Kategorizovaný – Kategorie X, zaškrtneme Zapnuto, Změnit proměnnou – ID,
OK.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
173
Dostaneme graf
Normální p-graf z obsluha; kategorizovaný id
restaurace.sta 2v*35c
id: 1
2 4 6 8 10 12 14 16
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Očekávanánormálníhodnota
id: 2
2 4 6 8 10 12 14 16
Výpočet pomocí systému STATISTICA (3)
174
V obou případech se tečky odchylují od přímky jenom málo. Předpoklad o
normálním rozložení dat v obou skupinách je oprávněný.
Nyní provedeme dvouvýběrový t-test současně s testem o shodě rozptylů:
Statistika – Základní statistiky a tabulky – t-test, nezávislé, dle skupin – OK,
Proměnné –Závislé proměnné OBSLUHA, Grupovací proměnná ID – OK.
Po kliknutí na tlačítko Souhrn dostaneme tabulku
t-testy; grupováno: ID (restaurace)
Skup. 1: 1
Skup. 2: 2
Proměnná
Průměr
1
Průměr
2
t sv p Poč.plat
1
Poč.plat.
2
Sm.odch.
1
Sm.odch.
2
F-poměr
rozptyly
p
rozptyly
OBSLUHA 8,250000 8,133333 0,123730 33 0,902279 20 15 2,510504 3,067495 1,492952 0,410440
Výpočet pomocí systému STATISTICA (4)
175
Vidíme, že testová statistika pro test shody rozptylů se realizuje hodnotou
1,492952 (je to převrácená hodnota k číslu 0,6702, které jsme vypočítali při
ručním postupu), odpovídající p-hodnota je 0,41044, tedy na hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů. (Upozornění:
v případě zamítnutí hypotézy o shodě rozptylů je zapotřebí v tabulce t-testu
pro nezávislé vzorky dle skupin zaškrtnout volbu Test se samostatnými odhady
rozptylu.)
Dále z tabulky plyne, že testová statistika pro test shody středních hodnot se
realizuje hodnotou 0,12373, počet stupňů volnosti je 33, odpovídající phodnota
0,902279, tedy hypotézu o shodě středních hodnot nezamítáme na
hladině významnosti 0,05. Znamená to, že s rizikem omylu nejvýše 5% se
neprokázal rozdíl ve středních hodnotách dob obsluhy v restauracích "U bílého
koníčka" a „Zlatý lev“.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (5)
176
Tabulku ještě doplníme krabicovými diagramy. Na záložce Detaily zaškrtneme
krabicový graf a vybereme volbu Průměr/SmOdch/Min-Max.
Z grafu je vidět, že průměrná doba obsluhy v první restauraci je nepatrně delší a má
menší variabilitu než ve druhé restauraci. Extrémní ani odlehlé hodnoty se zde
nevyskytují.
Krabicový graf z obsluha seskupený id
restaurace.sta 2v*35c
Průměr
Průměr±SmOdch
Min-Max
Odlehlé
Extrémy
1 2
id
2
4
6
8
10
12
14
16
obsluha
Cohenův koeficient věcného účinku – doplnění významu dvouvýběrového t-testu (1)
177
Cohenův koeficient věcného účinku – doplnění významu dvouvýběrového t-testu (2)
Velikost účinku hodnotíme podle následující tabulky:
(Uvedené hodnoty nemají samozřejmě absolutní platnost, posouzení, jaký
účinek považujeme za velký či malý, závisí na kontextu.)
Je zapotřebí si uvědomit, že při dostatečně velkých rozsazích náhodných
výběrů i malý rozdíl ve výběrových průměrech způsobí zamítnutí nulové
hypotézy na hladině významnosti α, i když z věcného hlediska tak malý
rozdíl nemá význam. Naopak, máme-li výběry malých rozsahů, pak i
značně velký rozdíl ve výběrových průměrech nemusí vést k zamítnutí
nulové hypotézy na hladině významnosti α.
178
Hodnota d účinek
aspoň 0,8 velký
mezi 0,5 až 0,8 střední
mezi 0,2 až 0,5 malý
pod 0,2 zanedbatelný
Příklad (1)
179
Máme k dispozici údaje o celkovém IQ 856 žáků ZŠ. Zajímáme se jednak o skupinu
dětí, jejichž oba rodiče mají pouze základní vzdělání (je jich 296) a jednak o skupinu
dětí, jejichž oba rodiče mají vysokoškolské vzdělání (těch je 75). Na hladině
významnosti 0,05 budeme testovat hypotézu, že střední hodnota celkového IQ je
v obou skupinách stejná a také vypočteme Cohenův koeficient věcného účinku.
Řešení:
Normalitu dat v obou skupinách posoudíme pomocí N-P plotu:
Příklad (2)
180
Normální p-graf z IQ_CELK; kategorizovaný ID
ID: oba ZŠ
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Očekávanánormálníhodnota
ID: oba VŠ
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Příklad (3)
181
Vzhled N- P plotů v obou skupinách podporuje domněnku o normalitě dat.
Provedeme dvouvýběrový t-test:
Hypotézu o shodě středních hodnot zamítáme na hladině významnosti 0,05,
protože odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0 (hypotézu o shodě rozptylů
nezamítáme na hladině významnosti 0,05, p-hodnota F-testu je 0,110124, což
je větší než 0,05).
t-testy; grupováno:ZŠ a VŠ (IQ)
Skup. 1: oba ZŠ
Skup. 2: oba VŠ
Proměnná
Průměr
oba ZŠ
Průměr
oba VŠ
t sv p Poč.plat
oba ZŠ
Poč.plat.
oba VŠ
Sm.odch.
oba ZŠ
Sm.odch.
oba VŠ
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
IQ_CELK 94,13851 110,9067 -10,6295 369 0,000000 296 75 11,82604 13,60164 1,322829 0,110124
Příklad (4)
182
Krabicový diagram:
Krabicový graf z IQ_CELK seskupený ID
Průměr
Průměr±SmOdch
Min-Max
Odlehlé
Extrémy
oba ZŠ oba VŠ
ID
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
IQ_CELK
Příklad (5)
183
Vidíme, že průměrné celkové IQ dětí v 1. skupině je 94,1, zatímco ve 2.
skupině 110,9. Vliv skupiny na variabilitu hodnot celkového IQ posoudíme
pomocí Cohenova koeficientu.
Cohenův koeficient nabývá hodnoty 1,37, tudíž vliv skupiny na variabilitu
hodnot celkového IQ lze považovat za velký.
1
n1
2
n2
3
m1
4
m2
5
s1
6
s2
7
d
1 296 75 94,13851 110,9067 11,82604 13,60164 1,374117
8. Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru a dvou nezávislých
náhodných výběrech z alternativních rozložení
184
Centrální limitní věta
185
Asymptotické rozložení statistiky odvozené z výběrového průměru
186
Vzorec pro meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametr ϑ
187
Příklad
188
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
189
a) Přesný způsob
Otevřeme nový datový soubor se dvěma proměnnými a jednom případu.
První proměnnou nazveme d a do jejího Dlouhého jména napíšeme
=0,34-sqrt(0,34*0,66/100)*VNormal(0,975;0;1)
Druhou proměnnou nazveme h a do jejího Dlouhého jména napíšeme
=0,34+sqrt(0,34*0,66/100)*VNormal(0,975;0;1)
Dostaneme výsledek:
Vidíme, že s pravděpodobností aspoň 0,95 se pravděpodobnost používání
zubního kartáčku zahraniční výroby bude pohybovat v mezích 0,2471 až
0,4328.
1
d
2
h
1 0,247155 0,432845
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
190
b) Přibližný způsob, použitelný pro dostatečně velký rozsah výběru
Do nového datového souboru o jedné proměnné X a 100 případech uložíme 34
jedniček (indikují používání zubního kartáčku zahraniční výroby) a 66 nul
(indikují používání zubního kartáčku domácí výroby).
Statistika – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné
X – OK – Detailní výsledky – zaškrtneme Meze spolehl. prům. – ponecháme
implicitní hodnotu pro Interval 95,00 – Výpočet.
Dostaneme tabulku:
Dospěli jsme k výsledku, že s pravděpodobností aspoň 0,95 se
pravděpodobnost používání zubního kartáčku zahraniční výroby bude
pohybovat v mezích 0,2455 až 0,4345.
Popisné statistiky (T abulka3)
Proměnná
N platných Průměr Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
95,000
X 100 0,340000 0,245532 0,434468
Výpočet pomocí systému STATISTICA (3)
191
c) Výpočet pomocí modulu Analýza síly testu
Statistiky – Analýza síly testu – Odhad intervalu – Jeden podíl, Z, Chí-kvadrát test – OK – Pozorovaný
podíl p: 0,34, Velikost vzorku: 100, Spolehlivost: 0,95 – Vypočítat.
Dostaneme tabulku:
Hodnota
Podíl vzorku p
Velikost vz. ve skup. (N)
Interval spolehlivosti
Meze spolehlivosti:
Pí (přesně):
Dolní mez
Horní mez
Pí (přibližně):
Dolní mez
Horní mez
Pí (původ.):
Dolní mez
Horní mez
0,3400
100,0000
0,9500
0,2482
0,4415
0,2501
0,4423
0,2472
0,4328
Zajímá nás výsledek uvedený v dolní části tabulky, tj. Pí (původ.). Zjišťujeme, že
s pravděpodobností aspoň 0,95 se hledaná pravděpodobnost bude pohybovat
v mezích 0,2472 až 0,4328.
Příklad (1)
192
Příklad (2)
193
Příklad (3)
194
Testování hypotézy o parametru ϑ
195
Příklad (1)
196
Příklad (2)
197
Výpočet pomocí systému STATISTICA
198
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK –
vybereme Rozdíl mezi dvěma poměry – do políčka P 1 napíšeme 0,016, do
políčka N1 napíšeme 1000, do políčka P 2 napíšeme 0,01, do políčka N2
napíšeme 32767 (větší hodnotu systém neumožní) - Výpočet. Dostaneme phodnotu
0,0626, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti
0,05.
Příklad
199
Výpočet pomocí systému STATISTICA
200
Vypočtená p-hodnota jednostranného testu je 0,1031, tedy menší než
asymptotická hladina významnosti 0,05. H0 nezamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05.
Asymptotické rozložení statistiky odvozené ze dvou výběrových průměrů
201
202
Příklad (1)
203
Příklad (2)
204
205
206
Příklad (1)
207
Příklad (2)
208
Výpočet pomocí systému STATISTICA
209
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK –
vybereme Rozdíl mezi dvěma poměry – do políčka P 1 napíšeme 0,485, do
políčka N1 napíšeme 200, do políčka P 2 napíšeme 0,54, do políčka N2
napíšeme 300 – zaškrtneme Jednostr. - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,1142,
tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.
9. Analýza rozptylu jednoduchého třídění
210
faktor A výsledky
úroveň 1
úroveň 2
… …
úroveň r
Ilustrace (1)
211
Ilustrace (2)
Proto ve 30. letech 20. století vytvořil R. A. Fisher metodu ANOVA (analýza
rozptylu, v popsané situaci konkrétně analýza rozptylu jednoduchého třídění),
která uvedenou podmínku splňuje.
Pokud na hladině významnosti α zamítneme nulovou hypotézu, zajímá nás, které
dvojice středních hodnot se od sebe liší. K řešení tohoto problému slouží metody
mnohonásobného porovnávání, např. Scheffého nebo Tukeyova metoda.
212
Tečková notace
213
Testování hypotézy o shodě středních hodnot (1)
214
Testování hypotézy o shodě středních hodnot (2)
215
Testování hypotézy o shodě středních hodnot (3)
216
Zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl FA
skupiny SA fA = r - 1 SA/fA
reziduální SE fE = n - r SE/fE celkový
ST fT = n - 1 - -
Testování hypotézy o shodě rozptylů (1)
217
Testování hypotézy o shodě rozptylů (2)
218
Post – hoc metody mnohonásobného porovnávání (1)
219
Post – hoc metody mnohonásobného porovnávání (2)
220
Plánované porovnávání - testování významnosti kontrastů
221
Porovnávání s kontrolou
222
Příklad (1)
223
U čtyř odrůd brambor (označených symboly A, B, C, D) se zjišťovala celková hmotnost
brambor vyrostlých vždy z jednoho trsu. Výsledky (v kg):
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnota hmotnosti trsu brambor
nezávisí na odrůdě. Zamítnete-li nulovou hypotézu, zjistěte, které dvojice odrůd se liší na
hladině významnosti 0,05.
Řešení:
Data považujeme za realizace čtyř nezávislých náhodných výběrů ze čtyř normálních rozložení
se stejným rozptylem. Testujeme hypotézu, že všechny čtyři střední hodnoty jsou stejné.
Vypočítáme výběrové průměry v jednotlivých výběrech:
M1. = 0,8, M2. = 1,2, M3. = 1,4, M4. = 1,1,
celkový průměr M.. = 1,14,
výběrové rozptyly:
S1
2 = 0,02, S2
2 = 0,03, S3
2 = 0,04, S4
2 = 0,01,
odrůda hmotnost
A 0,9 0,8 0,6 0,9
B 1,3 1,0 1,3
C 1,3 1,5 1,6 1,1 1,5
D 1,1 1,2 1,0
Příklad (2)
224
Příklad (3)
225
Výsledky zapíšeme do tabulky ANOVA:
Nyní pomocí Scheffého metody zjistíme, které dvojice odrůd se liší na hladině
významnosti 0,05.
Na hladině významnosti 0,05 se liší odrůdy A a C.
Zdroj variability Součet čtverců Stupně volnosti podíl FA
skupiny SA = 0,816 3 SA/3 = 0,272
reziduální SE = 0,3 11 SE/11 = 0,02727 celkový
ST = 1,116 14 - Srovnávané
odrůdy Pravá strana vzorce
A, B 0,4 0,41
A, C 0,6 0,36
A, D 0,3 0,41
B, C 0,2 0,40
B, D 0,1 0,44
C, D 0,3 0,40
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
226
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných X a odrůda a 15 případech.
Do proměnné X zapíšeme zjištěné hmotnosti, do proměnné odrůda kódy pro
dané odrůdy (1 pro A, 2 pro B, 3 pro C a 4 pro D).
1
X
2
odruda
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,9 A
0,8 A
0,6 A
0,9 A
1,3 B
1 B
1,3 B
1,3 C
1,5 C
1,6 C
1,1 C
1,5 C
1,1 D
1,2 D
1 D
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
227
Vypočteme výběrové průměry a výběrové rozptyly:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA –
OK – Proměnné – Závislé – X, Grupovací - odrůda – OK – Skupiny tabulek zaškrtneme
Rozptyly - Výpočet.
Nyní ověříme předpoklad shody rozptylů.
Na záložce Skupiny tabulek zaškrtneme Levenův test – Výpočet.
Rozkladová tabulka popisných statistik (priklad8301)
N=15 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
odruda X
průměr
X
N
X
Sm.odch.
X
Rozptyl
A 0,800000 4 0,1414210,020000
B 1,200000 3 0,1732050,030000
C 1,400000 5 0,2000000,040000
D 1,100000 3 0,1000000,010000
Vš.skup. 1,14000015 0,2823370,079714
Výpočet pomocí systému STATISTICA (3)
228
Vidíme, že p-hodnota Levenova testu je 0,41, tedy větší než hladina
významnosti 0,05. Hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Přistoupíme k testu hypotézy o shodě středních hodnot.
Na záložce Skupiny tabulek zaškrtneme Analýza rozptylu – Výpočet.
Jelikož p-hodnota = 0,001805 je menší než hladina významnosti 0,05,
hypotézu o shodě středních hodnot zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Leveneův test homogenity rozpylů (priklad8301)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 0,018667 3 0,006222 0,065333 11 0,005939 1,047619 0,410027
Analýza rozptylu (priklad8301)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 0,816000 3 0,272000 0,300000 11 0,027273 9,973333 0,001805
Výpočet pomocí systému STATISTICA (4)
229
Výpočet doplníme krabicovými diagramy:
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
A B C D
odruda
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8X
Výpočet pomocí systému STATISTICA (5)
230
Nyní aplikujeme Scheffého metodu mnohonásobného porovnávání, abychom
zjistili, které dvojice odrůd se liší na hladině významnosti 0,05. Na záložce
Post – hoc zvolíme Schefféův test.
Tabulka obsahuje p-hodnoty pro vzájemné porovnání středních hodnot
hmotnosti všech čtyř odrůd. Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší
odrůdy A, C.
Scheffeho test; proměn.:X (priklad8301)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
odruda
{1}
M=,80000
{2}
M=1,2000
{3}
M=1,4000
{4}
M=1,1000
A {1}
B {2}
C {3}
D {4}
0,059165 0,001950 0,190463
0,059165 0,464537 0,905502
0,001950 0,464537 0,163499
0,190463 0,905502 0,163499
Význam předpokladů v analýze rozptylu
a) Nezávislost jednotlivých náhodných výběrů – velmi
důležitý předpoklad, musí být splněn, jinak dostaneme
nesmyslné výsledky.
b) Normalita – ANOVA není příliš citlivá na porušení
normality, zvlášť pokud mají všechny výběry rozsah nad 20
(důsledek centrální limitní věty). Při výraznějším porušení
normality se doporučuje Kruskalův – Wallisův test.
c) Shoda rozptylů – mírné porušení nevadí, při větším se
doporučuje Kruskalův – Wallisův test. Test shody rozptylů
má smysl provádět až po ověření předpokladu normality.
231
10. Neparametrické testy o mediánech
Motivace: Při aplikaci t-testů či analýzy rozptylu by měly být splněny
určité předpoklady:
- normalita dat (pro výběry větších rozsahů (n ≥ 30) nemá mírné
porušení normality závažný dopad na výsledky)
- homogenita rozptylů
- intervalový či poměrový charakter dat
Pokud nejsou tyto předpoklady splněny, použijeme tzv. neparametrické
testy, které nevyžadují předpoklad o konkrétním typu rozložení (např.
normálním), stačí např. předpokládat, že distribuční funkce rozložení,
z něhož náhodný výběr pochází, je spojitá.
Nevýhoda – ve srovnání s klasickými parametrickými testy jsou
neparametrické testy slabší, tzn., že nepravdivou hypotézu zamítají
s menší pravděpodobností než testy parametrické.
V této kapitole se omezíme na ty neparametrické testy, které jsou
založeny na pořadí a týkají se mediánů. Nazývají se pořadové testy. 232
Pojem pořadí a průměrného pořadí
233
Příklad
234
Máme čísla 2 1,8 2,1 2,4 1,9 2,1 2 1,8 2,3 2,2. Stanovte jejich pořadí.
Řešení:
usp.hodnoty 1,8 1,8 1,9 2 2 2,1 2,1 2,2 2,3 2,4
pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
průměrné pořadí 1,5 1,5 3 4,5 4,5 6,5 6,5 8 9 10
Jednovýběrový znaménkový test a jeho asymptotická varianta (1)
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr ze spojitého rozložení se spojitou
distribuční funkcí Φ(x). Nechť x0,50 je mediánem tohoto rozložení, tj.
Φ(x0,50) = 0,5. Nechť c je reálná konstanta. Testujeme hypotézu H0: x0,50 =
c proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ c (resp. proti levostranné
alternativě H1: x0,50 < c resp. proti pravostranné alternativě H1: x0,50 > c).
Postup provedení testu:
a) Utvoříme rozdíly Yi = Xi – c, i = 1, ..., n. (Jsou-li některé rozdíly
nulové, pak za n bereme jen počet nenulových hodnot.)
b) Zavedeme statistiku SZ
+, která udává počet těch rozdílů, které jsou
kladné. Platí-li H0, pak SZ
+ ~ Bi(n,1/2), tedy E(SZ
+) = n/2, D(SZ
+) = n/4.
c) Stanovíme kritický obor.
235
Jednovýběrový znaménkový test a jeho asymptotická varianta (2)
236
Jednovýběrový znaménkový test a jeho asymptotická varianta (3)
237
Příklad
238
Výpočet pomocí systému STATISTICA
239
Znaménkový test (oktanove cislo)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
X & konst 9 66,66667 0,666667 0,504985
Párový znaménkový test
Nechť (X1, Y1), ..., (Xn, Yn) je náhodný výběr ze spojitého
dvourozměrného rozložení. Testujeme H0: x0,50 – y0,50 = c
proti H1: x0,50 - y0,50 ≠ c (resp. proti jednostranným
alternativám). Utvoříme rozdíly Zi = Xi – Yi, i = 1, ..., n a
testujeme hypotézu o mediánu z0,50, tj. H0: z0,50 = c proti H1:
z0,50 ≠ c.
240
Příklad
241
Výpočet pomocí systému STATISTICA
242
Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 8 případy. Do proměnné X
napíšeme hodnoty tlaku před pokusem, do proměnné Y hodnoty tlaku po pokusu.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1.
seznam proměnných X, 2. seznam proměnných Y – OK – Znaménkový test.
Vidíme, že nenulových hodnot n = 8. Z nich záporných je 75%, tj. 6. Hodnota testové
statistiky SZ
+ = 8 – 6 = 2. Asymptotická testová statistika U0 (zde označená jako Z) se
realizuje hodnotou 1,06066. Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,2888, tedy na
asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že zvýšení krevního
tlaku stejně pravděpodobné jako jeho pokles.
Upozornění: Stejně jako u příkladu na str. 237 (jednovýběrový test) není splněna
podmínka pro použití asymptotického testu. Správný postup je tedy ten, který je
uveden na předchozí str. 240.
Znaménkový test (tlak.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
X & Y 8 75,00000 1,060660 0,288844
Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (1)
Frank Wilcoxon (1892 – 1965): Americký statistik a chemik
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr ze spojitého rozložení s hustotou φ(x),
která je symetrická kolem mediánu x0,50, tj. φ(x0,50 + x) = φ(x0,50 - x).
Nechť c je reálná konstanta.
Testujeme hypotézu H0: x0,50 = c
proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ c nebo
proti levostranné alternativě H1: x0,50 < c nebo
proti pravostranné alternativě H1: x0,50 > c.
243
Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (2)
244
Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (3)
245
Příklad
246
Pro zadání příkladu o oktanovém číslu benzínu, proveďte jednovýběrový
Wilcoxonův test.
Řešení:
Testujeme hypotézu H0: x0,50 = 98 proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ 98.
Absolutní hodnoty rozdílů xi – 98 setřídíme vzestupně podle velikosti (přitom
vynecháme nulový rozdíl a kladné rozdíly značíme tučně):
abs (xi – 98) 0,2 0,3 0,6 0,9 1,1 1,2 1,7 1,8 2,4
pořadí Ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Součet pořadí přes kladné hodnoty rozdílů: SW
+ = 12
Součet pořadí přes záporné hodnoty rozdílů: SW
- = 33
Testová statistika = min(12,33) = 12, tabelovaná kritická hodnota pro α = 0,05
a n = 9 je 5. Protože 12 > 5, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
247
Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 10 případy. Do proměnné oktan napíšeme
zjištěné hodnoty a do proměnné konst uložíme číslo 98.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam
proměnných oktan, 2. seznam proměnných konst – OK – Wilcoxonův párový test.
Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky SW+ (zde označena T), hodnotu
asymptotické testové statistiky U0 a p-hodnotu pro U0. V tomto případě je p-hodnota 0,213525,
tedy nulová hypotéza se nezamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Upozornění: I v tomto případě není splněna podmínka pro použití asymptotického testu. Správný
postup je tedy ten, který je uveden na předchozí str. 245.
Wilcoxonův párový test (oktan.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
oktan & konst 10 12,00000 1,243933 0,213525
Párový Wilcoxonův test
Nechť (X1, Y1), ..., (Xn Yn) je náhodný výběr ze spojitého
dvourozměrného rozložení. Testujeme H0: x0,50 – y0,50 = c
proti H1: x0,50 - y0,50 ≠ c (resp. proti jednostranným
alternativám). Utvoříme rozdíly Zi = Xi – Yi, i = 1, ..., n a
testujeme hypotézu o mediánu z0,50, tj. H0: z0,50 = c proti
H1: z0,50 ≠ c.
248
Příklad
249
Pro data z příkladu o krevním tlaku proveďte párový Wilcoxonův test.
Řešení:
Testujeme H0: z0,50 = 0 proti oboustranné alternativě H1: z0,50 ≠ 0, kde z0,50 je
medián rozložení, z něhož pochází rozdílový náhodný výběr Z1 = X1 – Y1, …
Z8 = X8 – Y8.
Absolutní hodnoty rozdílů xi – yi setřídíme vzestupně podle velikosti (kladné
rozdíly značíme tučně):
abs (xi – yi) 1 5 6 8 9 10 13 20
pořadí Ri 1 2 3 4 5 6 7 8
Součet pořadí přes kladné hodnoty rozdílů: SW
+ = 4
Součet pořadí přes záporné hodnoty rozdílů: SW
- = 32
Testová statistika = min(4,32) = 4, tabelovaná kritická hodnota pro α = 0,05
a n = 8 je 3. Protože 4 > 3, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
250
Použijeme datový soubor, který jsme již vytvořili pro aplikaci znaménkového testu.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1.
seznam proměnných X, 2. seznam proměnných Y – OK – Wilcoxonův párový test.
Testová statistika (zde označená jako T) nabývá hodnoty 4, asymptotická testová
statistika (označená jako Z) nabývá hodnoty 1,960392, odpovídající asymptotická phodnota
je 0,049951, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu
zamítáme. To je v rozporu s výsledkem, k němuž jsme dospěli při ručním výpočtu. Je to
způsobeno tím, že není dodržena podmínka pro použití asymptotické varianty
Wilcoxonova testu – rozsah výběru má být aspoň 30.
Wilcoxonův párový test (tlak.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
X & Y 8 4,0000001,960392 0,049951
Příklad
251
(Asymptotická varianta Wilcoxonova testu)
Výpočet pomocí systému STATISTICA
252
Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 30 případy. Do
proměnné odhad napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné konst uložíme
číslo 60.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků –
OK – 1. seznam proměnných odhad, Druhý seznam proměnných konst – OK –
Wilcoxonův párový test.
Testová statistika (zde označená jako T) nabývá hodnoty 55, asymptotická
testová statistika (označená jako Z) nabývá hodnoty 3,65088, odpovídající
asymptotická p-hodnota je 0,000261, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 nulovou hypotézu zamítáme.
Wilcoxonův párový test (odhad minuty)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
odhad& konst 30 55,00000 3,650880 0,000261
Dvouvýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (1)
Nechť X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym jsou dva nezávislé náhodné výběry ze dvou
spojitých rozložení, jejichž distribuční funkce se mohou lišit pouze posunutím.
Označme x0,50 medián prvního rozložení a y0,50 medián druhého rozložení.
Testujeme hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné neboli
mediány jsou shodné proti alternativě, že jsou rozdílné, tj.
H0: x0,50 - y0,50 = 0 proti H1: x0,50 - y0,50 ≠ 0.
Postup provedení testu:
a) Všech n + m hodnot X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym uspořádáme vzestupně podle
velikosti.
b) Zjistíme součet pořadí hodnot X1, ..., Xn a označíme ho T1. Součet pořadí
hodnot Y1, ..., Ym označíme T2.
c) Vypočteme statistiky U1 = mn + n(n+1)/2 – T1 , U2 = mn + m(m+1)/2 - T2.
Přitom platí U1 + U2 = mn.
d) Pokud min(U1,U2) ≤ tabelovaná kritická hodnota (pro dané rozsahy výběrů m,
n a dané α), pak nulovou hypotézu o totožnosti obou distribučních funkcí
zamítáme na hladině významnosti α. V tabulkách: n = min{m,n} a
m = max{m,n}.
253
Dvouvýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (2)
254
Příklad
255
Výrobce určitého výrobku se má rozhodnout mezi dvěma dodavateli polotovarů vyrábějících je
různými technologiemi. Rozhodující je procentní obsah určité látky.
1. technologie: 1,52 1,57 1,71 1,34 1,68
2. technologie: 1,75 1,67 1,56 1,66 1,72 1,79 1,64 1,55
Na hladině významnosti 0,05 posuďte pomocí dvouvýběrového Wilcoxonova testu, zda je
oprávněný předpoklad, že obě technologie poskytují stejné procento účinné látky.
Řešení:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme H0: x0,50 - y0,50 = 0 proti oboustranné alternativě H1: x0,50 y0,50
≠ 0.
usp.h. 1,34 1,52 1,55 1,56 1,57 1,64 1,66 1,67 1,68 1,71 1,72 1,75 1,79
pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
T1 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 = 27, T2 = 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 11 + 12 + 13 = 64
U1 = 5.8 + 5.6/2 - 27 = 28, U2 = 5.8 + 8.9/2 - 64 = 12
Kritická hodnota pro α = 0,05, min(5,8) = 5, max(5,8) = 8 je 6. Protože min(28,12) = 12 > 6,
nemůžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že obě technologie poskytují stejné
procento účinné látky.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
256
Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 13 případy. Do proměnné X
napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné ID napíšeme 5x číslo 1 pro první technologii
a 8x číslo 2 pro starý druhou technologii.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou nezávislých vzorků – OK –
Proměnné – Seznam závislých proměnných X, Nezáv. (grupov.) proměnná ID – OK –
M-W U test.
Upozornění: Ve STATISTICE je dvouvýběrový Wilcoxonův test uveden pod názvem
Mannův – Whitneyův test.
Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí T1, T2, hodnota testové statistiky min(U1, U2)
označená U, hodnota asymptotické testové statistiky U0 (označená Z), asymptotická phodnota
pro U0 a přesná p-hodnota (ozn. 2*1str. přesné p – ta se používá pro rozsahy
výběrů pod 30). V našem případě přesná p-hodnota = 0,284382, tedy H0 nezamítáme na
hladině významnosti 0,05.
Mann-Whitneyův U test (dve technologie.sta)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
skup. 1
Sčt poř.
skup. 2
U Z Úroveň p Z
upravené
Úroveň p N platn.
skup. 1
N platn.
skup. 2
2*1str.
přesné p
X 27,0000064,0000012,00000 -1,17108 0,241567 -1,17108 0,241567 5 8 0,284382
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
257
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem.
Je zřejmé, že první technologie poskytuje vesměs nižší procento účinné látky
než druhá technologie a také vykazuje poněkud větší variabilitu.
Medián
25%-75%
Min-Max
1 2
ID
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
X
Kruskalův - Wallisův test (1)
William Kruskal (1919 – 2005): Wilson Allen Wallis (1912 – 1988):
Americký matematik Americký matematik
Nechť je dáno r ≥ 3 nezávislých náhodných výběrů o rozsazích n1, ... , nr.
Předpokládáme, že tyto výběry pocházejí ze spojitých rozložení. Označme
n = n1 + ... + nr. Na asymptotické hladině významnosti α chceme testovat
hypotézu, že všechny tyto výběry pocházejí z téhož rozložení.
258
Kruskalův - Wallisův test (2)
259
Příklad
260
Usp. hodnoty 6 7 10 11 13 14 15 17 25 28 29 131
Pořadí 1.výběru 1 3 7 11
Pořadí 2.výběru 4 5 8 12
Pořadí 3.výběru 2 6 9 10
Mediánový test
261
Příklad
262
Metody mnohonásobného porovnávání
263
Příklad
264
Čtyři laboranti provedli analytické stanovení procenta niklu v oceli. Každý hodnotil pět vzorků.
Laborant A: 4,15 4,26 4,10 4,30 4,25
Laborant B: 4,38 4,40 4,29 4,39 4,45
Laborant C: 4,23 4,16 4,20 4,24 4,27
Laborant D: 4,41 4,31 4,42 4,37 4,43
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že všechny čtyři náhodné výběry
pocházejí ze stejného rozložení. Pokud nulovou hypotézu zamítnete, zjistěte, které dvojice výběrů
se liší.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
265
Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných a 20 případech. Do
proměnné nikl napíšeme změřené hodnoty, do proměnné laborant napíšeme
5x1 pro 1. laboranta atd. až 5x4 pro 4. laboranta.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání více nezávislých vzorků OK
– Seznam závislých proměnných nikl, Nezáv. (grupovací) proměnná
laborant – OK – Summary: Kruskal-Wallis ANOVA & Median test. Ve dvou
výstupních tabulkách se objeví výsledky K-W testu a mediánového testu.
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.;nikl (nikl v oceli)
Nezávislá (grupovací) proměnná :laborant
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 20) =13,77714 p =,0032
Závislá:
nikl
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
1
2
3
4
1 5 29,00000
2 5 75,00000
3 5 27,00000
4 5 79,00000
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
266
Oba testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných čtyřech skupinách, ale K-W test je poněkud silnější (phodnota
= 0,0032, zatímco p-hodnota pro mediánový test je 0,0035).
Nyní provedeme mnohonásobné porovnávání, abychom zjistili, které dvojice laborantů se liší. Zvolíme Vícenás.
porovnání průměrného pořadí pro vš. skupiny.
Tabulka obsahuje p-hodnoty pro porovnání dvojic skupin. Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší
laboranti A, D a laboranti C, D.
Vícenásobné porovnání p hodnot (oboustr.);nikl (nikl v oceli)
Nezávislá (grupovací) proměnná :laborant
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 20) =13,77714 p =,0032
Závislá:
nikl
1
R:5,8000
2
R:15,000
3
R:5,4000
4
R:15,800
1
2
3
4
0,083641 1,000000 0,045158
0,083641 0,061779 1,000000
1,000000 0,061779 0,032664
0,045158 1,000000 0,032664
Výpočet pomocí systému STATISTICA (3)
267
Grafické znázornění výsledků
11. Testování nezávislosti náhodných veličin
Motivace: Při zpracování dat se velmi často setkáme s úkolem zjistit, zda
dvě náhodné veličiny jsou stochasticky nezávislé. Testování hypotézy o
nezávislosti se provádí různými způsoby podle toho, jakého typu jsou
dané náhodné veličiny – zda jsou nominální, ordinální, intervalové či
poměrové. Nominální náhodné veličiny umožňují obsahovou interpretaci
pouze u relace rovnosti, ordinální navíc ještě u relace uspořádání,
intervalové pak navíc u operace rozdílu a poměrové i u operace podílu.
Např. nás může zajímat, zda ve sledované populaci je barva očí a barva
vlasů nezávislá nebo zda počet dnů absence a věk pracovníka jsou
nezávislé.
Zpravidla chceme také zjistit intenzitu případné závislosti sledovaných
dvou veličin. K tomuto účelu byly zkonstruovány různé koeficienty, které
nabývají hodnot od 0 do 1 (resp. od -1 do 1). Čím je takový koeficient
bližší 1 (resp. -1), tím je závislost mezi danými dvěma veličinami silnější
a čím je bližší 0, tím je slabší.
268
Definice kontingenční tabulky (1)
269
y
y[1] ... y[s] πj.
x πjk
x[1] π11 ... π1s π1.
... ... ... ... ...
x[r] πr1 ... πrs πr.
π.k π.1 ... π.s 1
Definice kontingenční tabulky (2)
270
y
y[1] ... y[s] nj.
x njk
x[1] n11 ... n1s n1.
... ... ... ... ...
x[r] nr1 ... nrs nr.
n.k n.1 ... n.s n
Věta o testové statistice K
271
Podmínky dobré aproximace
272
Definice Cramérova koeficientu, význam jeho hodnot
273
Příklad (1)
274
V sociologickém průzkumu byl z uchazečů o studium na vysokých školách pořízen
náhodný výběr rozsahu 360. Mimo jiné se zjišťovala sociální skupina, ze které uchazeč
pochází a typ školy, na kterou se hlásí. Výsledky jsou zaznamenány v kontingenční
tabulce:
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti typu školy
a sociální skupiny. Vypočtěte Cramérův koeficient.
Typ školy
Sociální skupina
nj.
I II III IV
univerzitní 50 30 10 50 140
technický 30 50 20 10 110
ekonomický 10 20 30 50 110
n.k 90 100 60 110 360
Příklad (2)
275
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
276
Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných (X - sociální skupina, Y –
typ školy, četnost) a 12 případech:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – OK – Specif. Tabulky – List 1 X, List
2 Y – OK, zapneme proměnnou vah četnost – OK, Výpočet – na záložce
Možnosti zaškrtneme Očekávané četnosti. Dostaneme kontingenční tabulku
teoretických četností:
1
X
2
Y
3
č etnost
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I univerzitní 50
I technický 30
I ekonomický 10
II univerzitní 30
II technický 50
II ekonomický 20
III univerzitní 10
III technický 20
III ekonomický 30
IV univerzitní 50
IV technický 10
IV ekonomický 50
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (typ skoly)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 76,8359, sv=6, p=,000000
X Y
univerzitní
Y
technický
Y
ekonomický
Řádk.
součty
I 35,0000 27,5000 27,5000 90,0000
II 38,8889 30,5556 30,5556 100,0000
III 23,3333 18,3333 18,3333 60,0000
IV 42,7778 33,6111 33,6111 110,0000
Vš.skup. 140,0000 110,0000 110,0000360,0000
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
277
Všechny teoretické četnosti jsou větší než 5, podmínky dobré aproximace jsou
splněny. V záhlaví tabulky je uvedena hodnota testové statistiky K = 76,8359,
počet stupňů volnosti 6 a odpovídající p-hodnota. Je velmi blízká 0, tedy na
asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nezávislosti typu
školy a sociální skupiny.
Hodnotu testové statistiky a Cramérův koeficient dostaneme také tak, že na na
záložce Možnosti zaškrtneme Pearsonův & M-V chí kvadrát a Cramérovo V a
na záložce Detailní výsledky vybereme Detailní 2 rozm. tabulky.
Statist. : X(4) x Y(3) (typ skoly.sta)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
76,83589 df=6 p=,00000
84,53528 df=6 p=,00000
,4619881
,4193947
,3266749
Čuprovův koeficient kontingence
278
Mezi další používané míry závislosti patří následující:
Průměrná čtvercová kontingence:
n
K
2
2
 
12
2





nK
K
P
10  P
 – koeficient:
Pearsonův koeficient kontingence:
, přičemž hodnoty jedna nemůže nikdy dosáhnout.
)1)(1(
2



sr
T
10  T
Čuprovovův koeficient kontingence:
Vhodný zejména pokud se významně liší r a s (obdélníkové tabulky).
Pro čtvercové tabulky (r=s) platí: TV 
Definice čtyřpolní kontingenční tabulky
279
X
Y
nj.
y[1] y[2]
x[1] a b a+b
x[2] c d c+d
n.k a+c b+d n
Věta o testové statistice K pro čtyřpolní tabulky
280
Příklad
281
přijetí
dojem
nj.
dobrý špatný
ano 17 11 28
ne 39 58 97
n.k 56 69 125
Definice podílu šancí
282
Výsledek pokusu
okolnosti
nj.
I II
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Asymptotický interval spolehlivosti pro podíl šancí a jeho využití k
testování hypotézy o nezávislosti
283
Příklad
284
Výpočet pomocí systému STATISTICA
285
Dolní a horní mez intervalu spolehlivosti pro OR zjistíme pomocí
STATISTIKY. Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných DM a HM a
jednom případu. Do Dlouhého jména proměnné DM napíšeme vzorec pro
dolní mez:
=exp(log(2,298)-sqrt(1/17+1/11+1/39+1/58)*VNormal(0,975;0;1))
a analogicky do Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme vzorec pro
horní mez:
=exp(log(2,298)+sqrt(1/17+1/11+1/39+1/58)*VNormal(0,975;0;1))
1
DM
2
HM
1 0,9722445,431562
Definice Spearmanova koeficientu pořadové korelace, význam jeho hodnot
286
Věta o testování hypotézy o pořadové nezávislosti veličin X, Y
Na hladině významnosti α testujeme hypotézu H0: X, Y jsou pořadově nezávislé
náhodné veličiny proti
 oboustranné alternativě H1: X, Y jsou pořadově závislé náhodné veličiny
 levostranné alternativě H1: mezi X a Y existuje nepřímá pořadová závislost
 pravostranné alternativě H1: mezi X a Y existuje přímá pořadová závislost).
Jako testová statistika slouží Spearmanův koeficient pořadové korelace rS.
Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α ve prospěch
 oboustranné alternativy, když │rS│≥ rS,1-α(n)
 levostranné alternativy, když rS ≤ - rS,1-2α(n)
 pravostranné alternativy, když rS ≥ rS,1-2α(n),
kde rS,1-α(n) je kritická hodnota, kterou pro α = 0,05 nebo 0,01 a n ≤ 30 najdeme
v tabulkách. Pozor – kritické hodnoty pro jednostranné alternativy se v běžně
dostupných tabulkách nenajdou.
287
Asymptotická varianta testu
288
Příklad
289
Číslo pacienta 1 2 3 4 5 6 7
Hodnocení 1. lékaře 4 1 6 5 3 2 7
Hodnocení 2. lékaře 4 2 5 6 1 3 7
Výpočet pomocí systému STATISTICA
290
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných X (hodnocení 1. lékaře), Y (hodnocení 2. lékaře) a
sedmi případech. Do proměnných X a Y zapíšeme zjištěná hodnocení.
Statistiky – Neparametrické statistiky – Korelace – OK – vybereme Vytvořit detailní report Proměnné
X, Y – OK – Spearmanův koef. R. Dostaneme tabulku
Spearmanův koeficient pořadové korelace nabývá hodnoty 0,857, testová statistika se realizuje
hodnotou 3,721, odpovídající p-hodnota je 0,0137, tedy na asymptotické hladině významnosti
0,05 zamítáme hypotézu o pořadové nezávislosti hodnocení dvou lékařů ve prospěch oboustranné
alternativy.
1
X
2
Y
1
2
3
4
5
6
7
4 4
1 2
6 5
5 6
3 1
2 3
7 7
Spearmanovy korelace (dva lekari.sta)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
plat.
Spearman
R
t(N-2) Úroveň p
X & Y 7 0,8571433,721042 0,013697
Definice Pearsonova koeficientu korelace
291
Věta o vlastnostech koeficientu korelace
292
Ilustrace
Je-li R(X, Y) = 0, pak řekneme, že náhodné veličiny jsou nekorelované.
(Znamená to, že mezi X a Y neexistuje žádná lineární závislost.)
Je-li R(X, Y) > 0, pak řekneme, že náhodné veličiny jsou kladně korelované.
(Znamená to, že s růstem hodnot veličiny X rostou hodnoty veličiny Y a
s poklesem hodnot veličiny X klesají hodnoty veličiny Y.)
Je-li R(X, Y) < 0, pak řekneme, že náhodné veličiny jsou záporně korelované.
(Znamená to, že s růstem hodnot veličiny X klesají hodnoty veličiny Y a
s poklesem hodnot veličiny X rostou hodnoty veličiny Y.)
293
Definice výběrového koeficientu korelace
294
Věta o koeficientu korelace dvourozměrného normálního rozložení
295
𝜇1
𝜇2
,
𝜎1
2
𝜌𝜎1 𝜎2
𝜌𝜎1 𝜎2 𝜎2
2
Testování hypotézy o nezávislosti
296
Příklad (1)
297
Máme k dispozici výsledky testů ze dvou předmětů zjištěné u osmi náhodně vybraných
studentů určitého oboru.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výsledky obou testů nejsou kladně
korelované.
Řešení:
Nejprve se musíme přesvědčit, že uvedené výsledky lze považovat za realizace
náhodného výběru z dvourozměrného normálního rozložení. Lze tak učinit orientačně
pomocí dvourozměrného tečkového diagramu. Tečky by měly vytvořit elipsovitý
obrazec, protože vrstevnice hustoty dvourozměrného normálního rozložení jsou elipsy.
Číslo studenta 1 2 3 4 5 6 7 8
Počet bodů v 1. testu 80 50 36 58 42 60 56 68
Počet bodů ve 2. testu 65 60 35 39 48 44 48 61
Příklad (2)
298
Výpočet pomocí systému STATISTICA
299
a) Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných X, Y a 8 případech. Dvourozměrnou normalitu
dat ověříme pomocí dvourozměrného tečkového diagramu – viz výše.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam proměn. – X, Y – OK
– na záložce Možnosti vybereme Zobrazit detailní tabulku výsledků – Výpočet.
Výběrový koeficient korelace se realizoval hodnotou 0,6668, testová statistika nabyla hodnoty
2,1917, odpovídající p-hodnota pro oboustranný test je 0,0709, tedy pro jednostranný test je
0,035045. Na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X, Y ve
prospěch pravostranné alternativy.
b) Můžeme využít toho, že již známe r12. Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Korelace –
vyplníme n = 8, r = 0,6668, odškrtneme Dvojité, zaškrtneme Výpočet p z r – Výpočet. V okénku p
se objeví hodnota 0,035455, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nezávislosti
veličin X a Y ve prospěch pravostranné alternativy.
Korelace (dva testy.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
X
X
X
Y
Y
X
Y
Y
56,25000 13,99745
56,25000 13,99745 1,000000 1,000000 8 0,00000 1,000000 0,00000 1,000000
56,25000 13,99745
50,00000 10,92834 0,666802 0,444625 2,191693 0,070909 8 20,71637 0,520598 13,54665 0,854067
50,00000 10,92834
56,25000 13,99745 0,666802 0,444625 2,191693 0,070909 8 13,54665 0,854067 20,71637 0,520598
50,00000 10,92834
50,00000 10,92834 1,000000 1,000000 8 0,00000 1,000000 0,00000 1,000000
Test o porovnání koeficientu korelace s danou konstantou
300
Příklad
301
Výpočet pomocí systému STATISTICA (pouze přibližný)
302
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma korelačními koeficienty. Do políčka r1 napíšeme 0,85, do políčka N1
napíšeme 600, do políčka r2 napíšeme 0,9, do políčka N2 napíšeme 32767 (větší hodnotu
systém neumožní) - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,0000, tedy zamítáme nulovou
hypotézu na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Upozornění: Pokud bychom chtěli pomocí systému STATISTICA provést přesnější test
s využitím statistiky U, můžeme vypočítat Fisherovu Z- transformaci pomocí
Pravděpodobnostního kalkulátoru – Korelace, kde zadáme realizaci výběrového
koeficientu korelace, rozsah výběru. Zajímá nás Fisher z.
Test o porovnání dvou koeficientů korelace
303
Příklad
304
Výpočet pomocí systému STATISTICA
305
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK –
vybereme Rozdíl mezi dvěma korelačními koeficienty. Do políčka r1 napíšeme
0,65, do políčka N1 napíšeme 100, do políčka r2 napíšeme 0,37, do políčka N2
napíšeme 142 - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,0038, tedy zamítáme
nulovou hypotézu na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Věta o asymptotickém intervalu spolehlivosti pro koeficient korelace
306
Příklad (1)
307
Pracovník personálního oddělení určité firmy zkoumá, zda existuje vztah mezi počtem
dní absence za rok (veličina Y) a věkem pracovníka (veličina X). Proto náhodně vybral
údaje o 10 pracovnících.
Za předpokladu, že uvedené údaje tvoří číselné realizace náhodného výběru rozsahu 10
z dvourozměrného normálního rozložení, vypočtěte výběrový korelační koeficient a na
hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny.
Sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti pro skutečný korelační koeficient ρ.
Řešení:
Předpoklad o dvourozměrné normalitě dat ověříme orientačně pomocí dvourozměrného
tečkového diagramu.
Č.prac. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 27 61 37 23 46 58 29 36 64 40
Y 15 6 10 18 9 7 14 11 5 8
Příklad (2)
308
12. Jednoduchá lineární regrese
Motivace: Cíl regresní analýzy - popsat závislost hodnot veličiny Y na
hodnotách veličiny X.
Nutnost vyřešení dvou problémů:
a) jaký typ funkce se použije k popisu dané závislosti;
b) jak se stanoví konkrétní parametry daného typu funkce?
309
Specifikace klasického modelu lineární regrese
310
Označení
311
Maticový zápis klasického modelu lineární regrese (1)
312
Maticový zápis klasického modelu lineární regrese (2)
313
Intervaly spolehlivosti pro regresní parametry
314
–
Testování významnosti modelu jako celku (celkový F-test)
315
zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl statistika F
model SR p SR/p
reziduální SE n-p-1 SE/(n-p-1) celkový
ST n-1 - -
Testování významnosti regresních parametrů (dílčí t-testy)
316
Příklad (1)
317
číslo. obchodníka 1 2 3 4 5 6
poptávka loni (X) 20 60 70 100 150 260
poptávka letos (Y) 50 60 60 120 230 320
Příklad (2)
318
Řešení:
ad a) Orientačně ověřte předpoklad, že data pocházejí z dvourozměrného normálního rozložení.
Vytvoříme dvourozměrný tečkový diagram s proloženou 95% elipsou konstantní hustoty
pravděpodobnosti:
Ze vzhledu diagramu je patrné, že předpoklad dvourozměrné normality je oprávněný a že mezi
loňskou a letošní poptávkou existuje vcelku silná přímá lineární závislost.
Příklad (3)
319
Příklad (4)
320
Příklad (5)
321
Příklad (6)
322
Příklad (7)
323
Příklad (8)
324
Příklad (9)
325
Příklad (10)
326
Příklad (11)
327
zdroj variab. součet čtverců stupně volnosti podíl statistika F
model SR = 58348,89 p = 1 SR/p=58348,89 68,384
reziduální SE = 3415,11 n-p-1 = 4 SE/(n-p-1)=853,78 celkový
ST = 61800 n-1 = 5 - -
Příklad (12)
328
Příklad (13)
329
Příklad (14)
330
Výpočet pomocí systému STATISTICA (1)
331
Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými X a Y a 6 případy:
a) Orientačně ověřte předpoklad, že data pocházejí z dvourozměrného normálního
rozložení. Vypočtěte výběrový koeficient korelace mezi X a Y, interpretujte jeho
hodnotu a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že X a Y jsou nezávislé
náhodné veličiny.
Zobrazíme dvourozměrný tečkový diagram s proloženou elipsou 95% konstantní
hustoty pravděpodobnosti, s jehož pomocí posoudíme dvourozměrnou normalitu dat:
Grafy – Bodové grafy – vypneme Typ proložení – Proměnné X, Y - OK.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (2)
332
Na záložce Detaily vybereme Elipsa Normální – OK. Ve vzniklém dvourozměrném
tečkovém diagramu změníme rozsah zobrazených hodnot na vodorovné a svislé ose,
abychom viděli celou elipsu – viz obrázek výše.
Testování hypotézy o nezávislosti: Statistika – Základní statistiky /Tabulky - Korelační
matice – OK – 2 seznamy proměnných X, Y, OK. Na záložce Možnosti zaškrtneme
Zobrazit detailní tabulku výsledků – Souhrn.
Ve výstupní tabulce najdeme hodnotu výběrového korelačního koeficientu R12
(r = 0,971977, tzn. že mezi X a Y existuje velmi silná přímá lineární závislost),
realizaci testové statistiky t = 8,269474 a p-hodnotu pro test hypotézy o nezávislosti
(p = 0,001167, H0 tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05).
Výpočet pomocí systému STATISTICA (3)
333
b) Předpokládejte, že závislost letošní poptávky na loňské lze vystihnout regresní
přímkou. Vypočtěte odhady regresních parametrů a napište rovnici regresní přímky.
Interpretujte parametry regresní přímky.
Statistiky – Vícerozměrná regrese – Závisle proměnná Y, nezávisle proměnná X – OK
– OK – Výpočet: Výsledky regrese.
Ve výstupní tabulce najdeme koeficient b0 ve sloupci B na řádku označeném Abs. člen,
koeficient b1 ve sloupci B na řádku označeném X. Rovnice regresní přímky:
y = 0,686813 + 1,266484 x.
Znamená to, že při nulové loňské poptávce by letošní poptávka činila 0,6868 kusů a při
zvýšení loňské poptávky o 10 kusů by se letošní poptávka zvedla o 12,665 kusů.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (4)
334
c) Najděte odhad rozptylu, vypočtěte index determinace a interpretujte ho.
Vrátíme se do Výsledky – vícenásobná regrese – Detailní výsledky – ANOVA.
Odhad rozptylu najdeme na řádku Rezid., ve sloupci Průměr čtverců, tedy s2 = 853,78.
Index determinace je uveden v záhlaví původní výstupní tabulky pod označením R2.
V našem případě ID2 = 0,9447, tedy variabilita letošní poptávky je z 94,5 % vysvětlena
regresní přímkou.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (5)
335
d) Najděte 95% intervaly spolehlivosti pro regresní parametry.
Ve výstupní tabulce výsledků regrese přidáme za proměnnou Úroveň p dvě nové
proměnné dm (pro dolní meze 95% intervalů spolehlivosti pro regresní parametry) a
hm (pro horní meze 95% intervalů spolehlivosti pro regresní parametry). Do Dlouhého
jména proměnné dm resp. hm napíšeme: =v3-v4*VStudent(0,975;4) resp.
=v3+v4*VStudent(0,975;4)
Vidíme, že -56,63 < β0 < 58 s pravděpodobností aspoň 0,95 a 0,841< β1 < 1,692
s pravděpodobností aspoň 0,95.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (6)
336
e) Na hladině významnosti 0,05 proveďte celkový F-test.
Testovou statistiku F-testu a odpovídající p-hodnotu najdeme v záhlaví výstupní
tabulky regrese. Zde F = 68,384, p-hodnota < 0,00117, tedy na hladině významnosti
0,05 zamítáme hypotézu o nevýznamnosti modelu jako celku. (Výsledky F-testu jsou
rovněž uvedeny v tabulce ANOVA.)
f) Na hladině významnosti 0,05 proveďte dílčí t-testy.
Výsledky dílčích t-testů jsou uvedeny ve výstupní tabulce regrese. Testová statistika
pro test hypotézy H0: β0 = 0 je 0,033272, p-hodnota je 0,975052. Hypotézu o
nevýznamnosti úseku regresní přímky tedy nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Testová statistika pro test hypotézy H0: β1 = 0 je 8,269474, p-hodnota je 0,001167.
Hypotézu o nevýznamnosti směrnice regresní přímky tedy zamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (7)
337
g) Vypočtěte regresní odhad letošní poptávky při loňské poptávce 110 kusů.
Pro výpočet predikované hodnoty zvolíme Rezidua/předpoklady/předpovědi
Předpovědi závisle proměnné X: 110 OK. Ve výstupní tabulce je hledaná hodnota
označena jako Předpověď.
Při loňské poptávce 110 kusů je predikovaná hodnota letošní poptávky 140 kusů.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (8)
338
h) Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram s proloženou regresní přímkou.
Nakreslení regresní přímky: Návrat do Výsledky: Vícenásobná regrese –
Rezidua/předpoklady/předpovědi - Reziduální analýza – Bodové grafy – Korelace
dvou proměnných – X, Y – OK.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (9)
339
Jiný způsob: Do dvourozměrného tečkového diagramu nakreslíme regresní přímku tak,
že v tabulce 2D Bodové grafy zvolíme Typ proložení: Lineární, OK.
13. Statistické tabulky
340
341
342
343
Kritické hodnoty Dn(α) Kolmogorovova-Smirnovova testu n= 4,…,40,
α=0,01, α=0,05, α=0,10, α=0,15 a α=0,20
alfa
n 0,20 0,15 0,10 0,05 0,01
4 0,4927 0,5221 0,5652 0,6239 0,7342
5 0,4470 0,4754 0,5095 0,5633 0,6685
6 0,4104 0,4334 0,4680 0,5193 0,6166
7 0,3815 0,4043 0,4361 0,4834 0,5758
8 0,3583 0,3801 0,4096 0,4543 0,5418
9 0,3391 0,3591 0,3875 0,4300 0,5133
10 0,3226 0,3416 0,3687 0,4093 0,4889
11 0,3083 0,3266 0,3524 0,3912 0,4677
12 0,2958 0,3134 0,3382 0,3754 0,4491
13 0,2847 0,3016 0,3255 0,3614 0,4325
14 0,2748 0,2911 0,3142 0,3489 0,4176
15 0,2659 0,2816 0,3040 0,3376 0,4042
16 0,2578 0,2731 0,2947 0,3273 0,3920
17 0,2504 0,2652 0,2863 0,3180 0,3809
18 0,2436 0,2580 0,2785 0,3094 0,3706
19 0,2374 0,2514 0,2714 0,3014 0,3612
20 0,2316 0,2452 0,2647 0,2941 0,3524
344
alfa
n 0,20 0,15 0,10 0,05 0,01
21 0,2263 0,2403 0,2587 0,2873 0,3443
22 0,2213 0,2350 0,2529 0,2809 0,3367
23 0,2166 0,2300 0,2475 0,2749 0,3296
24 0,2122 0,2253 0,2425 0,2693 0,3229
25 0,2080 0,2209 0,2377 0,2641 0,3166
26 0,2041 0,2167 0,2333 0,2591 0,3106
27 0,2004 0,2128 0,2290 0,2544 0,3050
28 0,1969 0,2090 0,2250 0,2500 0,2997
29 0,1936 0,2055 0,2212 0,2457 0,2947
30 0,1904 0,2022 0,2176 0,2417 0,2899
31 0,1874 0,1990 0,2142 0,2379 0,2853
32 0,1845 0,1959 0,2109 0,2343 0,2809
33 0,1818 0,1930 0,2078 0,2308 0,2768
34 0,1792 0,1902 0,2048 0,2275 0,2728
35 0,1767 0,1875 0,2019 0,2243 0,2690
36 0,1743 0,1850 0,1991 0,2212 0,2653
37 0,1719 0,1825 0,1965 0,2183 0,2618
38 0,1697 0,1802 0,1940 0,2155 0,2584
39 0,1676 0,1779 0,1915 0,2127 0,2552
40 0,1655 0,1757 0,1892 0,2101 0,2521
Zdroj: kstest v MATLABu.
Modifikované kritické hodnoty Dn*(α) Kolmogorovova-Smirnovova testu
n= 4,…,40, α=0,01, α=0,05, α=0,10, α=0,15 a α=0,20.
345
alfa
n 0,20 0,15 0,10 0,05 0,01
4 0,3028 0,3213 0,3453 0,3754 0,4131
5 0,2893 0,3026 0,3189 0,3431 0,3966
6 0,2688 0,2810 0,2973 0,3236 0,3703
7 0,2523 0,2643 0,2802 0,3041 0,3506
8 0,2387 0,2502 0,2651 0,2880 0,3326
9 0,2271 0,2379 0,2520 0,2740 0,3171
10 0,2171 0,2274 0,2410 0,2620 0,3034
11 0,2082 0,2181 0,2312 0,2515 0,2915
12 0,2002 0,2098 0,2224 0,2418 0,2808
13 0,1932 0,2025 0,2145 0,2333 0,2706
14 0,1868 0,1958 0,2075 0,2257 0,2619
15 0,1811 0,1898 0,2012 0,2189 0,2539
16 0,1759 0,1843 0,1953 0,2126 0,2472
17 0,1711 0,1792 0,1900 0,2068 0,2403
18 0,1666 0,1746 0,1850 0,2013 0,2341
19 0,1625 0,1703 0,1806 0,1965 0,2285
20 0,1587 0,1663 0,1763 0,1920 0,2232
alfa
n 0,20 0,15 0,10 0,05 0,01
21 0,1551 0,1626 0,1723 0,1877 0,2183
22 0,1518 0,1591 0,1687 0,1837 0,2137
23 0,1487 0,1558 0,1652 0,1799 0,2093
24 0,1458 0,1528 0,1619 0,1764 0,2052
25 0,1430 0,1499 0,1589 0,1730 0,2014
26 0,1404 0,1471 0,1560 0,1699 0,1977
27 0,1379 0,1445 0,1532 0,1669 0,1943
28 0,1356 0,1421 0,1506 0,1641 0,1910
29 0,1334 0,1398 0,1482 0,1614 0,1879
30 0,1312 0,1375 0,1458 0,1588 0,1849
31 0,1292 0,1354 0,1436 0,1564 0,1821
32 0,1273 0,1334 0,1414 0,1541 0,1794
33 0,1255 0,1315 0,1394 0,1518 0,1768
34 0,1237 0,1296 0,1374 0,1497 0,1743
35 0,1220 0,1279 0,1356 0,1476 0,1720
36 0,1204 0,1262 0,1338 0,1457 0,1697
37 0,1188 0,1245 0,1320 0,1438 0,1675
38 0,1173 0,1230 0,1304 0,1420 0,1654
39 0,1159 0,1214 0,1288 0,1402 0,1634
40 0,1145 0,1200 0,1272 0,1385 0,1614
>40
0,741
fN
0,775
fN
0,819
fN
0,895
fN
1,035
fN
Zdroj: http://www.utdallas.edu/~herve/Abdi-Lillie2007-pretty.pdf +lillietest v MATLABu.
346
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i 
1 0.7071 0.7071 0.6872 0.6646 0.6431 0.6233 0.6052 0.5888 0.5739
2 0.0000 0.1677 0.2413 0.2806 0.3031 0.3164 0.3244 0.3291
3 0.0000 0.0875 0.1401 0.1743 0.1976 0.2141
4 0.0000 0.0561 0.0947 0.1224
5 0.0000 0.0399
n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
i 
1 0.5601 0.5475 0.5359 0.5251 0.5150 0.5056 0.4963 0.4886 0.4808 0.4734
2 0.3315 0.3325 0.3325 0.3318 0.3306 0.3290 0.3273 0.3253 0.3232 0.3211
3 0.2260 0.2347 0.2412 0.2460 0.2495 0.2521 0.2540 0.2553 0.2561 0.2565
4 0.1429 0.1586 0.1707 0.1802 0.1878 0.1939 0.1988 0.2027 0.2059 0.2085
5 0.0695 0.0922 0.1099 0.1240 0.1353 0.1447 0.1524 0.1587 0.1641 0.1686
6 0.0000 0.0303 0.0539 0.0727 0.0880 0.1005 0.1109 0.1197 0.1271 0.1334
7 0.0000 0.0240 0.0433 0.0593 0.0725 0.0837 0.0932 0.1013
8 0.0000 0.0196 0.0359 0.0496 0.0612 0.0711
9 0.0000 0.0163 0.0303 0.0422
10 0.0000 0.0140
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
i 
1 0.4643 0.4590 0.4542 0.4493 0.4450 0.4407 0.4366 0.4328 0.4291 0.4254
2 0.3185 0.3156 0.3126 0.3098 0.3069 0.3043 0.3018 0.2992 0.2968 0.2944
3 0.2578 0.2571 0.2563 0.2554 0.2543 0.2533 0.2522 0.2510 0.2499 0.2487
4 0.2119 0.2131 0.2139 0.2145 0.2148 0.2151 0.2152 0.2151 0.2150 0.2148
5 0.1736 0.1764 0.1787 0.1807 0.1822 0.1836 0.1848 0.1857 0.1064 0.1870
6 0.1399 0.1443 0.1480 0.1512 0.1539 0.1563 0.1584 0.1601 0.1616 0.1630
7 0.1092 0.1150 0.1201 0.1245 0.1283 0.1316 0.1346 0.1372 0.1395 0.1415
8 0.0804 0.0878 0.0941 0.0997 0.1046 0.1089 0.1128 0.1162 0.1192 0.1219
9 0.0530 0.0618 0.0696 0.0764 0.0823 0.0876 0.0923 0.0965 0.1002 0.1036
10 0.0263 0.0368 0.0459 0.0539 0.0610 0.0672 0.0728 0.0778 0.0822 0.0862
11 0.0000 0.0122 0.0228 0.0321 0.0403 0.0476 0.0540 0.0598 0.0650 0.0697
12 0.0000 0.0107 0.0200 0.0284 0.0358 0.0424 0.0483 0.0537
13 0.0000 0.0094 0.0178 0.0253 0.0320 0.0381
14 0.0000 0.0084 0.0159 0.0227
15 0.0000 0.0076
Zdroj: http://www.kmt.zcu.cz/person/Kohout/info_soubory/letnisem/ruzne/SWkoeficienty.pdf
http://www.santemaghreb.com/algerie/stat/stat_10.htm#28
Kritické hodnoty pro Shapiro – Wilkův test
347
Zdroj: http://www.kmt.zcu.cz/person/Kohout/info_soubory/letnisem/ruzne/SWkrithodnoty.pdf
Kritické hodnoty znaménkového testu pro n = 6, 7, .., 20, α = 0,05 a α = 0,01
348
n
α = 0,05 α = 0,01
k1 k2 k1 k2
6 0 6 - -
7 0 7 - -
8 0 8 0 8
9 1 8 0 9
10 1 9 0 10
11 1 10 0 11
12 2 10 1 11
13 2 11 1 12
14 2 12 1 13
15 3 12 2 13
16 3 13 2 14
17 4 13 2 15
18 4 14 3 15
19 4 15 3 16
20 5 15 3 17
Zdroj: Anděl, J.: Matematická statistika. (Tabulka XVIII.8).
Kritické hodnoty jednovýběrového Wilcoxonova testu pro n = 6, 7, .., 30, α = 0,05 a α = 0,01
349
n
α = 0,05 α = 0,01
krit. hodnota krit. hodnota
6 0 -
7 2 -
8 3 0
9 5 1
10 8 3
11 10 5
12 13 7
13 17 9
14 21 12
15 25 15
16 29 19
17 34 23
18 40 27
19 46 32
20 52 37
21 58 42
22 65 48
23 73 54
24 81 61
25 89 68
26 98 75
27 107 83
28 116 91
29 126 100
30 137 109
Zdroj: Anděl, J.: Matematická statistika. (Tabulka XVIII.9).
Kritické hodnoty dvouvýběrového Wilcoxonova testu pro m = 1, 2, .., 30, n = 1, 2, …, 30, α = 0,05
350
n
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 -
2 - -
3 - - -
4 - - - 0
5 - - 0 1 2
6 - - 1 2 3 5
7 - - 1 3 5 6 8
8 - 0 2 4 6 8 10 13
9 - 0 2 4 7 10 12 15 17
10 - 0 3 5 8 11 14 17 20 23
11 -- 0 3 6 9 13 16 19 23 26 30
12 - 1 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37
13 - 1 4 8 12 16 20 24 28 33 37 41 45
14 - 1 5 9 13 17 22 26 31 36 40 45 50 55
15 - 1 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64
16 - 1 6 11 15 21 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75
17 - 2 6 11 17 22 28 34 39 45 51 57 63 69 75 81 87
18 - 2 7 12 18 24 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99
19 - 2 7 13 19 25 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113
20 - 2 8 14 20 27 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127
21 - 2 8 15 22 29 36 43 50 58 65 73 80 88 96 103 111 119 126 134
22 - 3 9 16 23 30 38 45 53 61 69 77 85 93 101 109 117 125 133 141
23 - 3 9 17 24 32 40 48 56 64 73 81 89 98 106 115 123 132 140 149
24 - 3 10 17 25 33 42 50 59 67 76 85 94 102 111 120 129 138 147 156
25 - 3 10 18 27 35 44 53 62 71 80 89 98 107 117 126 135 145 154 161
26 - 4 11 19 28 37 46 55 64 74 83 93 102 112 122 132 141 151 161 171
27 - 4 11 20 29 38 48 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 158 168 178
28 - 4 12 21 30 40 50 60 70 80 90 101 111 122 132 143 154 164 175 186
29 - 4 13 22 32 42 52 62 73 83 94 105 116 127 138 149 160 171 182 193
30 - 5 13 23 33 43 54 65 76 87 98 109 120 131 143 154 166 177 189 200
Zdroj: Anděl, J.: Matematická statistika. (Tabulka XVIII.10a).
Kritické hodnoty Neményiho metody, r = 3, 4, .., 10, n = 1, 2, …, 25, α = 0,05
351Zdroj: Blatná, Dagmar: Neparametrické metody. Tabulka T21/1.
r
n 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3,3 4,7 6,1 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5
2 8,8 12,6 16,5 20,5 24,7 28,9 33,1 37,4
3 15,7 22,7 29,9 37,3 44,8 52,5 60,3 68,2
4 23,9 34,6 45,6 57,0 68,6 80,4 92,4 104,6
5 33,1 48,1 63,5 79,3 95,5 112,0 128,8 145,8
6 43,3 62,9 83,2 104,0 125,3 147,0 169,1 191,4
7 54,4 79,1 104,6 130,8 157,6 184,9 212,8 240,9
8 66,3 96,4 127,6 159,6 192,4 225,7 259,7 294,1
9 75,9 114,8 152,0 190,2 229,3 269,1 309,6 350,6
10 92,3 134,3 177,8 222,6 268,4 315,0 362,4 410,5
11 106,3 154,8 205,0 256,6 309,4 363,2 417,9 473,3
12 120,9 176,2 233,4 292,2 352,4 413,6 476,0 539,1
13 136,2 198,5 263,0 329,3 397,1 466,2 536,5 607,7
14 152,1 221,7 293,8 367,8 443,6 520,8 599,4 679,0
15 168,6 245,7 325,7 407,8 491,9 577,4 664,6 752,8
16 185,6 270,6 358,6 449,1 541,7 635,9 732,0 829,2
17 203,1 296,2 392,6 491,7 593,1 696,3 801,5 907,9
18 221,2 322,6 427,6 535,5 646,1 758,5 873,1 989,0
19 239,8 349,7 463,6 580,6 700,5 822,4 946,7 1072,4
20 258,8 377,6 500,5 626,9 756,4 888,1 1022,3 1158,1
21 278,4 406,1 538,4 674,4 813,7 955,4 1099,8 1245,9
22 298,4 435,3 577,2 723,0 872,3 1024,3 1179,1 1335,7
23 318,9 465,2 616,9 772,7 932,4 1094,8 1260,3 1427,7
24 339,8 495,8 657,4 823,5 993,7 1166,8 1343,2 1521,7
25 361,1 527,0 698,8 875,4 1056,3 1240,4 1427,9 1611,6
Kritické hodnoty pro Spearmanův koeficient pořadové korelace n=5...30, α = 0,05 a α = 0,01
352
alfa
n 0,05 0,01
5 1,000 *
6 0,886 1,000
7 0,786 0,929
8 0,738 0,881
9 0,700 0,833
10 0,648 0,794
11 0,618 0,755
12 0,587 0,727
13 0,560 0,703
14 0,538 0,675
15 0,521 0,654
16 0,503 0,635
17 0,485 0,615
18 0,472 0,600
19 0,460 0,584
20 0,447 0,570
21 0,435 0,556
22 0,425 0,544
23 0,415 0,532
24 0,406 0,521
25 0,398 0,511
26 0,390 0,501
27 0,382 0,491
28 0,375 0,483
29 0,368 0,475
30 0,362 0,467
alfa
n 0,05 0,01
5 0,900 1,000
6 0,829 0,943
7 0,714 0,893
8 0,643 0,833
9 0,600 0,783
10 0,564 0,745
11 0,536 0,709
12 0,503 0,671
13 0,484 0,648
14 0,464 0,622
15 0,443 0,604
16 0,429 0,582
17 0,414 0,566
18 0,401 0,550
19 0,391 0,535
20 0,380 0,520
21 0,370 0,508
22 0,361 0,496
23 0,353 0,486
24 0,344 0,476
25 0,337 0,466
26 0,331 0,457
27 0,324 0,448
28 0,317 0,440
29 0,312 0,433
30 0,306 0,425
Adapted from Zar, J. H. (1972). Significance testing of the Spearman rank correlation. Journal of the American Statistical Association. 67, 578 – 580.
Zdroj: http://www.ace.upm.edu.my/~bas/5950/Spearman%20Rho%20Table.pdf
353
Následující text čerpá z článku Hun Myoung Park: Univariate Analysis and Normality
Test Using SAS, Stata and SPSS (dostupný z
http://www.indiana.edu/~statmath/stat/all/normality/normality.pdf)
Jednorozměrná analýza a testování normality pomocí SAS, STATA a SPSS
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409