Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Matematika III - 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 19. 9. 2012 Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo oooo oooooo Obsah přednášky Literatura Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Plán přednášky Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech a Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace Literatura Zobrazení a funkce více protne inných Limita a spojitost funkce Parciální a směro^ /é derivace ooooooooooooooooo oooo oooooo Dopo ručené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo oooo oooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo oooo oooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo oooo oooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo oooo oooooo Plán přednášky Literatura Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace Literatura Zobrazení a funkce více proměnných •oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními f : R ->• R. Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm -> Rn. Začneme dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru Rn Literatura Zobrazení a funkce více proměnných o»ooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Definice Zobrazení f : W —> R nazýváme reálná funkce více proměnných (ty obvykle značíme xi,... ,x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = W budou značeny f:M"3(x1,...,x„)4f(x1,..,x„)£l a např. funkce f definované v „rovině" E2 = R2 budou značeny f : R2 3 (x, y) ^ f (x, y) G R Literatura Zobrazení a funkce více proměnných o»ooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Definice Zobrazení f : W —> R nazýváme reálná funkce více proměnných (ty obvykle značíme xi,... ,x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = W budou značeny f:M"3(x1,...,x„)4f(x1,..,x„)£l a např. funkce f definované v „rovině" E2 = M2 budou značeny f : R2 3 (x, y) f (x, y) G R Definiční obor A c Rn - množina, kde je funkce definována. (Častým úkolem - nejen - v písemkách bývá nalézt k dané formuli pro funkci co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OO0OOOOOOOOOOOOOO oooo oooooo Definiční obor funkce Příklad Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + J\x\ + |y| - y/2. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OO0OOOOOOOOOOOOOO oooo oooooo Definiční obor funkce Příklad Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f{x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + J\x\ + \y\ - yfl. Řešení Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. 00.0 Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OO0OOOOOOOOOOOOOO oooo oooooo Definiční obor funkce Příklad Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f{x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + J\x\ + \y\ - yfl. Řešení Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných 000*0000000000000 Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfcR"xl = Rn+1 splňující Gf = {{xi, • • • ,x„, f{xi, ■ ■ -,xn)); (xi,... ,x„) e A}, kde A je definiční obor funkce f. Zobrazení a funkce více proměnných ooo»ooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfcR"xl = Rn+1 splňující Gf = {{xi, ■ ■ ■ ,xn, f{xi, ■ ■ ■ ,xn)); (xi,... ,x„) G A}, kde A je definiční obor funkce f. Příklad Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OOOOOOOOOOOO oooo oooooo Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou předst rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OOOOOOOOOOOO oooo oooooo Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice ^ Nechť f : M2 —> M. je funkce dvou proměnných, c£l Množinu fc = {(x,y)eR2:f(x,y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OOOOOOOOOOOO oooo oooooo Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice ^ Nechť f : M2 —> M. je funkce dvou proměnných, c£l Množinu fc = {(x,y)eR2:f(x,y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Zřejmě jde v případě vrstevnice na úrovni c o přímou analogii řezu grafu funkce f rovinou z = c. Pro představu o grafu funkce dvou proměnných jsou samozřejmě užitečné rovněž řezy rovinami x = 0 (bokorys), y = 0 (nárys), z = 0 (půdorys). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooo»ooooooooooo oooo oooooo Topologie euklidovských prostorů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic spolu se zaměřením W, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooo»ooooooooooo oooo oooooo Topologie euklidovských prostorů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením W, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na W definován standardní skalární součin u ■ v = J2"=i xiyi< kde u = (xi,...,x„) a v = (y1,...,yn) jsou libovolné vektory. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooo«ooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a smí oooooo írové derivace Topol ogie euklidovských pro storů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením W, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na W definován standardní skalární součin u ■ v = J2"=i xiyi< kde u = (xi,...,x„) a v = (y1,...,yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti ||Q — P\\ dvojic bodů P, Q předpisem \\Q-P\\2 = \\uf = J2xf, i=l kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. v E2 je vzdálenost bodů P\ = (xi,yi) a P2 = (x2,y2) dána ||P2-Pi||2 = (xi-x2)2 + (yi-y2)2. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooo«ooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo I Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením W, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na W definován standardní skalární součin u ■ v = J2"=i xiyi< kde u = (xi,...,x„) a v = (y1,...,yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti ||Q — P\\ dvojic bodů P, Q předpisem kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. v E2 je vzdálenost bodů P\ = (xi,yi) a P2 = (x2,y2) dána r-p\\ = ||((3 -P) + {r-q)\\< ||((3 -p)UM§r< P-i n WQ-p 2 Literatura Zobrazení a funkce více proměř mých Limita a spojitost funkce Parciální a s měrové derivace oooooo»oooooooooo oooo oooooo Rozšíření pojmů topologie R pro body P\ libovolného Euklidovského prostoru En: Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooo»oooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Rozšíření pojmů topologie M pro body P-, libovolného Euklidovského prostoru En\ Definice • Cauchyovská posloupnost - ||Pf- — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||Pf- — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné N G N) , Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooo»oooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Rozšíření pojmů topologie M pro body P-, libovolného Euklidovského prostoru En\ Definice « Cauchyovská posloupnost - ||Pf- — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||Pf- — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné N G N) , • konvergentní posloupnost - ||Pf- — P\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot /',_/', bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P\, Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooo»oooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Rozšíření pojmů topologie M pro body P-, libovolného Euklidovského prostoru En\ Definice • Cauchyovská posloupnost - ||Pf- — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||Pf- — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné N G N) , • konvergentní posloupnost - ||Pf- — P\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot /',_/', bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P\, • hromadný bod P množiny A cf„- existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, izolovaný bod P množiny A - existuje okolí bodu P neobsahující žádné další body z A (rovněž hromadný bod posloupnosti). Literatura Zobrazení a funkce více promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a s měro /é derivace ooooooo»ooooooooo oooo oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooo»ooooooooo oooo oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo»ooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené ô-okolíbodu P - množina 0${P) = {Q G En; \\P-Q\\ <6}, Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo»ooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené ô-okolí bodu P - množina Os(P) = {Q G En; \\P-Q\\ <6}, » hraniční bod P množiny A - každé á-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, Pozn: pozor na kvantifikátory! Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo»ooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené 5-okolí bodu P - množina 0${P) = {Q G En; \\P-Q\\ <6}, » hraniční bod P množiny A - každé á-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, • vnitřní bod P množiny A - existuje á-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, Pozn: pozor na kvantifikátory! Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo»ooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené 5-okolí bodu P - množina 0${P) = {Q G En; \\P-Q\\ <6}, » hraniční bod P množiny A - každé á-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, • vnitřní bod P množiny A - existuje á-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, « ohraničená množina - leží celá v nějakém á-okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké 5), Pozn: pozor na kvantifikátory! Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo»ooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, « otevřené 5-okolí bodu P - množina 0${P) = {Q G En; \\P-Q\\ <6}, • hraniční bod P množiny A - každé á-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, « vnitřní bod P množiny A - existuje á-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, » ohraničená množina - leží celá v nějakém á-okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké 5), » kompaktní množina - uzavřená a ohraničená množina. Pozn: pozor na kvantifikátory! Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooo»oooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A c En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okolí, Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooo»oooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A c En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okolí, Q každý bod a G A je bud vnitřní nebo hraniční, Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooo»oooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A c En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okolí, Q každý bod a G A je bud vnitřní nebo hraniční, O každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A, Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooo»oooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A c En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okolí, Q každý bod a G A je bud vnitřní nebo hraniční, O každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A, O A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má pod posloupnost konvergující k bodu v A, Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooo»oooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A c En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okolí, Q každý bod a G A je bud vnitřní nebo hraniční, O každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A, O A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má pod posloupnost konvergující k bodu v A, O A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné podpokrytí, Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooo»ooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Věta O Jsou-li A C Mm, 8CR" otevřené, je otevřená i množina Ax B C Rm+n. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooo»ooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Věta O Jsou-li A C Rm, e C I otevřené, je otevřená i množina Ax B C Rm+n. O Jsou-li A C Mm, e c i ln uzavřené, je uzavřená i množina /4 x 6 C Mm+". Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooo»ooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo ' Věta * O Jsou-li ACM m B C I ln otevřené, je otevřená i množina A x B C Rm- hn O Jsou-li ACM m B C I ln uzavřené, je uzavřená i množina A x B C Rm- hn O Jsou-li ACM m B C I ln kompaktní, je kompaktní i množina A x B C Rm- hn Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooo»oooooo oooo oooooo Křivky Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových" křivek. Definice Křivka je zobrazení c : M. —> En. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooo»oooooo oooo oooooo Křivky Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových" křivek. Definice Křivka je zobrazení c : M —> En. Je třeba rozlišovat křivku a její obraz v En: Příklad Obrazem křivky t i-> (cos(ŕ), sin(ŕ)), ŕ G M v rovině E2 je jednotková kružnice, stejně jako v případě jiné křivky 11-» (cos(ŕ3), sin(ŕ3)), t G R. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooo»ooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Analogicky k funkcím v jedné proměnné lze definovat: Definice • Limita: limt^t0 c(ŕ) G E„ * Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. 1 ► 1 -00.0 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooo»ooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Analogicky k funkcím v jedné proměnné lze definovat: Definice » Limita: limt^t0 c(ŕ) G E„ « Derivace: c'(t0) = limř^řo (c(ŕ)ŕI^(ŕo)) G Rn > Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooo»ooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Analogicky k funkcím v jedné proměnné lze definovat: Definice "* » Limita: limt^t0 c(ŕ) G E„ « Derivace: c'(t0) = limř^řo (c(ř)-^o)) £ Rn « Integrál: f^c(t)dt G M". Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. Literatura Zobrazení a funkce více promě inných Limita a spojitost funkce Parciální a s měro^ /é derivace oooooooooooo»oooo oooo oooooo Analogie souvislosti Riemannova integrálu a primitivní funkce (= antiderivace) pro křivky: Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooooo»oooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Analogie souvislosti Riemannova integrálu a primitivní funkce (= antiderivace) pro křivky: Věta Je-li c : M —> M" křivka spojitá na intervalu [a, b], pak existuje její Riemannův integrál f c(t)dt. Navíc je křivka dobře definovaná, diferencovatelná a platí C'(t) = c(t) pro všechny hodnoty t £ [a, b\. Literatura Zobrazení a funkce více promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a s měro /é derivace ooooooooooooo#ooo oooo oooooo Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooo#ooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Věta o střední hodnotě dává pro křivku c(ř) = (ci(ř),..., c„(r)) existenci čísel ry takových, že C;(b)-C;(a) = (b-a)-c'i(t;). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) — c(a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooo#ooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Věta o střední hodnotě dává pro křivku c(ř) = (ci(ř),..., c„(r)) existenci čísel ry takových, že C;(b)-C;(a) = (b-a)-c'i(t;). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) — c(a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. Např. v rovině E2 pro c(ŕ) = (x(ř),y(ř)) takto dostáváme c(b) - c(a) = (x>(at>-a),y'(v)(b-a)) = (b - a) ■ (AO,y'(v)) pro dvě (obecně různé) hodnoty E [a, b]. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooooooo»oo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : m —> En v bodě c (to) é £„- vektor c'(t0) ě1"v prostoru zaměření Rn daný derivací. Literatura Zobrazení a funkce více promě inných Limita a spojitost funkce Parciální a smí írové derivace oooooooooooooo»oo oooo oooooo Teční í ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : M. —> En v bodě c(řo) £ En - vektor c'(řo) ěM"v prostoru zaměření M." daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +t • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě íq, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. Literatura Zobrazení a funkce více promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a sm rové derivace oooooooooooooo»oo oooo oooooo Teční í ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : M. —> En v bodě c(řo) £ En - vektor c'(řo) ěM"v prostoru zaměření M." daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +t • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo> narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cos t, t, t2), t 6 [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. Literatura Zobrazení a funkce více promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a sm rové derivace oooooooooooooo»oo oooo oooooo Teční í ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : M. —> En v bodě c(řo) £ En - vektor c'(řo) £ M" v prostoru zaměření M." daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +t • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo> narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cos t, t, t2), t £ [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. c'(t) = (- sin t, 1, 2t), c"(t) = (- cos t, 0, 2), Literatura Zobrazení a funkce více promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a sm rové derivace oooooooooooooo»oo oooo oooooo Teční í ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : M. —> En v bodě c(řo) £ En - vektor c'(řo) ěM"v prostoru zaměření M." daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +t • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo> narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cos t, t, t2), t £ [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. c'(t) = (- sin t, 1, 2t), c"(t) = (- cos t, 0, 2), c'(0) = (0,1, 0), ||c'(0)|| = 1, c"(0) = (-1, 0, 2). Literatura Zobrazení a funkce více promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a sm rové derivace oooooooooooooo»oo oooo oooooo Teční í ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : M. —> En v bodě c(řo) £ En - vektor c'(řo) £ M" v prostoru zaměření M." daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +t • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo> narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cos t, t, t2), t £ [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. c'(t) = (- sin t, 1, 2t), c"(t) = (- cos t, 0, 2), c'(0) = (0,1, 0), ||c'(0)|| = 1, c"(0) = (-1, 0, 2). Zrychlení ve směru tečny je pak ||c'jL|i (c'(0) * ^'(O)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooo»o Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení W —> M.n. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooo»o Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení M." —> M.n. Příklad: polohu p zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooo»o Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení M." —> M.n. Příklad: polohu p zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x. Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (r>v) ^ (rcos^rsinv?) = Pkartézské Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooo»o Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení M." —> M.n. Příklad: polohu p zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x. Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (r>v) ^ (rcos^rsinv?) = Pkartézské Graf funkce můžeme také vnímat jako obraz zobrazení M." —> M.n+1. Zobrazení a funkce více proměnných ak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Zobrazení a funkce více proměnných ak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Archimedova spirála má v polárních souřadnicích rovnici r(ip) = a + bip, kde I a, b G M jsou parametry. 4 □ ► 4 (5 ► 4 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo oooo oooooo Plán přednášky Literatura Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce •ooo Parciální a směrové derivace oooooo unkce více pro Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce •ooo Parciální a směrové derivace oooooo unkce více pro Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě agR" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x G 0{a) \ {a} platí f(x) G O(L). Píšeme lim f(x) = L Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce •ooo Parciální a směrové derivace oooooo unkce více pro Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě agR" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x G 0{a) \ {a} platí f(x) G O(L). Píšeme lim f(x) = L Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce •ooo Parciální a směrové derivace oooooo unkce více pro Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě agR" limitu L, jestliže ke každému okolí 0(Ľ) bodu L existuje okolí O(a) bodu a tak, že pro všechna x G O(a) \ {a} platí f(x) G 0(Ľ). Píšeme lim f(x) = L Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo o»oo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, aněkdy také o dvou policajtech :) Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo o»oo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, 9 věta o třech limitách 3, aněkdy také o dvou policajtech :) Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo o»oo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • fix) + d • g(x)) = c ■ lim f(x) + d ■ lim g(x), x—>a x—>a x—>a aněkdy také o dvou policajtech :) 00.0 Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo o»oo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • fix) + d • g(x)) = c ■ lim fix) + d • lim g(x), x—>a x—>a x—>a • multiplikativita, divisibilita, aněkdy také o dvou policajtech :) 00.0 Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo o»oo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • fix) + d • g(x)) = c ■ lim f(x) + d • lim g(x), x—>a x—>a x—>a • multiplikativita, divisibilita, • _/e-// limx^a f(x) = 0 a funkce g(x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu x, pak lim f{x)g(x) = 0. aněkdy také o dvou policajtech :) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oo»o Parciální a směrové derivace oooooo Vypočtěte limitu funkce f(x,y) = ^ 2^2+1 1 v ^odě (0)0)- Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x, y) = (x + y) sin £ sin j v bodě (0, 0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) = x2^ 2 v bodě (0,0) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce ooo» Parciální a směrové derivace oooooo SDojitost funkce Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G W, pokud má v a vlastní limitu a platí lim f(x) = f (a). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo ooo» oooooo SDojitost funkce Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G M", pokud má v a vlastní limitu a platí lim f(x) = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce ooo» Parciální a směrové derivace oooooo SDojitost funkce Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G W, pokud má v a vlastní limitu a platí lim f(x) = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : M" —> M je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b G A takové, že f (a) < 0 < f (b), pak existuje c G A tak, že f (c) = 0. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo oooo oooooo Plán přednášky Literatura Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů • Krivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace •ooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... ,x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace •ooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f(x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita l^o T ^Xl*' " ''x*~1,x* + ř'xíVi' • • •'x") ~ f (xí' • • •'X")) ' říkáme, že funkce f : En —> M. má v bodě [xj*,... , x*] parciální derivaci podle proměnné x-, a značíme fXi{x\, ■ ■ ■ ,*n) (příp. g(x1*,...,x*)nebo^(x1*,...,x*)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace •ooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice /K,...,xn*)), ,x*] parciální ,x*) (příp. Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : En —> M. parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z En do M. Existuje-li limita t™o 1 ' ' " ''X/-1'X/ 'X/+1'''''X"^ ~ říkáme, že funkce f : En —> M. má v bodě [xj*,... derivaci podle proměnné xf- a značíme /x,(x^,... g(x1*,...,x*)nebo^(x1*,...,x*)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace o»oooo Pro funkce v E2 dostáváme d 1 -g^f{xo,Yo) = lim y(f(x0 + ŕ,y0) - r(x0,y0)) ,. f{x,yo) - f{xo,yo) = lim —-1-, x^x0 X — Xo d 1 -ř^f{xo,yo) = jírn -{f{x0,yo + t) - f{x0,y0)) ,. f{xo,y) - f{xo,yo) = lim —-1-. y^yo y - yo Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace o»oooo Pro funkce v E2 dostáváme d 1 -g^f{xo,Yo) = lim y(f(x0 + ŕ,y0) - r(x0,y0)) ,. f{*,yo) - f{xo,yo) = lim —-1-, x^x0 X — Xo d 1 -g^f{xo,yo) = \\mQ-(f(xo,y0 + t) - f{x0,y0)) ,. f{xo,y) - f{xo,yo) = lim —-1-. y^yo y - yo Poznámka Parciální derivace funkce f : E2 —> M. podle x v bodě [xn,yo] udává směrnici tečny v bodě [xn,yo, f{xo,yo)] ke křivce (přesněji: ke grafu křivky), která je průsečíkem grafu Gf s rovinou y = yo. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Parciální a směrové derivace oo»ooo Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo oooo oo»ooo Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) 1 pro x=0 nebo y=0 0 jinak má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooooo oooo ooo»oo Směre ivé derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOOOOOOOOOOOOO OOOO OOO0OO Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : W1 —> M má derivaci ve směru vektoru věM"v bodě x £ En, jestliže existuje derivace dvf(x) složeného zobrazení 11-> f(x + tv) v bodě t = 0, tj. dvf(x) = lim y(f(x + tv) - f(x)). Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv(x). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOOOOOOOOOOOOO OOOO OOO0OO Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : W1 —> M má derivaci ve směru vektoru véM"v bodě x 6 En, jestliže existuje derivace dvf(x) složeného zobrazení 11-> f(x + tv) v bodě t = 0, tj. dvf(x) = lim y(r"(x + tv) - f(x)). Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv(x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. Literatura Zobrazení a funkce více promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a sm rové derivace ooooooooooooooooo oooo oooo»o Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné tp(t) = f(x+ tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro i/ěK" směrové derivace dvf(x), dvg(x) funkcí f, g : En —» M. v bodě x 6 En, pak: O dilv bodě x £ En, pak: O di