Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Matematika III - 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 26. 9. 2012 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Qf Literatura Q| Zobrazení a funkce více proměnných • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q| Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Plán přednášky Q| Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Q Literatura Q| Zobrazení a funkce více proměnných • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce 0 Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Literatura Zobrazei ní a funkce ví' ze promě inných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •O ooooooooooooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení W —> M.n. Literatura Zobraze ní a funkce ví ze promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •O ooooooooooooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení W —> M.n. 1/2*Pi Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost r od počátku souřadnic a úhel ip mezi spojnicí bodu P s počátkem a osou x. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných •O Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení M." —> M.n. Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost r od počátku souřadnic a úhel ip mezi spojnicí bodu P s počátkem a osou x. Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (r>v) ^ (rcos^rsinv?) = Pkartézské Literatura Zobrazení a funkce více proměnných •O Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení M." —> M.n. Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost r od počátku souřadnic a úhel ip mezi spojnicí bodu P s počátkem a osou x. Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (r>v) ^ (rcos^rsinv?) = Pkartézské Graf funkce můžeme také vnímat jako obraz zobrazení M." —> M.n+1. Zobrazení a funkce více proměnných ak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Zobrazení a funkce více proměnných ak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Archimedova spirála má v polárních souřadnicích rovnici r(ip) = a + bip, kde I a, b G M jsou parametry. 4 □ ► 4 (5 ► 4 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo 0 Literatura 01 Zobrazení a funkce více proměnných • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce 0 Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě agR" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x G 0{a) \ {a} platí f(x) G O(L). Píšeme lim f(x) = L Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě agR" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x G 0{a) \ {a} platí f(x) G O(L). Píšeme lim f(x) = L Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v " nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě agR" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x G 0{a) \ {a} platí f(x) G O(L). Píšeme lim f(x) = L Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v " nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě" , po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Analogické jako v případě jedné proměnné: jednoznačnost limity, aněkdy také o dvou policajtech :) ní a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Analogické jako v případě jedné proměnné: jednoznačnost limity, věta o třech limitách aněkdy také o dvou policajtech :) ní a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Analogické jako v případě jedné proměnné: « jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d ■ lim g(x), aněkdy také o dvou policajtech :) Analogické jako v prípade jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d ■ lim g(x), x—>a x—>a x—>a • multiplikativita, divisibilita, aněkdy také o dvou policajtech :) 00.0 Analogické jako v prípade jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d • lim g(x), x—>a x—>a x—5-a • multiplikativita, divisibilita, • _/e-// limx^a f(x) = 0 a funkce g(x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu x, pak lim f{x)g(x) = 0. aněkdy také o dvou policajtech :) 00.0 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Vypočtěte limitu funkce f(x,y) = ^ 2^2+1 1 v ^odě (0,0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x, y) = (x + y) sin £ sin j v bodě (0, 0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) = x2+y2 v bodě (0,0) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G W, pokud má v a vlastní limitu a platí lim f(x) = f (a). Literatura Zobraze ií a funkce ví :e promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové de 00 ooooooooooooooo Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G W, pokud má v a vlastní limitu a platí lim f(x) = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G W, pokud má v a vlastní limitu a platí lim f(x) = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : M" —> M je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b G A takové, že f (a) < 0 < f (b), pak existuje c G A tak, že f (c) = 0. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných 00 Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Plán přednášky Literatura Zobrazení a funkce více proměnných • Zobrazení Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce 4 P ► 4 S ► < -š ► ' - ► Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •oooooooooooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... ,x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •oooooooooooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita j1™ \ (f(Xl> • • • ' x*-l' X* + ř' x*+l' • • • ' Xn) ~ f{X\, ■ ■ ■ , xn)) , říkáme, že funkce f : En —> M. má v bodě [xj*,... , x*] parciální derivaci podle proměnné x; a značíme fXi{x\, ■ ■ ■ ,*n) (příp. g(x1*,...,x*)nebo^(x1*,...,x*)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •oooooooooooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice /K,...,xn*)), ,x*] parciální ,x*) (příp. Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : En —> M. parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z En do M. Existuje-li limita t™o 1 ' ' " ''X/-1'X/ 'X/+1'''''X"^ ~ říkáme, že funkce f : En —> M. má v bodě [xj*,... derivaci podle proměnné xf- a značíme /x,(x^,... g(x1*,...,x*)nebo^(x1*,...,x*)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o»ooooooooooooo Pro funkce v E2 dostáváme d 1 -g^f{xo,Yo) = lim y(f(x0 + ŕ,y0) - r(x0,y0)) ,. f{x,yo) - f{xo,yo) = lim —-1-, x^x0 x — Xo d 1 7^ŕ(*o,yo) = jirn -{f{x0,yo + t) - f{x0,y0)) ,. f{xo,y) - f{xo,yo) = lim —-1-. y^yo y - yo Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o»ooooooooooooo Pro funkce v E2 dostáváme d 1 -g^f{xo,Yo) = lim y(f(x0 + ŕ,y0) - r(x0,y0)) ,. f{x,yo) - f{xo,yo) = lim —-1-, x^x0 x — Xfj d 1 7^f(*o,yo) = Imi -{f{xo,yo + t) - f{x0,yo)) ,. f(*o,y) - f{xo,yo) = lim —-1-. y^yo y - yo Poznámka Parciální derivace funkce f : E2 —> M. podle x v bodě [xo,yo] udává směrnici tečny v bodě [xo,yo, f{xo,yo)] ke křivce, která je průsečíkem grafu Gf s rovinou y = yo. Literatura Zobraze ze proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo oo»oooooooooooo 1 ľ"í 1 /"I /"\ t*" 1 r arcia mi aeri vacc \i 's. spojiic )SI Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo oo^oooooooooooo Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) 1 pro x=0 nebo y=0 0 jinak má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Literatura Zobraze :e promě :nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OO ooo»ooooooooooo Směro ivé deri vace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Literatura Zobraze :e promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OO ooo»ooooooooooo Směro vé deri vace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : W1 —> M má derivaci ve směru vektoru věM"v bodě x £ En, jestliže existuje derivace dvf(x) složeného zobrazení 11-> f(x + tv) v bodě t = 0, tj. dvf(x) = lim y(f(x + tv) - f(x)). Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv(x). Literatura Zobraze :e promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OO ooo»ooooooooooo Směro vé deri vace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : W1 —> M má derivaci ve směru vektoru věM"v bodě x £ En, jestliže existuje derivace dvf(x) složeného zobrazení 11-> f(x + tv) v bodě t = 0, tj. dvf(x) = lim y(f(x + tv) - f(x)). Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv(x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OO 0000*0000000000 Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné tp(t) = f(x+ tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro i/ěK" směrové derivace dvf(x), dvg(x) funkcí f, g : En —» M. v bodě x £ En, pak: O di M je diferencovatelná v xo, pokud existuje A 6 M. tak, že (Přitom z definice derivace snadno plyne, že pak A = f'(xo).) dy = f'(xo) ■ dx. lim f{x0 + h)- f{x0) - Ah h = 0. Literatura Zobraze ií a funkce ví :e promě :nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 0000000*0000000 Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 0000000*0000000 Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> M. je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,..., an takový, že pro všechny "směry" i/ěK" platí lim -—-i/^0 \\v\ -(f(x+v) - f(x) - a- v) = 0. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 0000000*0000000 Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> M je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,..., a„) G W takový, že pro všechny "směry" i/ěK" platí lim 7A7 (H* +v)- fix) - a ■ v) = 0. v->o \\v\\ y ' Lineární funkci df definovanou předpisem v ^ a • v (závislou na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f. V literatuře se často také říká totální diferenciál áf funkce f. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooo»oooooo Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Je-li funkce f : Rn ->• v tomto bodě spojitá. diferencovatelná v bodě xěI", pak je ] Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooo»oooooo Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Je-li funkce f : Rn ->• v tomto bodě spojitá. diferencovatelná v bodě xěI", pak je Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne ] f(x + v) — f(x) = a ■ v + t(v), kde lim^o t(i/) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooo»oooooo Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : M" —> M diferencovatelná v bodě xěI", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f{x + v) — f{x) = a ■ v + t(v), kde lirrv_>o = 0. Proto: lim (f(x + v) - f(x)) = lim (a • v + t (v)) = 0, a tedy lim f(x + v) = f(x). □ Literatura Zobraze ií a funkce ví :e promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 ooooooooo»ooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné je přitom dvf(x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooo»ooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné je přitom dvf(x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Důkaz: dvf(x) = lim -t (f(x + tv) - f(x)) = lim ± {df(x)(tv) + r(tv)) = = df(x)(v) + IMI lim 1^ = df(x)(v) = a-v. v t->o \\tv\\ Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooo»ooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné je přitom dvf(x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Důkaz: dvf(x) = lim -t (f(x + tv) - f(x)) = lim ± {df(x)(tv) + r(tv)) = = df(x)(v) + IMI lim 1^ = df(x)(v) = a-v. v t->o \\tv\\ Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací ff(x) je přímo roven vektoru a. ■ Literatura Zobraze ií a funkce ví :e promě :nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 oooooooooo»oooo Uvažujme f : E2 —> M se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xn,yo] je lineární funkce df : E2 —> M na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Literatura Zobraze ií a funkce ví :e promě nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 oooooooooo»oooo Uvažujme f : E2 —> M se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> M Jf df J df J df = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x,y) = x2 +y2 v obecném bodě [x*,y*]. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooo»oooo Uvažujme f : E2 —> M se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xn,yo] je lineární funkce df : E2 —> M Jf df J df J df = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x,y) = x2 +y2 v obecném bodě [x*,y*]. Kvůli přehlednosti označme h := dx,k := dy. Pak f{x* +dx,y* +dy) - f{x*,y*) = = (x* + hf + (y* + kf - (x*)2 - (y*)2 = = 2x*h + 2y*h + h2 + k2. Odtud df(x*,y*)(h, k) = 2x* ■ h + 2y* • k a r(/i, k) = h2 + k2. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooo»ooo Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně Jf df J df J df J df = — dx-y + — dx2 H-----h -z—dxn OXi OX2 oxn (*) a platí: Necht f : En —» M je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x G En spojité parciální derivace. Pak existuje jejídiferenciál áf v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooo»oo Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e0'1 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooo»oo Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e0'1 Řešení Využijeme diferenciál funkce f(x,y) = ex3+y v bodě x = [0,0] s diferencemi v = (0,05; -0,02). Máme df (x, y) = ex3+y -3x2 dx + ex3+y dy, a tedy df(0, 0) = 0 dx + 1 dy, což celkem dává odhad e0,053-0,02 _ f(0,05; -0,02) « f(0, 0) + df(0,05; -0,02) = 1 - 0,02 = 0,98. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 0000000000000*0 Pro f : E2 —> M a pevný bod [xo,yo] £ £2 uvažme rovinu v E3: df df z = f(x0,y0) + —(x0,y0)(x -x0) + t^(xo, yo)(y - yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ŕ) = (x(ŕ),y(ŕ), f (x(ŕ),y(ŕ))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Pro f : E2 —> M a pevný bod [xo,yo] £ E2 uvažme rovinu v E3: df df z = f{x0,y0) + —(x0,y0)(x -x0) + ^;(x0, y0)(y - yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ŕ) = (x(ŕ), y(ŕ), f(x(ŕ), y(ŕ))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t,t,f(t, t)). Literatura Zobraze ií a funkce ví :e promě :nných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 oooooooooooooo* Obecně pro f : En —> M. je tečnou rovinou (přesněji, tečným prostorem) afinní nadrovina v E„+i. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooo* Obecně pro f : En —> M. je tečnou rovinou (přesněji, tečným prostorem) afinní nadrovina v E„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) Q její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> M, tj. diferenciálu v bodě x 6 En. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo oooooooooooooo* Obecně pro f : En —> M. je tečnou rovinou (přesněji, tečným prostorem) afinní nadrovina v E„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) Q její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> M, tj. diferenciálu v bodě x 6 En. Analogie s funkcemi jedné proměnné Diferencovatelná funkce f má na E„ v bodě x £ E„ nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně bud' maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších.