Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Spojité modely a statistika - 1. přednáška Funkce a zobrazení více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 9. 2013 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce oooooooooooooo oooo Q Literatura Q| Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce oooooooooooooo oooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Literatura Zobrazení a funkce více proměnných •ooooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními f : R ->• R. Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm -> Rn. Začneme dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru Rn Literatura Zobrazení a funkce více proměnných o»oooooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Definice Zobrazení f : W —> R nazýváme reálná funkce více proměnných (ty obvykle značíme xi,... ,x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = W budou značeny f:M"3(x1,...,x„)4f(x1,..,x„)£l a např. funkce f definované v „rovině" E2 = M2 budou značeny f : R2 3 (x, y) f (x, y) G R Definiční obor A c Rn - množina, kde je funkce definována. (Častým úkolem - nejen - v písemkách bývá nalézt k dané formuli pro funkci co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných 00*00000000000 Limita a spojitost funkce oooo Příklad Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + \l\x\ + |y| - \Í2. Řešení Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo#oooooooooo Limita a spojitost funkce oooo ' Příklad * Zobrazte v rovině definiční obory funkcí: a) f(x,y) = + Příklad Určete definiční obor funkce f{x,y,z) = arccos - V x2 + y2 Zobrazení a funkce více pramenných oooo»ooooooooo Limita a spojitost funkce oooo Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfcR"xl = Rn+1 splňující Gf = {{xi, ■ ■ ■ ,xn, f{xi, ■ ■ ■ ,xn)); (xi,... ,x„) G A}, kde A je definiční obor funkce f. Příklad Grafem funkce definované v E2 f(x'y) = x^T7 je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je E2 \ {(0,0)}. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooo»oooooooo Limita a spojitost funkce oooo Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice ^ Nechť f : M2 —> M. je funkce dvou proměnných, c£l Množinu fc = {(x,y)eR2:f(x,y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Zřejmě jde v případě vrstevnice na úrovni c o přímou analogii řezu grafu funkce f rovinou z = c. Pro představu o grafu funkce dvou proměnných jsou samozřejmě užitečné rovněž řezy rovinami x = 0 (bokorys), y = 0 (nárys), z = 0 (půdorys). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce oooooo»ooooooo oooo Příklady ' Příklad Načrtněte vrstevnice funkcí: a) f{x,y) = x2 - y2, b) f(x,y) = y/xy.