Úvod do pravděpodobnosti - připomenutí oooooooooooooooo Náhodné veličiny ooooooo Matematika III - 10. přednáška Náhodné veličiny - základní vlastnosti a typy ■ Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 11. 2013 Úvod do pravděpodobnosti - připomenutí Náhodné veličiny oooooooooooooooo ooooooo Obsah přednášky Úvod do pravděpodobnosti - připomenutí Q Náhodné veličiny Úvod do pravděpodobnosti - připomenutí Náhodné veličiny oooooooooooooooo ooooooo Doporučené zdroje • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. • Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. • Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. Úvod do pravděpodobnosti - připomenutí Náhodné veličiny •ooooooooooooooo ooooooo Podmíněná pravděpodobnost Definice Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v jevovém poli A v pravděpodobnostním prostoru (Q,A,P). Podmíněná pravděpodobnost P(A\H) jevu A M.. Je to typický příklad náhodné veličiny. U každé náhodné veličiny potřebujeme umět pracovat s vhodnou množinou jevů. Zpravidla požadujeme, abychom mohli pracovat s pravděpodobnostmi příslušnosti hodnoty X do předem zadaného intervalu. Úvod do pravděpodobnosti - připomenutí oooooooooooooooo Náhodné veličiny o»ooooo Přirozenější interpretací výsledku pokusu je totiž často spíše než zjištění, zda náhodný jev nastal či nenastal, nějaká hodnota: • součet bodů na dvou kostkách, • počet bakterií v daném množství roztoku nebo • počet studentů, kteří uspěli u zkoušky nebo kteří získali alespoň 5 bodů z konkrétního příkladu. Od pravděpodobnostního prostoru (Q,A,P) tedy potřebujeme přejít k obdobné dvojici (M, £>) tak, abychom podmnožinám M, ležícím v u-algebře B byli schopni přiřadit pravděpodobnost odvozenou z (Q.,A, P). Úvod do pravděpodobnosti - připomenutí oooooooooooooooo Náhodné veličiny oo»oooo Na prostoru Mfc uvažujme nejmenší jevové pole B obsahující všechny /c-rozměrné intervaly. Množinám v B říkáme borelovské množiny (nebo také měřitelné množiny) na Speciálně pro k = 1 jde o množiny, které obdržíme z intervalů konečnými průniky a nejvýše spočetnými sjednoceními. Náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Q.,A, P) je taková funkce X : Q. —> M, že vzor X~1(B) patří do A pro každou Borelovskou množinu B g B na M (tj. X : Q. —> M je tzv. borelovsky měřitelná). Množinová funkce PX{B) = P{X-\B)) = P{{lo g Q;X{lo) g B}) se nazývá rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Náhodný vektor (Xi,... ,Xk) na (Q, A, P) je /c-tice náhodných veličin. Úvod do pravděpodobnosti - připomenutí oooooooooooooooo Náhodné veličiny 000*000 Příklady k procvičení Příklad Hodíme jedenkrát kostkou, množina elementárních jevů je Q = {ui, u}2, ía>3, í^4, ÍJ5, u}q}. Jevovým polem nechť je A = {0, {íJi, W2}, {w3, M dané předpisem a) X(ujj) = i pro každé / g {1, 2, 3,4, 5, 6}, b) X(íji) = X(uj2) = -2,X(w3) = X(uja) = X{lj5) = X{uj6) = 3, je náhodnou veličinou vzhledem k A. Příklad Je dáno jevové pole (fi, A), kde Q = 1^2, <^35 <^45^5} a „4 = {0, {cji, cj2}, {^3}, {^4, ^5}, {^i, ^2, ^3}, { M, které bude náhodnou veličinou vzhledem k A. Úvod do pravděpodobnosti - pripomenutí oooooooooooooooo Náhodné veličiny oooo»oo Definice náhodné veličiny zajišťuje, že pro všechny —oo < a < b < oo existuje pravděpodobnost P(a < X < b), kde používáme stručné značení projev A = (lo g Q.; a < X(lo) < b)). Definice Distribuční funkcí (distribution, cumulative density function) náhodné veličiny X je funkce F : M —> M definovaná pro všechny x g M vztahem F(x) = P(X < x). Distribuční funkcí náhodného vektoru (Xi,... ,Xk) je funkce F : M.k —> M definovaná pro všechny (xi,... ,x/<) g MŔ vztahem F(x) = P(Xi < xi A • • • A Xk < xk). Předpokládejme, že náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Q,A,P) nabývá jen konečně mnoha hodnot xi,X2,..., x„ £ M. Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce f(x) taková, že Takové náhodné veličině se říká diskrétní. Každá náhodná veličina definovaná pro klasickou pravděpodobnost je diskrétní. Obdobně lze definici pravděpodobnostní funkce rozšířit na veličiny se spočetně mnoha hodnotami (pracujeme pak s nekonečnými řadami) P(X = xf) pro x = x; 0 jinak. Evidentně Y11-i f{xi) 1. Príklad Nechť Q = {lúi,lú2, lo^} a A = {Q., 0, {^3}, {wi, ^2}}- Určete všechny pravděpodobnostní funkce zobrazující A do množiny {0,1,9,1-9}. Příklad Třikrát nezávisle na sobě hodíme mincí. Náhodná veličina X udává počet hlav, které padnou při těchto hodech. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny X. Příklad Pravděpodobnost, že výrobek bude vyhovovat všem technickým požadavkům, je 0,9. Popište rozdělení náhodné veličiny udávající počet nevyhovujících výrobků mezi 3 výrobky.