Matematika III - 12. přednáška Funkce náhodných veličin dhady Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 4. 12. 2013 Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooo Obsah přednášky Q Funkce náhodných veličin • Transformace náhodných veličin Q Číselné charakteristiky náhodných veličin Q| Limitní věty a odhady Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooo Doporučené zdroje • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. • Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. • Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady •ooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooo Příklady k procvičení Příklad Nechť má X binomické rozdělení s parametry n = 4, p = 2/3. Určete rozdělení transformované náhodné veličiny Y = (X — 2)2 a nakreslete graf její distribuční funkce. Příklad Mějme náhodnou veličinu X hustoty f(x) = 2xe x pro x > 0 (a jinde nulové). Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny Y = X2. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady o»oooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooo Transformace náhodných veličin Příklad Nechť má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, r). Určete distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti rozdělení objemu koule o poloměru X. Určeme nejprve distribuční funkci F (pro 0 < d < 57rr3) F(d) = P 4 , 3fšď -ttX3 < d = P X< \ — 3 ~ V 4?r celkem F(x) pro x < 0 W^3 Pro 0 j7rr Transformace náhodných veličin oo»ooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Limitní věty a odhady ooooooooo Příklad (rozdělení x2(l)) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Řešení Zřejmě je pro x < 0 distribuční funkce nulová, pro x > 0 dostáváme: Fx{x) = P[Z2 < x] = P[—y/x < Z < ^/x] = 2tt z2 T dz t 2 e 2 dŕ 2tt 1 _x "2 e 2 a derivací podle x dostaneme hustotu 6c(x) : Rozdělení náhodné veličiny s touto hustotou se nazývá (Pearsonovo) x2 rozdělení s jedním stupněm volnosti a značí se X~X2(1). Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady ooo»oooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooo Jemný úvod k limitním větám Místo náhodné veličiny X, např. „roční plat zaměstnance", budeme vyčíslovat jinou závislou hodnotu ip(X), např. „roční čistý příjem zaměstnance po zdanění a včetně sociálních dávek". V systému se značnou sociální solidaritou je první veličina hodně variabilní, zatímco druhá může být skoro konstantní. Statisticky se proto budou značně odlišovat. Připomeňme si přechod od binomického k Poissonovu rozdělení: Věta (Poissonova) Je-li Xn ~ Bi(n,p„) taková, že lim„- ^oo npn = X a X ~ Po(A), pak lim P[Xn = k] = P[X = k] pro k = 0,1,.... Číselné charakteristiky náhodných velič ooooooooooooooooooooooo Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost ip(x) = a + bx. V prípade afinní transformace diskrétní náhodné veličiny x = |(y — b) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y, = ax\ + b. Ukážeme si, že v případě rozdělení Xn typu Bi(n, p) převádí transformace x = y y/ np(l — p) + np náhodnou veličinu Xn na rozdělení Yn s distribuční funkcí blízkou distribuční funkci spojitého rozdělení A/(0,1). Dříve uvedená Poissonova věta popisuje asymptotické chování binomického rozdělení pří n —> oo a p —> 0, následující věta pak chování v případě konstantní pravděpodobnosti zdaru p. Věta (de Moivre-Laplaceova) Pro náhodné veličiny Xn s rozdělením Bi(n,p) platí Xn - n p lim P n—>oo a < < b 0. Transformace náhodných v eličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooo^ooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooo Řešení (pokr.) Volbou p = 1/6, A = 1800, B = p^.fí 2100 - 2000^ 2100, n = 12000 dostáváme odhad / 1800 - 2000 ^ ) « 0,992. Poznámka Statistické tabulky - viz např. https://is.muni.cz/auth/el/ 1433/podzim2013/MB103/um/StatTab.pdf nebo sbírka příkladů [BMO]. ' Příklad ^ Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi tisíci novorozenci bude alespoň tolik děvčat jako chlapců? Transformace náhodných v eličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady ooooooo»oo ooooooooooooooooooooooo ooooooooo Příklad Nezávisle opakujeme pokus s výsledky 1 a 0, které mají neznámé pravděpodobnosti p a 1 — p. Parametr p chceme odhadnout pomocí relativních četnostíXn/n (Xn je počet jedniček při n pokusech). Víme, že je Xn ~ Bi(n,p), proto nám Moivre-Laplaceova věta umožní určit počet pokusů n potřebný k zajištění požadované přesnosti odhadu ô se spolehlivostí 1 — /3. Využijeme Moivre-Laplaceovu větu zapsanou ve tvaru 0 = lim nó y/np{\-p) < ó nó y/np(l- p) Transformace náhodných veličin oooooooo»o Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Limitní věty a odhady ooooooooo Řešení Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost P[\Xn/n — p| < ô] > 1 — /3, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností *(-*=)-*(--* = \y/np{l-p)J \ y/np{l - p) = 2* ( , nS )-l>l-fi. \y/np(l-p)J - Ta je ekvivalentní s podmínkou nô/yjnp(l — p) > z(/3/2), kde z(p) je řešení rovnice (z((3/2)/2S)2 « 270,6. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady ooooooooo* ooooooooooooooooooooooo ooooooooo Příklady k procvičení Příklad Náhodně vybraná konzerva v armádním skladu je vadná s pravděpodobností 0,1. Kolik konzerv musí zásobovací důstojník ze skladu vzít, aby mezi nimi bylo s pravděpodobností 99% alespoň 60 bezvadných konzerv. (Předpokládejte, že konzervy jsou vydávány náhodně). Při statistickém zkoumání hodnot náhodných veličin (např. zpracování výsledků nějakého měření) hledáme výpovědi o náhodné veličině pomocí různých z ní odvozených čísel. Jako nejjednodušší příklad může sloužit střední hodnota1 E(X) náhodné veličiny X, která je definována Obecně střední hodnota náhodných veličin nemusí existovat, protože příslušné sumy či integrály nemusí konvergovat. 1Často se místo E(X) píše EX. ^2ixi • 6((*/) Pro diskrétní veličinu f^^x • fx{x) dx pro spojitou veličinu. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo o»ooooooooooooooooooooo ooooooooo Střední hodnota transformované náhodné veličiny Střední hodnotu můžeme přímo vyjádřit také pro funkce Y = ip(X) náhodné veličiny X. V diskrétním případě můžeme přímo spočíst E(Y) = Y,yjp(Y = yj) j = ^ v(*,-)P(x = */) = X>(*/)6f(x,-). / i Je tedy E(tp(X)) přímo spočítatelná pomocí pravděpodobnostní funkce fx- Podobně vyjadřujeme střední hodnotu funkce ze spojité náhodné veličiny: /oo V>(x)fx(x) dx, -oo pokud tento integrál absolutně konverguje. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oo»oooooooooooooooooooo ooooooooo Příklad Spočtěme střední hodnotu binomického rozdělení. Řešení Pro X ~ Bi(n, p) je E(X) = J> • ("V(1 - p)""* = = np(p + (1 - p))"-1 = np. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooo»ooooooooooooooooooo ooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Nechť a, b G M a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak 9 E (a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), » E(X + Y) = E{X) + E{Y), » jsou-li X a Y nezávislé, pak E(XY) = E (X) ■ E(Y). Důkazy těchto tvrzení jsou přímočaré, zkuste si je udělat! Analogická tvrzení platí i pro náhodné vektory. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oooo^oooooooooooooooooo ooooooooo Příklad Spočtěme ještě jednou střední hodnotu binomického rozdělení, tentokrát s využitím vlastností střední hodnoty. Řešení Vyjádříme počet zdarů v n pokusech jako počet zdarů v jednotlivých pokusech *=x> k=l přičemž náhodné veličiny mají všechny alternativní rozdělení A(p). Snadno spočítáme E( Y^) = 1 • p + 0 • (1 — p) = p. Dále víme, že střední hodnota součtu je součtem středních hodnot, proto n E(X) = Y,E(Yk) = np. k=l Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady OOOOOOOOOO OOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOO ooooooooo Kvantily Dalšími užitečnými charakteristikami jsou tzv. kvantily. Pro ryze monotónní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde prostě o inverzní funkci F^1 : (0,1) —> M. To znamená, že hodnota y = F-1 (a) je taková, že P[X < y) = a. Obecněji, je-li Fx(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci2 F'1(a) = inf{x G R; F (x) >a}, a G (0,1). Zřejmě jde o zobecnění předchozí definice. Nejčastěji jsou používané kvantily s a = 0.5, tzv. medián, s a = 0.25, tzv. první kvartil, a = 0.75, tzv. třetí kvartil, a podobně pro decily a percentily (kdy je a rovno násobkům desetin a setin). K těmto hodnotám se vrátíme v popisné statistice později. 2Uvědomte si, že jsme se již s kvantily setkali, jen jsme jím tak zatím neříkali. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oooooosoooooooooooooooo ooooooooo Rozptyl a směrodatná odchylka Tyto číselné charakteristiky rozdělení náhodné veličiny nepopisují nějakou střední či typickou hodnotu (jako střední hodnota či medián), ale míru „kolísání" náhodné veličiny kolem střední hodnoty. Rozptylem (variancí) náhodné veličiny X, která má konečnou střední hodnotu, nazýváme číslo D(X) = varX = E([X - E(X)]2), odmocnina z rozptylu \JD(x) se pak nazývá směrodatná odchylka. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady OOOOOOOOOO OOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOO ooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E(X)2, O D(a + bX) = b2D(X), 0 ^/D(a + bX) = \b\y/D{X). Důkaz. Důkaz je přímočarý. Poznamenejme, že tvrzení 1 se často používá k výpočtům D{X). □ Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oooooooo»oooooooooooooo ooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Věta Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí: O C(X,Y) = C(Y,X), e c{x,x) = d{x), O C(X, Y) = E{XY) - E{X)E{Y), O C(a + bX,c + dY) = bd ■ C(X, Y), O D(X +Y) = D(X) + D(Y) + 2C(X, Y), speciálně, jsou-li X, Y nezávislé, je D(X + Y) = D(X) + D(Y), tj. C(X, Y) = 0 a X, Y jsou nekorelované. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady OOOOOOOOOO OOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOO ooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: \ s/nm ,/ďíy)) ' Věta ^ 9 R{X,X) = 1, O R{a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), O jsou-li X, Y nezávislé, je R(X, Y) = 0, O (Cauchyova nerovnost) \R(X, Y)\ < 1. Transformace náhodných v sličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oooooooooo«oooooooooooo ooooooooo Příklad Spočtěme rozptyl binomického rozdělení. Řešení Stejně jako dříve lze psát X = Yll-i ^k, kde Y\,...,Yn jsou nezávislé náhodné veličiny vyjadřující úspěch v /c-tém pokusu. Snadno vypočteme E(Y%) = l2 • p + O2 • (1 — p) = p, proto D{Yk) = E(y2) - E{Yk)2 = p - p2 = p(l - p). Protože pro nezávislé Yk platí D(£ Yk) = E D{Yk), je D(X) = np(l - p). Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooo»ooooooooooo Limitní věty a odhady ooooooooo Příklad Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkcí p(x) = < ^ pro x = —: ^ pro x = 3 l pro x = 1 0 jinak. Určete E(X), E(2X + 5), E(X2), D(X) a D(2X + 1). Příklad Nekorelované náhodné veličiny X a Y mají rozptyly D(X) = a a D(y) = 2. Určete konstantu a, jestliže rozptyl náhodné veličiny Z = 3V-Xje D(Z) = 25. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oooooooooooo»oooooooooo ooooooooo Normovaná náhodná veličina a limitní věty Všimněme si, že výraz , " np vystupující v Moivre-Laplaceově y/np(l-p) větě je totéž, co x"~£í^f) a jde tedy o tzv. normovanou vD(x) náhodnou veličinu (tj. veličinu lineárně transformovanou tak, aby měla střední hodnotu 0 a rozptyl 1). Moivre-Laplaceova věta pak říká, že pro n —> oo se rozložení této náhodné veličiny blíží normovanému normálnímu rozdělení A/(0,1). Jde o speciální případ limitních vět, ukazujících, že za určitých podmínek platí „zákony velkých čísel", kdy se obdobným způsobem transformované náhodné veličiny chovají jako normální rozdělení. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooo»ooooooooo ooooooooo Iší momenty Někdy je užitečné studovat řadu dalších charakteristik rozdělení náhodných veličin. Za rozumných předpokladů jsou definovány k-té obecné momenty E(Xk) /4 a k-té centrální momenty pk = E{[X-E{X)]k). Pomocí momentů pak definujeme např. šikmost (asymetrii) náhodné veličiny X jako Aí3 nebo špičatost (exces) jako Transformace náhodných v sličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oooooooooooooo»oooooooo ooooooooo 30 20 10 0 4..........i Kladná šikmost distribuce (více vysokých kladných hodnot než odpovídá normálnímu rozdělení s nulovou šikmostí). Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooo»ooooooo ooooooooo Momentová vytvořující funkce Definice Reálnou funkci proměnné ŕ G M Mx(t) = E(e ) nazveme momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny X. Poznámka Je-li X např. spojitá, platí /oo etxf(x) dx = -oo r°° t2x2 = / (l + íx+_ + ...)f(x)dx = J — oo = 1 + t/ii + -^p + • • • a jde vlastně o exponenciální vytvořující funkci posloupnosti /c-tých obecných momentů p!k. Transformace náhodných v sličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oooooooooooooooo#oooooo ooooooooo ' Věta ^ Pro momentovou vytvořující funkci platí: * = ^Mx(ř) |t=o- • Platí-li Mx{t) = MY{t) pro všechna t G (- b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. Fx(x) = FY{x). • Ma+bX(t) = eatMx(bt). • Jsou-li X, Y nezávislé, je Mx+y(ř) = Mx{ >)MY{t). Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooo^ooooo Limitní věty a odhady ooooooooo Příklad Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení. Řešení M(t) = E(etx) = £ ^("V(1 - p)"^ = =z (*W)*(i - pr*= = (pet + (l-p)y = (p(et-l) + iy. Snáze jsme mohli funkci určit s využitím předchozích vět a momentové vytvořující funkce alternativního rozdělení, neboť pro Y ~ A(p) je E(etY) = eřl • p + eř0(l - p) = p(eř - 1) + 1. * Transformace náhodných v sličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oooooooooooooooooo»oooo ooooooooo Příklad Naposled spočtěme střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení, tentokrát s využitím vytvořující funkce. Řešení M(t) = (p(eř - 1) + 1)", proto je ftM(t) = n(p(eř - -i) + i)"-VP, což pro t = 0 dá E(X) = p,^ = np Podobně spočítáme i D(x) = p'2 — Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooooooo»ooo ooooooooo Momenty normálního rozdělení Přímý výpočet střední hodnoty a rozptylu normovaného normálního rozdělení není triviální. S využitím momentové vytvořující funkce je ale poměrně jednoduchý. Nechť Z~ N(0,1). Pak „ 1 Mz(t) —oo oo 27t exp exp dz = 2řz + t2 exp exp (z - tf dz dz exp Poslední integrál je roven 1 díky tomu, že na místě integrované funkce je funkce s vlastnostmi hustoty. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady OOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OO ooooooooo Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu M^(ř) = exp^-yj snadno spočítáme, že M^(t) = texp(|), 2 2 M^(ŕ) = ŕ2exp(^)+exp(^-). Dosazením ŕ = 0 pak dostaneme E(Z) = 0,D(Z) = 1. Pro transformovanou náhodnou veličinu Y = fi + aZ ~ a2) pak snadno odvodíme z vlastností střední hodnoty, resp. rozptylu, že E(Y) = /i, D(y) = a2 (což zpětně zdůvodňuje zápis A/(/x, a2)) Momentová vytvořující funkce má tvar My(ŕ) = expí/xŕ + a2y J. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo oooooooooooooooooooooso ooooooooo Příklad Určete rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin x~N{vx,a2x), Y ~ N(vy,v2y)- Řešení Z vlastností momentové vytvořující funkce dostáváme t2 t2 Mx+v{t) = exp(/iXř + ct2x—) exp(/xyr + o2Y—) = ř2 = exp((/iX + /iy)t + (cjx + Oy)y). Proto X + V ~ A/(/iX + Aty, 9a^ 0 platí DX P{\X-EX\>e)<—. Důkaz. Budeme odhadovat rozptyl DX ve spojitém případě (diskrétní analogicky): /OO f (X - EX)2f(x) dx> (X - EX)2f(x) dx > -oo J\x-EX\>e > / e2f{x) dx = e2P(|X - EX\ > e). J\x-EX\>e _□ Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooooooooooo oo»oooooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /c-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < p). ' Příklad * Nechť je E(X) = fi, D{X) = a2. 9 Odhadněte P(\X -y, > 3 3a), jestliže navíc víte, že X ~ N(0,1). Řešení O 1/9, @ 0,0027. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooo»ooooo Věta (Čebyševova - slabý zákon velkých čísel) Necht jsou Xi, X2,... po dvou nezávislé náhodné veličiny, které mají všechny stejnou střední hodnotu fi a rozptyl shora ohraničený stejnou hodnotou a2. Pak pro libovolné e > 0 platí lim P n—>oo 1 " n ±—' i=l < e Říkáme, že posloupnost aritmetických průměrů konverguje podle pravděpodobnosti ke střední hodnotě fi. Speciálním případem této věty je Bernoulliova věta, která říká, že je-li Yn ~ Bi(n, p), pak posloupnost relativních četností Yn/n konverguje podle pravděpodobnosti k p. Transformace náhodných v sličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooooooooooo oooo»oooo Věta (Bernoulliova) ^ Pro náhodnou veličim pro libovolné e > 0 pl / s binon 3tí Yn --P n niekým rozdělením Yn ~ Bi(n,p) a ) nez Důkaz. ^ Plyne snadno z Čebyševovy nerovnosti, neboť E(Yn/n) = np/n = p a D(Yn/n) = np(l - p)/n2 = p(l - p)/n. □ Transformace náhodných v sličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooo»ooo Příklad Při zkoušce bylo zjištěno, že mezi 600 kontrolovanými studenty je 5 studentů, kteří neumí ani malou násobilku. Odhadněte pravděpodobnost, že relativní četnost takových studentů se od jejich pravděpodobnosti výskytu liší o více než 0,01? (Můžete předpokládat, že pravděpodobnost výskytu studenta bez znalosti násobilky je menší než 0,02). Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooooooooooo oooooo»oo Centrální limitní věta Centrální limitní věta dá odpověď na otázku, proč je normální rozdělení nejdůležitějším rozdělením. Ukazuje totiž, že rozdělení součtu dostatečně velkého počtu nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin lze aproximovat normálním rozdělením. Necht je Y\, Y2,... posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin se střední hodnotou fi a rozptylem a2. Pak pro normované náhodné veličiny platí lim P(S„ < x) = í>(x), kde je distribuční funkce rozdělení N'(0,1). Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Limitní věty a odhady ooooooo»o Příklad Mezi učiteli matematiky v ČR je jich 10% s příjmem přesahujícím celostátní průměr. Kolik matematiků je třeba pozvat na konferenci, aby s pravděpodobností aspoň 0,95 mezi nimi bylo 8 až 12 procent s nadprůměrným příjmem? Řešení y„ ~ Bi(n; 0,1), E(Yn) = 0,1 • n, D(Yn) = 0,1 • 0,9 • n. Pak 0,95 < P(0,08n < Yn < 0,12n) = D ( 0,08 - 0,1 Yn - 0,1/j ^ 0,12 - 0,1 \ = P — n < —, < — n = V 15 ~ VÔTÔ9ň ~ 15 J V 15 / V 15 )' Je tedy <í> (^pj > 0,975, což je ekvivalentní y/ň/15 > 1,96, tj. n > 865. Transformace náhodných v sličin Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady oooooooooo ooooooooooooooooooooooo oooooooo* Řešení (Pomocí Bernoulliovy nerovnosti) Nyní využijme Bernoulliovu nerovnost - ta dává P Y -^-0,1 n < „.02) > 1 -~ ~ n-0,022' což má být alespoň 0,95. Odtud 0,09 n > 0,05 • 0,022 4500. Vidíme, že odhad prostřednictvím Bernoulliovy nerovnosti je podstatně slabší než odhad s využitím centrální limitní věty (resp. de Moivre-Laplaceovy věty).