Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooooo ooooooooooooo Matematika III - 3. přednáška Funkce více proměnných: diferenciál, derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 10. 2013 Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta O oooooooooooooo ooooooooooooo Obsah přednášky Q Literatura Q Parciální a směrové derivace • Směrové derivace - připomenutí q Diferenciál funkcí více proměnných • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta O oooooooooooooo ooooooooooooo DoDoručené zdroje • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Literati Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooooo ooooooooooooo Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem mimo počátek a ^(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci „po různých parabolách" dostáváme různé limity). Příklad Určete směrovou derivaci funkce f(x, y) = arctg(x2 + y2) v bodě [— 1,1] ve směru vektoru (1, 2). V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující Formálně říkáme, že funkce f : M —> M je diferencovatelná v xo, pokud existuje A £ M. tak, že dy = f'(xo) ■ dx. lim f{x0 + h) f{x0) - Ah = 0. h (Přitom z definice derivace snadno plyne, že pak A = f'(xo).) Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta o»oooooooooooo ooooooooooooo Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> ffi i je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,... , an) £ W takový, že pro všechny „směry" i/ě!" platí lim li^ji (f(x + v) - f(x) -a-v) =0. Lineární funkci df definovanou předpisem v ^ a • v (závislou na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f. Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta o oo»ooooooooooo ooooooooooooo Diferenciál - shrnutí Funkce f : En —> M je tedy diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,..., an) g W takový, že pro všechny „směry" i/é!" platí O v bodě x existují všechny směrové derivace dvf(x), v g M", Q v i-> dvf(x) je lineární v závislosti na přírůstku v O 0 = \\mv^0^(f{x+v)-f{x)-dvf{x)), tj. 0 = linrwo l^i\{f{x + v)~ f{x) -a-v). Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta O OOO0OOOOOOOOOO ooooooooooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již konečně dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : M" —> M diferencovatelná v bodě xěI", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f{x + v) — f{x) = a ■ v + t(v), kde lirrv_>o = 0. Proto: lim (f(x + v) - f(x)) = lim (a • v + t (v)) = 0, a tedy lim f{x + v) = f(x). v—>0 □ Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooo«ooooooooo ooooooooooooo Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x, y) = x2 +y2 v obecném bodě [x*,y*]. Řešení Kvůli přehlednosti označme h := dx, k := dy . Pak f(x* +dx,y* +dy) - f{x*,y*) = = (x* + hf + (y* + kf - (x*)2 - (y*)2 = = 2x*h + 2y*h +h2 + k2. Odtud df(x*,y*)(h, k) = 2x* ■ h + 2y* • k a r(h,k) = h2 + k2. Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta 00000*00000000 ooooooooooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné je přitom dvf(x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Důkaz: dvf(x) = lim -t (f(x + tv) - f(x)) = lim ^ {df(x)(tv) + r(tv)) = = df(x)(v) + IMI lim 1^ = df(x)(v) = a-v. v t^o \\tv\\ Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací f'(x) je přímo roven vektoru a. Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooo»ooooooo ooooooooooooo Uvažujme f : E2 —> M se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> M Jf df J df J df = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta ooooooo»oooooo ooooooooooooo Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně Jf df J df J df J df = — dx-y + — dx2 H-----h -z—dxn OXi OX2 oxn (*) a platí: Necht f : En —^ M je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x g En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál d f v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*). Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta o oooooooo»ooooo ooooooooooooo Příklady k procvičení Příklad Určete diferenciál v daném bodě: a) f(x,y)=xy + f v bodě [1,1], b) fix,y) = arcsin Jí—v bodě [1, VŠI- Vx2+y2 Příklad Spočtěme znovu jednodušeji dřívější příklad a určeme směrovou derivaci funkce f(x,y) = arctg(x2 +y2) v bodě [—1,1] ve směru vektoru (1,2) pomocí diferenciálu. Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta o ooooooooo»oooo ooooooooooooo Přibližné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e0'1 Řešení Využijeme diferenciál funkce f(x,y) = ex3+y v bodě x = [0,0] s diferencemi v = (0,05; -0,02). Máme df (x, y) = ex3+y -3x2 dx + ex3+y dy, a tedy df(0, 0) = 0 dx + 1 dy, což celkem dává odhad e0,053-0,02 _ f(0,05; -0,02) « f(0, 0) + df(0,05; -0,02) = 1 - 0,02 = 0,98. Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta o oooooooooo»ooo ooooooooooooo Příklady k procvičení Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte: \ ■ 0,48 a) arcsmj^, b) 1,042<02. Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta o ooooooooooo»oo ooooooooooooo Tečná nad rovina ke grafu funkce Pro f : E2 —> M a pevný bod [xo,yo] £ £2 uvažme rovinu v E3: df df z = f{xo,y0) + ^(x0,y0)(x -x0) + ^;(xo, yo)(y - yo)- Je to jediná rovina procházející bodem (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ŕ) = (x(ŕ), y(ŕ), f(x(r), y(ř))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t,t,f(t, t)). Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo»o ooooooooooooo Obecně pro f : En —> M je tečnou rovinou afinní nadrovina v E„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) Q její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> M, tj. diferenciálu v bodě x £ En. Parciální a směrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta O 0000000000000» ooooooooooooo Příklady k procvičení ' Příklad ^ Určete rovnici tečné nadroviny ke grafu funkce v daném bodě: a) f(x y) =x2+xy+ 2y2, [x0, y0, z0] = [1,1 4], b) f(x y) = arctg^, [x0,y0, z0] = [1,-1, ?]. Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta OOOOOOOOOOOOOO »000000000000 Pro pevný přírůstek v g W je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —> M f^dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —> M.. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Pro parciální derivace druhého řádu píšeme dx; dxj dxjdx; dxjdx; v případě opakované volby / = j píšeme také Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooooo o»ooooooooooo Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích /c-tého řádu dkf dxh ... dxik' Věta Necht f : En —» M je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xéI". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Speciálně tedy pro n = 2 platí (při alternativním způsobu zápisu parciálních derivací): fxy{xO,Yo) = fyx{xO,Yo)- Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooooo oo»oooooooooo Tavlorův polynom funkce jedné proměnné - opakování Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Definice Nechť xo £ T>(f) je bod, ve kterém existují vlastní derivace f'(xo), f"(xo), ..., /^(xo) funkce f(x) až do řádu n. Taylorův polynom stupně n funkce f(x) se středem v bodě xq je polynom T(x)=Tn(x)=Tfn(x)=Tfn(x;xQ) definovaný jako T(x) := f (xo)+f'(x0) (x-xo)+-^^ (x-x0)2+- • (x-xc )". Literati Parciální a směrové derivace 0 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooooo ooo»ooooooooo Věta Necht f (x) má spojité derivace f'(x), f"(x), ..., f^n\x) na uzavřeném intervalu [a,b] a necht existuje vlastní derivace f("+1)(x) na otevřeném intervalu (a, b). Potom pro každý bod x g (a, b) existuje bod c g (a, x) tak, že platí rovnost f{x) = Tn{x) + Rn(x), kde Rn(x) = (x - a)n+1., kde Tn(x) je Taylorův polynom stupně n funkce f[x) se středem v bodě a. Parciální a směrové derivace 0 Diferencia oooooooooooooo Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooo»oooooooo Definice Je-li f : En —> M libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici dxidx„ C*) dx„dx„ (x)/ Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"(x). Poznámka Analogicky jako v případě parciálních derivací lze definovat i směrové derivace vyšších řádů v bodě x g En. Pak platí (za předpokladu spojitosti jedné ze stran v x) fuv{x) = fvu{x) = uTHf(x)v = {Hf(x)u) ■ v. Hf(x) í d2f \ dxjdxj \(9x„(9xi Literat jra Parciální a sr něrové derivace Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta 0 oooooooooooooo ooooo»ooooooo Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x) cos(y). Obecně pro funkce f : En —> M, body x = [xi,... ,x„] g En a přírůstky v = (£1,..., £„) klademe dkf(x)(v)= Y. ň;.—arte.---.*..) Kil,..,H