Literatura Taylori! iv polynom Extrémy Implicitně defino^ /aná zobrazení ooo ooooooooooooooo oooooooo Matematika III - 4. přednáška Funkce více proměnných: Taylorův polynom, extrémy funkcí Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 9. 10. 2013 Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooooooo oooooooo Q| Taylorův polynom Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy q Implicitně definovaná zobrazení Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooooooo oooooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Silvie Kuráňová, Jan Vondra, Diferenciální počet funkcí více proměnných - interaktivní sbírka příkladů a testových otázek, PřF MU, 2009, http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/ prif/ps09/sbirka/web/index.html • Předmětové záložky v IS MU Taylorův polynom Extrémy Implicitně definovaná zobrazení •oo ooooooooooooooo oooooooo Taylorův polynom - připomenutí Definice Taylorovým polynomem funkce f stupně m (se středem) v bodě x* nazýváme polynom (více proměnných), který má s funkcí f stejnou funkční hodnotu v daném bodě x* a stejnou hodnotu všech parciálních derivací až do řádu m včetně. Věta (Taylořova) Nechi má funkce f : En —» M. v bodě x* a vhodném okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro v = x — x* £ W platí: f{x) = f{x* + v) = Tm{x) + Rm{x), kde 7m(x) = f(x*)+df(x*)(1/) + Ííd2f(x*)(1/) + ... + ÍIdmf(x*)(1/), Rm(x) = | dm+1f(x*+6v)(v), pro vhodné 6 e (0,1). Literatura Taylorův polynom 0*0 Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooooooo oooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných (x* = [xo,yo]): Tečná rovina: f(xQ, yo) + df(x0, yo)(x - x0, y - yo) Aproximace pomocí Hessiánu (d2f = Hf): f{xo,yo) + df{x0,y0)(x-x0,y-y0) + ±d2f(x0,y0)f(x-x0,y-y0). Výraz třetího řádu: a obecně dV(x,y)(t,)^EQ^rv. Literatura Taylori. v polynom Extrémy Implicitně defino /a n á zobra oo» ooooooooooooooo oooooooo Příklad a) Napište Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : M2 —> M, f (x, y) = ln(x2 + y2 + 1) v bodě [1,1] a približne vypočtěte hodnotu f{1,1; 1,2). b) Napište Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f (x, y) = sinxtgy v bodě [30°, 45°] a přibližně vypočtěte hodnotu sin 29° tg46°. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení •oooooooooooooo oooooooo Definice Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x £ t/ platí f(x) < f(x*) (resp. f{x) > f{x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x 7^ x*, hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* 6 En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df(x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. Nutnou podmínkou pro existenci maxima nebo minima v bodě x* (v případě diferencovatelnosti funkce f v x*) je vymizení diferenciálu v tomto bodě, tj. df(x*) = 0. Skutečně, pokud je df(x*) ý 0. Pak existuje směr v, ve kterém je dvf(x*) 7^ 0. Pak ovšem nutně podél přímky x* + tv na jednu stranu od bodu x* hodnota funkce roste a na druhou klesá. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení o«ooooooooooooo oooooooo Příklad Funkce f : E2 f {x, y) definovaná předpisem fx2+y2, pro [x,y] ^ [0,0], ll pro [x, y] = [0,0] má v počátku ostré lokální maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Příklad Funkce f(x,y) = \Jx1 + y2 je v počátku spojitá a má zde ostré lokální minimum, přestože v tomto bodě není diferencovatelná (grafem funkce je kuželová plocha - viz první přednáška). Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení oo»oooooooooooo oooooooo Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = |£c/x + §^dy = (y - yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. „sedlo"). Poznat, jakého typu je daný stacionární bod, nám stejně jako v případě funkcí jedné proměnné umožní (díky Taylorově větě) derivace vyšších řádů. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooo«ooooooooooo oooooooo Mějme funkci f : M —> M a její stacionární bod xo (tj. f'(xo) = 0). Je-li f"(xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= Tí{x) + Rí{x) = = f{xo) + r'(xo)(x - x0) + \f"{0{x - x0)2 = = f{xo) + \f"{í){x-xo)\ kde ^ leží mezi x a xo. Ze spojitosti f" a vlastnosti f"(xo) < 0 pak pro ^ dostatečně blízko xo dostáváme f"(£) < 0 a tedy Ri(x) < 0 dostatečně blízko xo . Proto zde f(x) < f(xo) a xo je lokálním maximem. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení oooo»oooooooooo oooooooo Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= Tí{x) + Rí{x) = = f{x*) + df(x*)(x - x*) + \ d2f(0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde £ = x* + 6v (pro 6 G (0,1)) leží „mezi" x a x*. Zbývá do více proměnných přeložit podmínku, která říká, že výraz d2f (£)(x - x*) = (x - x*)THf(0(x - x*) je nekladný (resp. nezáporný) pro libovolné x. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooo»ooooooooo oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : V —> M je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u / 0 • pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u / 0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u G V • indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v G V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). S těmito pojmy jste se setkali již v části věnované lineárním modelům a měli byste tedy umět rozeznat definitnost kvadratické formy (resp. její matice v dané bázi). Taylorův polynom Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooo oooooo»oooooooo oooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, • hlavní minory A střídají znaménko, počínaje záporným. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooo»ooooooo oooooooo Věta Necht f : En —» M je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* G En nechť je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), O je-li Hf(x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, Všimněme si, že věta nedává žádný výsledek, pokud je hessián funkce ve zkoumaném bodě degenerovaný (nulový). Důvod je opět stejný jako u funkcí jedné proměnné. V takových případech totiž existují směry, ve kterých první i druhá derivace zmizí a my proto v tomto řádu přiblížení neumíme poznat, zda se funkce bude chovat jako ř3 nebo jako ±ř4 dokud nespočteme alespoň v potřebných směrech derivace vyšší. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení oooooooo»oooooo oooooooo Příklad Uvažme funkci f(x,y) = sin(x) cos(y), která připomíná známá kartónová plata na vajíčka a spočtěme její lokální extrémy. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooo#ooooo oooooooo Příklad (pokr.) Spočtěme si nejprve první parciální derivace: fx{x,y) = cos(x)cos(y), fy{x,y) = - sin(x) sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = 0, sin(y) = 0, tj. [x,y] = [2k^lrK,£ir], pro libovolné 0 cos(y) = 0, sin(x) = 0, tj. [x,y] = [kir, ^-^vr], pro libovolné Mez. Druhé parciální derivace jsou Hf(x,y) fxy fyy (*>y) sin(x)cos(y) — cos(x) sin(y)N cos(x)sin(y) — sin(x) cos(y)y Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení oooooooooo^oooo oooooooo Příklad (pokr.) V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: O Hf(kir + ^,£tv) = ± přičemž znaménko + nastává, když k a í jsou různé parity a naopak pro —, O Hf(kTv, £tv + |) = ± ^ ^ , přičemž znaménko + nastává, když /c a ^ jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami kal. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. Naopak, hessián u druhé skupiny bodů se vyčíslí kladně na některých přírůstcích a záporně na jiných. Stejně se proto bude chovat i celá funkce f v okolí těchto stacionárních bodů. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo»ooo oooooooo Příklad (Poznámky) • matice je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) • nalezené lokální extrémy šlo jistě najít snadněji úvahou o nabývání hodnot ±1 funkcí f(x,y) = sin(x) cos(y), neměli bychom ale jistotu, že jde o všechny extrémy. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení oooooooooooo^oo oooooooo Příklad Určete stacionární body funkce f : M2 —> M, f(x,y) = x2y + y2x — xy a rozhodněte, které z těchto bodů jsou lokálními extrémy a jakého druhu. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooooo»o oooooooo Definice Nechť f : En —> M a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x G M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Věta Necht M C En je kompaktní množina, f : M —> M spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Hledání absolutních extrémů funkce na množině tak máme převedeno na nalezení lokálních extrémů (což umíme) a vyšetření hraničních bodů. To je ale často komplikovanější záležitost, které se budeme více věnovat později v části o vázaných extrémech. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení oooooooooooooo* oooooooo Příklad Nalezněte extrémy funkce f(x,y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Řešení Jediným stacionárním bodem je [1,1], kde nastává absolutní maximum f(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 nastává v hraničních bodech [4,0] a [0,4]. Taylorův polynom Extrémy Implicitně definovaná zobrazení OOO OOOOOOOOOOOOOOO »0000000 Věta o implicitní funkci - neformální připomenutí Pokud máme zadánu funkci f(x) vzorcem y = f(x), hovoříme 0 jejím explicitním zadání. Obecnějším zadáním funkce je rovnice F(x,y) = O, kde závislá proměnná y představuje „neznámou" funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pak hovoříme o funkci zadané implicitně. Avšak 1 v tomto obecnějším případě budeme schopni vypočítat y'(x) (aniž bychom nutně znali explicitní vzorec pro y(x)), a to pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. Příklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce proměnné x: yi = V*, Y2 = -v* Při derivování implicitně zadaných funkcí obsahuje výsledná derivace y' jak proměnnou x tak proměnnou y (na rozdíl od běžného derivování funkce, kdy je ve výsledku pouze proměnná x). Taylorův polynom Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooo ooooooooooooooo o»oooooo Věta o implicitní funkci Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x,y) : E2 —> M hledejme body [x,y], ve kterých platí F(x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x - s)2 + (y - ŕ)2 - r2 = 0, r > 0. V prvním případě je (při b 7^ 0) předpisem zadaná funkce y = f (x) = - pro všechna x. Ve druhém případě umíme pouze pro [a, fa] splňující rovnici kružnice a b ^ t najít okolí bodu a, na kterém nastane jedna z možností: y = f (x) = t + y/(x — s)2 — r, y = f (x) = ŕ - ^/(x - s)2 - r. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooooooo oo^ooooo Body [s ± r, t] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r,t) = 0, což znamená, že tečna ke kružnici v těchto bodech je rovnoběžná s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f (x). Navíc umíme spočítat i derivace: = 1 2(x~s) = x~s = _[x { ' 2 ^/(x - s)2 - r2 y-t Fy Naopak, pokud budeme chtít najít závislost x = f (y) takovou, aby F(f(y),y) = 0, pak v okolí bodů (s ± r, ŕ) bez problémů uspějeme. Všimněme si, že v těchto bodech je parciální derivace Fx nenulová. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooooooo ooo»oooo Shrňme pozorování (pro pouhé dva příklady): Pro funkci F(x,y) a bod [a, b] G E2 takový, že F(a, b) = 0, umíme najít funkci y = f(x) splňující F(x, f(x)) = 0, pokud je Fy(a, b) ^ 0. V takovém případě umíme i vypočíst f'(x) = —Fx/Fy. Z následující věty plyne, že takto to platí vždy, navíc rozšířené i na libovolné počty proměnných. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení OOOOOOOOOOOOOOO 0000*000 Věta (O implicitní funkci) Necht F : En+\ —> M je spojitě diferencovatelná funkce na otevřeném okolí bodu [x*,y*] é f„ x K, ve kterém je F{x*,y*) = 0 a §^(x*,y*) ^ 0. Potom existuje spojitá funkce f : En —> M definovaná na nějakém okolí U bodu x* g En taková, že F(x, f(x)) = O pro všechny x g U. Navíc má funkce f v okolí bodu x* parciální derivace splňující df_, , JgfrfM) dxi f(x,f(x))' '-" Pomůcka Poslední tvrzení o derivaci přitom je dobře zapamatovalné (i pochopitelné) z výrazu pro diferenciál: 0 = dF = Fx dx + Fy dy = (Fx + Fyf\x)) dx. Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooooooo ooooo»oo Příklad Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y), která je určena implicitně rovnicí F(x,y, z) = x2 + y2 + z2 — xz — \f2yz — 1 = 0. Řešení Derivováním rovnosti podle x a y dostáváme: 2x + 2z • zx — z — x • zx - V2yzx = 0 2y + 2z • zy — x • zy - - VŽz - Vlyzy - = 0, odkud vyjádříme z - 2x V2z - 2y 2z — x — \/2y' 2z — x — V2y' Literatura Taylorův polynom ooo Extrémy Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooooooo oooooo«o Řešení (pokr.) Stacionární body musí splňovat: zx = 0, zy = 0, tj. z = 2x = V2y, a tedy y = \[2x. Dosazením do původní rovnice dostáváme stacionární body [1, V2, 2] a [—1, — V2, —2]. V těchto bodech je Fz/0 (je to zároveň jmenovatel všech zde vystupujících zlomků), proto je v jejich okolí implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Dalším derivováním implicitní rovnice vypočteme parciální derivace f 2. řádu: 2 2 zxx — ~ 0 /ô ' z*y ~ °' zw — ~ o /ô ' 2z — x — V2y 2z — x — V2y Ve stacionárních bodech je Hf negativně, resp. pozitivně definitní, proto zde nastávají lokální maximum, resp. minimum funkce f. Body, v nichž nen/danou rovnicí implicitně určena funkce z = f(x, y) jsou body roviny 2z — x — \f2y = 0 (tedy body, v nichž během výpočtu dostaneme nulový jmenovatel některé z derivací). Taylorův polynom Extrémy Implicitně definovaná zobrazení OOO OOOOOOOOOOOOOOO 0000000» Příklady k procvičení Příklad Ukažte, že funkce F(x,y) = exsin(y) + eysin(x) definuje předpisem F(x,y) = 1 pro [x,y] G (O, |) x (O, ^) implicitně proměnnou y jako funkci f(x) proměnné x. Určete f'(x). Příklad Rozhodněte, zda křivka tvořená body vyhovyjícími vztahu x3 + y3 — 2xy = O leží v okolí bodu [1,1] nad (nebo pod) svojí tečnou.