Matematika III - 7. přednáška Integrální počet funkcí dvou proměnných letody DOOOOOC Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 30. 10. 2013 Q Integrální počet více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Q Numerické metody • Interpolace vs. aproximace • Numerická kvadratura (integrování) Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). Předmětové záložky v IS MU Potřebu zavedení integrálu více proměnných motivujeme výpočtem objemu prostoru pod grafem funkce z = f(x, y) dvou proměnných. Pracujeme s děleními na vícerozměrné intervaly v obou proměnných a s hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Říkáme, že (dvojný) integrál existuje, jestliže pro každou volbu posloupnosti dělení E (nyní v obou proměnných zároveň) a reprezentantů jednotlivých obdélníčků 6j e x [y/,y/+i] c m2, s maximální velikostí mezi všemi použitými intervaly jdoucí k nule, budou integrální součty S= € = ffejX^+i - Xi)(yj+i - yj)-ij konvergovat k jedné hodnotě, kterou zapisujeme fs f(x, y) áx áy. Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y G [ip(x),tp(x)], poté rozsah další souřadnice z G [i](x, y), ((x, y)] atd. (Zejména tedy i případy, kdy jsou funkce ip,ip,r],( konstantní.) Věta (Fubiniova) V případě množiny S zadané jako výše a Riemannovsky integrovatelné funkce f na S je Riemannův integrál vyčíslen formulí J f(x,y,...,z)dx...dz l-ri(x,y,...) f(x,y,... ,z)dz .. .dy dx Integrální počet více proměnných 00*0000000000000000000 Přímým důsledkem pro konstatní funkce je: Věta Pro vícerozměrný interval S = [ai, b\\ x [32, 62] x ... x [a„, £>n] a spojitou funkci f(xi,..., x„) na S je násobný integrál f(xi, ...,xn) dxi... dx„ = nezávislý na pořadí, ve kterém postupně integraci provádíme. Literatura Integrální počet více proměnných 000*000000000000000000 Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál l=í 3(x-l)2 + (y-2)2 + 2 dxdy. J[0,l]x[0,3] Řešení S využitím předchozí věty dostáváme ' = Iq {Iq 3^ ~ + ^ ~ 2^ + 2 ^ = = /'3[(x-l)3+x(y-2)2 + 2x]^0 dy J o = / (y - 2)2 + 3 dy = [\{y - 2)3 + 3y]3 = 12 Jo Stejný výsledek dostaneme i při integraci v opačném pořadí. Literatura Integrální počet více proměnných oooo^ooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál xy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E2 ohraničená grafy funkcí y = x a 2 y = x . Snadno je vidět, že grafy se protínají v bodech [0, 0] a [1,1], přičemž pro x £ [0,1] je x2 < x. Proto je / X 1 40' Príklad Preveďte dvojný integrál ffA f(x, y) dA na dvojnásobný (obě možnosti pořadí integrace) pro množinu A ohraničenou přímkami y = x, y = x — 3, y = 2, y = 4. Overte (přímo nebo s využitím SW např. MAW) rovnost výsledku pro konkrétní funkci f (x, y) = y. Literatura Integrální počet více proměnných oooooosooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Záměna souřadnic pri integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: Integrovaný výraz f(x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f(x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(t), vyjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako dx = —dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako f{u{t))ftdt, přičemž bud' předpokládáme, že znaménko derivace u'(t) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví. Literatura Integrální počet více proměnných ooooooo»oooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů (http://en.wikipedia.org/wiki/Integrat ion_by_ substitution#Substitution_for_multiple_variables). Věta Nechť G(ri,..., tn) : En ->• En, [xi,... ,xn] = G(ri,..., tn), je spojitě diferencovatelné zobrazení, T a S = G(T) jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S —> M spojitá funkce. Potom platí f(x1,... ,x„) dxi.. .x„ = J f (G(ti,..., t„))| detíD^íti,..., řn))|t/ři... |x|}. ' Príklad ^ Spočtěte integrál J dy dx. -\/x-x2 Príklad Pomoci vhodné transformace souřadnic vypočtěte integrál JJA^/xyáxáy, kde množina /4je ohraničena křivkami y2 = 2x, y2 = x, xy = 1, xy = 2. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooo»ooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Časté transformace souřadnic v E$ Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tp, z]; r > 0, ip G [0, 2ir), z G M} —> E3 je dáno předpisem x = rcostp, y = rsmtp, z = z, Literatura Integrální počet více proměnných ooooooooooooo»oooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, p, z]; r > 0, p G [0, 2ir), z G M} —> E3 je dáno předpisem x = rcosp, y = r s\n p, z = z, y x r = ^/x2 +y2,tg]; r > 0, 6 e [0,vr],• E3 je dáno předpisem x = r sin cos tp, y = r sin #sin 0, 9 G [0,tt], G [0,2tt)} -> E3 je dáno předpisem x = r sin ^ cos cos2 (*/)-y/)2 byla minimální. S využitím diferenciálního počtu lze snadno odvodit následující tvrzení. Mezi přímkami tvaru f(x) = a ■ x + b má nejmenší součet čtverců vzdáleností funkčních hodnot v bodech x\,..., x„ od hodnot y funkce splňující a ^ x; + b ■ n = y Integrální počet více proměnných Numerické metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOO0OOOOOOOOC Metoda nejmenších čtverců Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1.5 1.6 2.1 3.0 Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: X y xy x2 1 1.5 1.5 1 2 1.6 3.2 4 3 2.1 6.3 9 4 3 12 16 10 8.2 23 30 Odtud a = 0,5, b = 0,8. Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooooooo oooooo»oooooooc Numerická integrace (kvadratura) Numerická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) • integrovaná funkce je známá, ale její primitivní funkci (antiderivaci) je obtížné (či dokonce nemožné) vyjádřit j a kožto elemen tární funkci. Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem „pod plochou" apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy. Newton-Cotesovy vzorce Interval [a, b] , nad kterým integrujeme, rozdělíme na n stejných částí (délky h) tak, že v krajních bodech těchto částí známe hodnotu integrované funkce. Podle toho, jestli uvažujeme i hodnoty v krajních bodech a a b intervalu, rozlišujeme Newton-Cotesovy formule na uzavřené a otevřené. Pak Wj jsou váhy (uzavřený tvar). Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody oooooooo«oooooc Váhy snadno odvodíme např. pomocí Lagrangeovy interpolace. ľb ľb j f (x) dx « / L(x) dx = Ja Ja ľb n n ľb J 3 ■ n -n J 3 /=0 /=0 Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooo»ooooc Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody oooooooooo«oooc lichoběžníkové pravidlo (uzavřená Newton-Cotesová formule) -interpolace lineární funkcí Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooo»ooc Simpsonovo pravidlo (uzavřená Newton-Cotesova formule) interpolace kvadratickou funkcí Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody oooooooooooo»oc ' Příklad Pomocí lichoběžníkového, res l = ) 3. Simpsonova pravidla vypočtěte r-w/2 sinx dx. 0 Řešení • lichoběžníkové pravidlo: / ? • Simpsonovo pravidlo: / ~ : • \ « 0.785 « 1.003. Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Podíl objemu tělesa a krychle je pak aproximován relativní četností jevu, že náhodný bod leží uvnitř tělesa. Integrál fbf(x) dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných bodů x; z intervalu [a, b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak ľb h-z n