Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo Matematika III - 8. přednáška Diferenciální rovnice Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 11. 2013 Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo Ql Diferenciální rovnice • Jednoduché metody řešení ODE Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zdeněk Pospíšil, Spojité deterministické modely I, e-text k přednášce na PřF MU. • David Joyner, Introductory differential equations using SAGE, e-text. • Předmětové záložky v IS MU Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo Pojem derivace jsme zavedli, abychom mohli pracovat s okamžitými změnami studovaných veličin. Ze stejných důvodů jsme kdysi zaváděli diference a právě vztahy mezi hodnotami veličin a změnami těch samých nebo jiných veličin vedly k tzv. diferenčním rovnicím. Jako motivační úvod k rovnicím obsahujícím derivace neznámých funkcí se k diferenčním rovnicím na chvilku vraťme. Nejjednodušším modelem bylo úročení vkladů nebo půjček (a totéž pro tzv. Malthusiánský model populace), kdy byl přírůstek úměrný hodnotě V rámci spojitého modelování stejný požadavek povede na rovnici vztahující derivaci funkce y'(t) s její hodnotou (tradičně se u takových rovnic explicitně nevypisuje argument neznámé funkce, který je bud' znám z kontextu nebo na jeho označení nezáleží): y' = r -y s konstantou úměrnosti r. Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo ý = r -y Je snadné uhodnout řešení této rovnosti, tj. funkci y(ř), po jejímž dosazení bude rovnost identicky splněna, y(ř) = Cert s libovolnou konstantou C. Tuto konstantu určíme jednoznačně volbou tzv. počáteční hodnoty yo = y(ŕo) v nějakém bodě řo-Pokud by část růstu v našem modelu byla dána konstantním působením nezávislém na hodnotě y nebo t (jako jsou např. paušální poplatky za vedení účtu nebo přirozený úbytek populace třeba v důsledku porážek na jatkách), mohli bychom použít rovnici s konstantou s na pravé straně y' = r ■ y + s. Literatura Diferenciální rovnice OOOOOOOOOOOO y' = r ■ y + s Zjevně bude řešením této rovnice funkce y(t) = Cert-5-. K tomuto závěru je velice lehké dojít, pokud si uvědomíme, že množinou všech řešení první (homogenní) rovnice je jednorozměrný vektorový prostor, zatímco řešení rovnice se obdrží přičtením kteréhokoliv jednoho jejího řešení ke všem řešením předchozí rovnice. Lze pak snadno najít rovněž konstantní řešení y(ŕ) = k pro k = — -r Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo Obecně rozumíme (obyčejnou) diferenciální rovnicí prvního řádu vztah mezi derivací funkce y'(t) v proměnné t, její hodnotou y(ř) a samotnou proměnnou, který lze zapsat s pomocí nějaké reálné funkce F : M3 —> M jako rovnost F(y',y,t) = 0. Zápis připomíná implicitně zadané funkce y(ř), nicméně navíc je tu závislost na derivaci hledané funkce y(t). Pokud je rovnice alespoň explicitně vyřešena vzhledem k derivaci, tj- y' = f(t,y) pro nějakou funkci f : M2 —> M, můžeme si dobře graficky představit, co taková rovnice zadává. Pro každou hodnotu (t,y) v rovině si totiž můžeme představit šipku udávající vektor (1, f(t,y)), tj. rychlost se kterou se nám bod grafu řešení bude pohybovat rovinou v závislosti na volném parametru t. Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo Např. pro rovnici P' = p(- r ) (popisující logistický model populačního růstu založený na předpokladu, že poměr změny velikosti populace p(n + 1) — p(n) a její velikosti p(n) je v afinní závislosti na samotné velikosti populace) dostaneme takovýto obrázek (i s vyneseným řešením pro počáteční hodnotu p(0) = 1) 100 ,;/////////// v////// 1—r 50 100 150 200 Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo Diferenciální rovnice se objevují v mnoha oblastech, namátkou: newtonská mechanika, předpověď počasí, elektrické obvody, zahřívání homogenního vodiče, oceňování derivátů (Black-Scholes) a mnoho jiných. oblast popis DE počasí Navier-Stokesova rovnice nelineární PDE vyššího řádu padající předmět lineární ODE 1. řádu pohyb tělesa na pružině Hookeva rovnice (lineární 2. řádu) pohyb kytarové struny vlnová rovnice lineární PDE 2. řádu Battle of Trafalgar Lanchesterovy rovnice systém dvou rovnic 1. řádu ochlazování šálku čaje lineární ODE 1. řádu růst populace logistická rovnice nelineární, separabilní ODE 1. řádu Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo Změna rychlosti předmětu padajícího v konstantním gravitačním poli v prostředí s jistým odporem je dána vztahem: dv , — = v = g-kv, dt kde k je konstanta udávající odpor prostředí. Prostřednictvím řešení této diferenciální rovnice můžeme určit (po zadání počáteční podmínky) okamžitou rychlost předmětu. Literatura Diferenciální rovnice oooooooooooo Příklad Parašutista má i s padákem hmotnost 100 kg. Padák je otevřen 30s po výskoku z výšky 2000 m. Konstanta popisující odpor prostředí je rovna _ í 0,15, při neotevřeném padáku, 1, při otevřeném padáku. Určete: a) funkci vzdálenosti a rychlosti (při neotevřeném, resp. otevřeném padáku); b) trvání seskoku; c) rychlost přistání. Taking m = 100, g = 9.8, k = 15 and v(0) = 0, we find , , 196 196 _s_t n(t) = —-—e"» ■ After t = 30 seconds, this reaches the velocity vQ = ^ - ^e-9/2 = 64.607.. The distance fallen is Xl(t) = f = /'<'>*• Postup spolehlivě najde řešení splňující g(y(t)) ^ 0. Pak totiž spočtením funkce y(x) z implicitně zadaného vztahu F(t) + C = G(y) s libovolnou konstantou C vede k řešení, protože derivováním této rovnosti s použitím pravidla pro derivování složené funkce G(y(t)) dostaneme skutečně -p-r ■ y'(t) = f(t). Literatura Diferenciální rovnice o»oooooooooo Příklad Jako příklad najděme řešení rovnice y' = x • y. Přímým výpočtem dostaneme In |y(x)| = vypadá (alespoň pro kladná y) na y(x) = e5x2+c = D kde D je nyní libovolná kladná konstanta. Zastavme se ale pozorněji u výsledné formule a znamének. Konstantní řešení y(x) = 0 vyhovuje naší rovnici také a pro záporná y můžeme použít stejné řešení s zápornými konstantami D. Ve skutečnosti může být konstanta D jakákoliv a našli jsme řešení vyhovující jakékoliv počáteční hodnotě. LJ2. + C. Odtud to ezx , Literatura Diferenciální rovnice oo»ooooooooo tli! tm ííí s- 1111;/ -^\'\\ \ ^ < ^ ^ mww A W í t í ííi mm mm m\\\\\ ■^\\\\ $ i \ \ \ \ \ \ \ ■w\\ \\ 111 Na obrázku jsou vynesena dvě řešení, která ukazují na nestabilitu rovnice vůči počátečním podmínkám: Jestliže pro libovolné xo změníme malinké yo z negativní na pozitivní hodnotu, pak se nám dramaticky mění chování výsledného řešení. Navíc si povšimněme konstantního řešení y(x) = 0, které odpovídá počáteční podmínce y(x0) = 0. Literatura Diferenciální rovnic ooo»oooooooo Příklad Najděte obecné řešení rovnice y — y2 + xy' = 0. Příklad Určete obecné řešení rovnice y' = (2 — y)tgx. Literatura Diferenciální rovnice oooo»ooooooo Postupně dostáváme dy dx dy si n x (2-y)tgx, dx, y — 2 cos x — I n | y — 2 I = — I n I cos x | — I n | C |, C^O. Posunutí dané integrováním jsme zde vyjádřili pomocí In | C |, což je vhodné tehdy, když na obou stranách rovnice obdržíme logaritmus. Odtud y — 2 = Ccosx, C / 0, kde bychom měli psát ±C. Díky tomu, že uvažujeme všechna nenulová C, na znaménku nezáleží. Protože jsme dělili výrazem y — 2, je třeba případ y = 2 vyšetřovat zvlášť. Derivace konstantní funkce je nulová, a tudíž jsme nalezli ještě jedno řešení y = 2. To však není singulární: volbou C = 0 jej můžeme zahrnout do dříve určeného obecného řešení. Výsledkem tak je y = 2 + C cosx, C G M. Literatura Diferenciální rovnice ooooo»oooooo Jde o rovnici tvaru y' = a(t)y + b(t) se spojitými koeficienty a(ř) a b{t). Nejprve najděme řešení homogenizované rovnice y'(t) = a(t)y(t). To snadno spočteme pomocí separace proměnných a dostáváme y(t)=y0F(t,to), F(t,s) = e/>Md*. Řešení původní (nehomogenní) rovnice s počáteční podmínkou y(ro) = yo Je (na intervalech spojitosti koeficientů a(t), b(t)) dáno vztahem y{t)=y0F{t,t0)+ F(t,s)b(s)ds, J t0 kde F(t,s) = e/>Wdx. Funkce e^_aWc'x se často nazývá integrační faktor, protože se příklady často řeší právě vynásobením zadané rovnice tímto faktorem. Literatura Diferenciální rovnice oooooo»ooooo Příklad Rychlost, kterou se rozpadá konkrétní izotop daného prvku, je přímo úměrná množství izotopu. Poločas rozpadu izotopu Plutonia, 239Pu, je 24 100 let. Za jak dlouho ubude setina z nukleární pumy, jejíž aktivní složkou je zmiňovaný izotop? Řešení Označíme-li množství Plutonia jako m, tak pro rychlost rozkladu můžeme napsat diferenciální rovnici dm kde k je nějaká neznámá konstanta.Řešením rovnice je funkce m(t) = rriQe~kt. Dosazením do rovnice pro poločas rozpadu (e~kt = ^) získáme konstantu k = 2, 88 • 10~5. Hledaný čas je přibližně 349,4 let. Literatura Diferenciální rovnice ooooooo»oooo Homogenní rovnice y' = f(j) převedeme transformací z = ^ (pro t ^ 0) na -' = ^y'-y) = -tm-z), což je rovnice se separovanými proměnnými. Bernoulliovy rovnice jsou tvaru y' = f(t)y + g(t)yr, kde r G M, r ^ 0,1. Transformace z = y1_r vede na obecnou lineární rovnici z' = {l-r)y-r{f{t)y + g{t)yr) = (l-r)f(t)z + (l-r)g(t). Diferenciální rovnice oooooooo»ooo Příklady k procvičení Příklad_1 Řešte rovnici (x2 - xy)y' + y2 = 0. Řešení Jde o homogenní rovnici, proto řešení dostaneme po substituci y = u ■ x v implicitním tvaru y y = c ex . Literatura Diferenciální rovnice ooooooooo^oo Pes pronásleduje zajíce. Ten je v čase t = 0 v bodě [0, b], pes startuje z bodu [—a, 0], kde a > 0. Zajíc běží rovnoměrně ve směru osy y, zatímco pes běží v každém okamžiku směrem k zajíci rychlostí v > u. Naším úkolem je určit křivku po níž pes běží a čas 7~, za nějž pes zajíce dohoní. Dráhu psa budeme vyjadřovat funkcí y = y(x), která navíc splňuje y(—a) = 0, y'(—a) = -. V nějakém čase t < T se pes nachází v bodě [x,y] (x < 0) a zajíc v bodě [0, b + ut]. Proto je K n _ y(x) -b-ut tj. ut = y — xy' — b. Literatura Diferenciální rovnice oooooooooo»o Délka křivky, kterou pes urazil za dobu ŕ je rovna vt= ľ Jl + {y'{z)Yáz. J —a Odtud vyjádříme ŕ a po dosazení do diferenciální rovnice ut = y — xy' — b dostaneme (s označením s = ^) S ľ Jl + {y'{z)Ydz = y-Xy'-b. J —a Obě strany zderivujeme podle x a dostaneme xy" + 5^1 + (y')2 = 0. Toto je rovnice jiného typu, než jsme dosud zkoumali - jedná se o tzv. rovnici druhého řádu, která je navíc nelineární. Lze ji ale snadno (po substituci p = y') převést na rovnici se separovanými proměnnými _ p' = -f^/í+^,p(0) = £ Literatura Diferenciální rovnice ooooooooooo* Rovnici p' = — f+ P2 řešíme klasickým postupem (s tím, že f J£— = ln(p + + p2)) a obdržíme výsledek v i+p2 " = é(c2(-;)'-(-7)')- kde c = | + V^K^- Integrací již snadno dostaneme y(x) = J p(x) dx a dopočteme čas t _ y(0) - ^