9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška
DDD
příklad   c j ľ I        učo   l  j ľ     ľ j ľ     ľ     ľ j ľ j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Náhodný výběr (8 bodů): Detailní hloubku moře lze pro hloubky v rozmezí PffJ^J^fJ ]_
mezi lkm a 5km měřit přístrojem, který má rozptyl 2500m2. Určete:
(a) Minimální počet měření nutný k tomu, aby bylo dosaženo přesnosti 5 m se spolehlivostí 0,95. (3)
(b) Výběrový průměr a výběrový rozptyl z měření s výsledky: 1325, 1285, 1400, 1350, 1295, 1380. (2)
(c) Interval spolehlivosti 0,95 pro měřenou hloubku odvozený z výše uvedených měření za předpokladu, že k měření byl použit nový přístroj s neznámým rozptylem. (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška
D D D   l   příklad c , 2
příklad   c j l_        učo   c     ľ u ľ j c j ľ u ľ j ľ j   body   c     c u ľ j
_D IS3H5E1B9
Diferenciální rovnice (6 bodů): Určete funkce y = f (x), pro které platí, PffJ^J^fJ 2 že tečna k jejich grafu v libovolném jeho bodě spolu s rovnoběžkou s osou y vedenou tímto bodem a spolu s osou x vymezí trojúhelník o jednotkovém obsahu (nezávisle na volbě bodu dotyku). (Sestavte nejprve příslušnou diferenciální rovnici a tu vyřešte.)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška
D D D I pHkiad c, 3
příklad   c j _l        učo   c     ľ u ľ j c j ľ u ľ j ľ j   body   c     ľ u c j
_D IS3H5E1B9
Vlastnosti funkcí (6 bodů) : Nechť M značí definiční obor funkce Příklcld 3
f (x,y) =      + VäT^xž - yVT
x' — y.
(a) Zobrazte M v rovině. (1)
(b) Do obrázku M načrtněte vrstevnice funkce g(x, y) = 3x + y a výpočtem určete největší a nejmenší hodnotu g(x,y) na množině M (tj. zejména určete body, v nichž dojde k dotyku vrstevnice na úrovni c s hranici množiny M pro nejmenší, resp. největší c). (2)
(c) Pomoci integrálu dvou proměnných vypočtěte obsah množiny M. (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška
DDDE
příklad   c j ľ I        učo   l  j ľ     ľ j ľ     ľ     ľ j ľ j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Náhodný výběr (8 bodů): Volejbalový trenér tvrdí, že volejbalistky mají PffJ^J^fJ ]_
větší objem plic než průměr ženské populace stejné věkové skupiny, který činí 3,4 litru.
(a) Během tréninkového kempu byla uskutečněna měření s následujícími výsledky: 3,4   3,6   3,8   3,3   3,4   3,5   3,7   3,6   3,7   3,4 3,6.
Se spolehlivostí 95% rozhodněte, zda je tvrzení trenéra opodstatněné - tj. sestrojte příslušný jednostranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu normálního rozdělení, z něhož pochází výběr volejbalistek. (3)
(b) Z výše uvedeného výběru určete interval spolehlivosti 95% pro neznámý rozptyl a2 rozdělení, z něhož výběr pochází. (2)
(c) Určete potřebný rozsah výběru volejbalistek, jejichž objem plic je třeba změřit, aby mohl trenér svůj výrok vyslovit s 99% spolehlivostí (předpokládáme stejnou hodnotu M a a2 = 0,09). (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška
DDDE ,„.,..... E
příklad   c j l_        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     L     c j
_D IE3H5ElBg
Diferenciální rovnice (6 bodů): Šálek kávy má v počátečním stavu v čase Příklcld 2
t = 0 teplotu 100 °C. Teplota pokoje je 20 °C. Určete teplotu kávy u = u(t) jako funkci času v situaci, která je popsána Newtonovým zákonem ochlazování: ^ = — X(u — up), kde A > 0 je konstanta úměrnosti a up je (konstantní) teplota pokoje. Určete A a rozhodněte, za jak dlouho teplota kávy klesne na 50 °C, pokud její teplota po 5 minutách byla 80 °C.
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška
DDDE ,„.,..... 3
příklad   c j _l        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     L     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Vlastnosti funkcí (6 bodů) : Nechť M značí definiční obor funkce Příklcld 3
f (x, y) = V2x - x2 + \Jy-y1 + a/í/2 - x + 1.
(a) Zobrazte M v rovině. (1)
(b) Do obrázku M načrtněte vrstevnice funkce g (x, y) = x2 + y2 — Ax a výpočtem určete její největší a nejmenší hodnotu na množině M (tj. zejména určete body, v nichž dojde k dotyku vrstevnice na úrovni c s hranicí množiny M pro nejmenší, resp. největší c; můžete využít toho, že v bodě dotyku mají křivky společnou tečnu i normálu). (3)
(c) Vypočtěte integrál j jMxdx dy. (2)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška
BDB3
příklad   c j ľ I        učo   l  j ľ     ľ j ľ     ľ     ľ j ľ j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Náhodný výběr (8 bodů): Detailní hloubku moře lze pro hloubky v rozmezí PffJ^J^fJ ]_
mezi lkm a 5km měřit přístrojem, který má rozptyl 1600m2. Určete:
(a) Minimální počet měření nutný k tomu, aby bylo dosaženo přesnosti 10 m se spolehlivostí 0,90. (3)
(b) Výběrový průměr a výběrový rozptyl z měření s výsledky: 1235, 1285, 1040, 1350, 1295. (2)
(c) Interval spolehlivosti 0,95 pro měřenou hloubku odvozený z výše uvedených měření za předpokladu, že k měření byl použit nový přístroj s neznámým rozptylem. (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška
BDB3 ,„.,..... E
příklad   c j l_        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Diferenciální rovnice (6 bodů): Určete funkce y = f (x), pro které platí, PffJ^J^fJ 2 že tečna k jejich grafu v libovolném jeho bodě [^ojŽ/o] protíná osu x v bodě [^,0]. (Sestavte nejprve příslušnou diferenciální rovnici a tu vyřešte.)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014 MB103   Spojité modely a statistika Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška
DDD3 ,„.,..... 3
příklad   c j _l        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     L     c j
_D IE3H5E1B3
Vlastnosti funkcí (6 bodů) : Nechť M značí definiční obor funkce Příklcld 3
f(x, y) = \ly/l - y2 ~x + 2yjy/y- y2 + x.
(a) Zobrazte M v rovině. (1)
(b) Do obrázku M načrtněte vrstevnice funkce g(x, y) = x + 3y a výpočtem určete největší a nejmenší hodnotu g(x,y) na množině M (tj. zejména určete body, v nichž dojde k dotyku vrstevnice na úrovni c s hranicí množiny M pro nejmenší, resp. největší c). (2)
(c) Pomocí integrálu dvou proměnných vypočtěte obsah množiny M. (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška
DDDH
příklad   c j ľ I        učo   l  j ľ     ľ j ľ     ľ     ľ j ľ j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Náhodný výběr (8 bodů): Volejbalový trenér tvrdí, že volejbalistky mají PffJ^J^fJ ]_
větší objem plic než průměr ženské populace stejné věkové skupiny, který činí 3,45 litru.
(a) Během tréninkového kempu byla uskutečněna měření s následujícími výsledky: 3,6   3,3   3,5   3,4   3,7   3,7   3,6   3,6   3,4   3,8 3,4.
Se spolehlivostí 97,5% rozhodněte, zda je tvrzení trenéra opodstatněné - tj. sestrojte příslušný jednostranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu normálního rozdělení, z něhož pochází výběr volejbalistek. (3)
(b) Z výše uvedeného výběru určete interval spolehlivosti 90% pro neznámý rozptyl a2 rozdělení, z něhož výběr pochází. (2)
(c) Určete potřebný rozsah výběru volejbalistek, jejichž objem plic je třeba změřit, aby mohl trenér svůj výrok vyslovit s 95% spolehlivostí (předpokládáme stejnou hodnotu M a a2 = 0,1). (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška
DDDH ,,..... E
příklad   c j l_        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     L     c j
_D IE3H5E1B9
Diferenciální rovnice (6 bodů): Newtonův zákon ochlazování/oteplování p fíJ^lg^J 2
tekutiny je: ^ = —A(m — -up), kde A > 0 je konstanta úměrnosti, u = u(t) je
teplota tekutiny v čase t po umístění do pokoje a up je (konstatní) teplota
pokoje. Studené pivo má teplotu 10 °C. Po 10 minutách v místnosti o teplotě
30 °C je jeho teplota 15 °C. Určete A a zjistěte, za jak dlouho se za těchto
podmínek pivo ohřeje na teplotu 20 °C.
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
9. ledna 2014 MB103   Spojité modely a statistika Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška
DDDH ,,..... 3
příklad   c j _l        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Vlastnosti funkcí (6 bodů) : Nechť M značí definiční obor funkce Příklcld 3
f (x, y) = y/l- x + \fx + y/2-y + y/y + a/x2 - y + 1.
(a) Zobrazte M v rovině. (1)
(b) Do obrázku M načrtněte vrstevnice funkce g (x, y) = x2 + y2 — 4y a výpočtem určete její největší a nejmenší hodnotu na množině M (tj. zejména určete body v nichž dojde k dotyku vrstevnice na úrovni c s hranicí množiny M pro nejmenší, resp. největší c; můžete využít toho, že v bodě dotyku mají křivky společnou tečnu i normálu). (3)
(c) Vypočtěte integrál j jMydx dy. (2)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.