28. ledna 2014 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: Dl 3. zkouška DDD příklad c j l I učo c I c l j c c L -j l- j body c L c j _D IS3H5ElBg Statistika (7 bodů): Z každého z předchozích zkušebních termínů bylo Příklad 1 náhodně vybráno 6 studentů. Bodové zisky byly na prvním termínu: 6,3; 4,0; 5,2; 2,3; 4,8; 1,5, na druhém termínu: 9,3; 4,0; 7,3; 5,5; 8,4; 5,0. Předpokládejte, jde o realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z normálních rozdělení, jejichž rozptyly jsou sice neznámé, ale stejné. Testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že první termín nebyl obtížnější než druhý (oproti alternativě, že obtížnější byl), tj. že střední hodnota zisku bodů není u prvního termínu významně nižší než u druhého. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 28. ledna 2014 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: Dl 3. zkouška D D D l příklad c , 2 uco c I příklad c j l_ učo c I ľ u ľ j ľ j ľ l j c j body c ľ c j _D H B 3 H 5 E H B 9 Extrémy (7 bodů): Najděte všechny stacionární body funkce z = f(x,y) Pffklacl 2 definované implicitně rovnicí Ax3 - 12x + Ay2 - 16y + (z + l)3 + 16 = 0. Dále zjistěte, zda jsou v těchto stacionárních bodech lokální extrémy. Pro každý z nich v případě kladné odpovědi také určete druh extrému. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 28. ledna 2014 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: Dl 3. zkouška D D D I pHkiad c, 3 příklad c j _l učo c I ľ u ľ j ľ j ľ c -j ľ body c c c j _D IS3H5E1B9 Diferenciální rovnice (6 bodů) : Jedna z metod určování stáří artefaktů Příklad 3 je tzv. radioaktivní metoda. Kosmické záření produkuje radioaktivní izotop uhlíku C14 (poločas rozpadu T = 5568 let). Tento izotop je absorbován zelenými rostlinami. Do těla živočichů se dostává potravou. V živých tkáních živočichů i rostlin je dávka C14 v rovnováze s množstvím rozpadlého C14. Když organismus zemře, přestane přijímat C14 a tak se koncentrace C14 začne snižovat. Za předpokladu, že aktivita kosmického záření je pořád stejná, lze usuzovat, že množství C14 v živých tkáních je pořád stejná. Z toho lze odvodit přibližné stáří vzorků. (a) Rozpad prvku se řídí rovnici N(t) = Noe~xt, kde N(t) značí množství látky v čase t, Nq udává množství látky na začátku (v čase t = 0) a A je konstanta. Určete konstantu A pro uhlík C14. (b) Dřevěné uhlí z doby osídlení jeskyně Lascaux vykazovalo v roce 1950 aktivitu ai = 0,97 min-1 g_1, živé dřevo mělo ao = 6,68 min-1 g_1. Aktivita je definována vztahem a = —N'(t)/m, kde m je hmotnost vzorku. Odhadněte dobu vzniku kreseb uhlím v jeskyni. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 28. ledna 2014 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: Dl 3. zkouška LI LI L_l příklad l l učo L-l příklad c j l I učo I—— l ^ l j l j c ^ L -j l- j body c L c j _D IS3H5ElBg Statistika (7 bodů): Z každého z předchozích zkušebních termínů bylo Příklad 1 náhodně vybráno 6 studentů. Bodové zisky byly na prvním termínu: 7,3; 5,0; 6,2; 3,3; 5,8; 2,5, na druhém termínu: 9,3; 4,0; 7,3; 5,5; 8,4; 5,0. Předpokládejte, jde o realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z normálních rozdělení, jejichž rozptyly jsou sice neznámé, ale stejné. Testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že první termín nebyl obtížnější než druhý (oproti alternativě, že obtížnější byl), tj. že střední hodnota zisku bodů není u prvního termínu významně nižší než u druhého. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 28. ledna 2014 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: Dl 3. zkouška nnnp ? 3 l_l LJ l—l l_ přiklad c j l_ wčo I—— příklad c j l_ mčo l_ L ^ l j c c ^ L -j ľ j body L j c ^ ľ j _D IS3H5E1E19 Extrémy (7 bodů): Najděte všechny stacionární body funkce z = f(x,y) Pffklacl 2 definované implicitně rovnicí Ax2 + 8x + 4y3 + 12y2 + (2 + 2)3 - 4 = 0. Dále zjistěte, zda jsou v těchto stacionárních bodech lokální extrémy. Pro každý z nich v případě kladné odpovědi také určete druh extrému. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 28. ledna 2014 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: Dl 3. zkouška nnnp 3 3 l_l LJ l—l l_ přiklad Ľ j _J wčo I—— příklad c j _l mčo l_ L ^ l j c c ^ L -j ľ j body L j l ^ l j _D IS3H5ElBg Diferenciální rovnice (6 bodů) : Jedna z metod určování stáří artefaktů Příklad 3 je tzv. radioaktivní metoda. Kosmické záření produkuje radioaktivní izotop uhlíku C14 (poločas rozpadu T = 5568 let). Tento izotop je absorbován zelenými rostlinami. Do těla živočichů se dostává potravou. V živých tkáních živočichů i rostlin je dávka C14 v rovnováze s množstvím rozpadlého C14. Když organismus zemře, přestane přijímat C14 a tak se koncentrace C14 začne snižovat. Za předpokladu, že aktivita kosmického záření je pořád stejná, lze usuzovat, že množství C14 v živých tkáních je pořád stejná. Z toho lze odvodit přibližné stáří vzorků. (a) Úbytek prvku v určitém časovém intervalu je přímo úměrný (konstantu úměry označme A) jeho množství na začátku tohoto intervalu. Sestavte odpovídající diferenciální rovnici, vyřešte ji a určete A pro uhlík C14. (b) Dřevěné uhlí z doby osídlení jeskyně Lascaux mělo v roce 1950 obsah uhlíku C14 vůči jeho původní hodnotě 14, 5%. Odhadněte dobu vzniku kreseb uhlím v jeskyni. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.