Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkcí
p(x) = { \ 6 0
•stni TunKci   f- \j}
X
1
pro x = — 2 I
pro x = 3 A.A
pro x = 1 "jh jinak.
Určete E (X). E(2X + 5), f (X2). £>(X) a D(2X + 1).
£(?X+sA * Jj. V        f. A .9.- >-
12 11-15:58
1
Príklad
PTCTekorelované)náhodné veličiny X a Y mají rozptyly D(X) — a a D(Y) = 2. Určete konstantu a, jestliže rozptyl náhodné veličiny Z = 3V-X je D(Z) ^25.
ti
12 11-16:19
2
Všimněme si, že výraz   5"~np   vystupující v Moivre-Lapiaceově
V"p(i-p)
větě je totéž, co Xn~E^x^ a jde tedy o tzv. normovanou
_ náhodnou yeličiflyjkj udihnu Ijneárně transformovanou tak, aby jměia střední hodnotu 0 a rozptyl 1). iMoivre-Laplaceova věta pak
12 11-16:24
3
12 11-16:36
Buďte A a X nezávislé náhodné veličiny, splňující X ~ A/(0| P(A = 1) =       = -1) = 1/2. Položřme-li V - AX, pak
p(y < v) = ^p(x < y) + í< y) = W
proto má rovněž Y rozdělení /V(0,1). U ^
12 11-16:37
5
12 11-16:38
6
_    1 Y; — jl
na
i—1
platí
lim P(S„ < t) = <ř(t),
/cc/e # je distribuční funkce rozdělení N (Q, 1),
12 11-17:06
7
ČÄsímí charakteristiky níšhoáných vdif.irt
Limitní víty 3 odhady
oooooo»o
oooooooooo
523
OOOOOOQOO
Mezi učiteli matematiky v ČR je jích 10% s příjmem přesahujícím celostátní průměr. Kolík matematiků je třeba pozvat na konferenci, aby s pravděpodobností aspoň 0,95 mezi nimi bylo 8 až 12 procent s nadprůměrným příjmem?
Řešení
Yn ~ Bi(n; 0,1). E(Yn) - 0.1 • n. D( Yn) - 0.1 • 0,9 . n. Pak
0.95 < P(0.08n < Yn < 0.12n) =
'0.08-0,1      Yn-0.1n 0,12-0.1
p i—
y/ň ^ yn~0.1n
15   - %/UMn
Je tedy <1> (-j^) > 0.975, což je ekvivalentní y n/15 > 1.96. tj. n > 865.
<J=ř>  nq_ 'S. A Pie ^
ŕ 1
12 11-17:10
8
Tento príklad je možné řešit několika způsoby, my (neformálně) naznačíme postup pomocí integrace funkce dvou proměnných přechodem k polárním souřadnicím. Dvěma způsoby tak spočítáme
ff
Ja
odkud porovnáním dostaneme
/    e x dx = yf~.
J-oc «
7^Mi -fíT *"*&*\*
1
J j* £ h prolij
9-T í -e* r <Ar
12 11-17:15
9
12 11-17:21
10
Snadno se odvodí, že platí
Proto je
=   1   ^D(X,)-r^TD(M) = n — i *—' n — i
O X ~>
-(t--a — ít".
n — 1        n — 1
12 11-17:36
11