10 2-15:55
1
Příklad
Určete směrovou derivaci funkce f(x.y) — arctgfx2 +y*) v bodě [-1.1] ve směru vektoru (1, 2),
2^
5" -
10 2-16:06
2
102-16:15
3
Farcřsíteř a srn
o
Diferenciál
OQO Q#OOOOOQOOO
Příklad
Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x.y) = x2 -j- y* v obecném bodě [x\y*].
Řešení
Kvůli přehlednosti označme h := dx. k := dy. Pak
f{x* -h dx.y* + dy) - f(x*.y*) =
= (x* -f /))2 -f (y* -ř- k)2 — (x*)2 — (y*)2 = = 2x*/? h- 2y*h 4- /?2 -f k2.
Odtud
óf(x\y*)(h.k) = 2x* ■ h ^ 2y" ■ k a^(h.k) = h2 - k2. } \
10 2-16:29
Necht f : En —> R je funkce n proměnných, která má v okolí hodu x G En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál ó f v bodě x a jeho souřadné vyjadrení je dano rovnici (*).
\
^ VvJ1 «slďy "^DtťtÄcltJ dl/rí^tí^
10 2-16:36
5
Funkce f i R je tedy diferencovatelná v bodě x, jestliže
existuje vektor a = (a^,... ? an) 6 S" takový, že pro všechny „směry" v G R° platí
0 v bodě x existují všechny směrové derivace dvf (x)T ¥ € S",
Q v    dvf(x) ie lineární v závislosti na přírůstku v
Q 0 = limv_01|J|r(f(x+ v) - f(x) - dvf(x)),
tj. 0 = íimv_>0 ^(f (x -f v) - f(x) - a ■ v).
V/l
v.
10 2-16:22
6
Určete diferenciál v daném bodě: a) f(x,y) = xy 4- - v bodě [1.1],
b) f(x,y) — arcsin
v bodě [1, \/3].
l
10 2-16:39
Spočtěme znovu jednodušeji dřívější příklad a určeme směrovou derivaci funkce f(x,y) — arctg(x2 + y2) v bodě [—1,1] ve směru vektoru (1,2) pomocí diferenciálu,
10 2-16:52
8
Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte:
0.48 1.05-
\ 0 48
a) arcsm "
b) l.M2-02. vWfcQ^Á) ✓*v*r C     ^lí- ^ „ t z- S^l ^< vg-
10 2-17:02
9
10 2-16:43
10
Určete rovnici tečné nadroviny ke grafu funkce v daném bod
a) f(x,y) = x2 + xy + 2y2,   [x0?y0,z0] =
b) f(x.y) = arctg^.    [x0.yo>z0] = [l.-l.?].
^ typ V vl
102-17:15
11