Cvičení 5 je z časových důvodů rozděleno na dokončení látky relací a funkcí a následné (5b) uvedení grafů z Lekce 7. Výrazně více času cvičení by se mělo věnovat grafům v 5b.

Rámcová náplň cvičení

Funkce a permutace, inverze a skládání

• Vlastnosti funkcí (prostá, na, bijektivní), jejich vztah k inverzím funkcím. Skládání funkcí coby speciálních relací - proč se jedná o totéž jako u "přirozeného skládání" stylem g(f(x)).
• Permutace, jejich vyjádření a zobrazení ("šipečkami") na malé konečné množině. Reprezentace permutací cykly, skládání permutací.

Induktivní definice a speciálně induktivně definované uzávěry relací

• Volitelně (pokud je čas): Induktivní definice množiny, induktivní definice funkce z množiny. Vysvětlení Příkladu 6.7 "Jednoduché aritmetické výrazy" z přednášky Lekce 6. Volitelně další ukázky induktivních definic "z reálného života", nejspíše příklady definic syntaxe a sémantiky v informatických oblastech, které by už snad studenti mohli znát.
• Reflexivní, symetrický, tranzitivní uzávěr relace jako speciální případy induktivních definic. Procvičení především tranzitivního uzávěru na obrázcích a jinak.
  • Zdůrazňujeme, že tranzitivní uzávěr je nejlepší hledat a pochopit na grafu relace ("šipečkách")!

Možné příklady k procvičení skládání funkcí

• Funkce f: Z->Z je dána jedním z níže uvedených vztahů. Úkolem je určit, jestli se jedná o funkci prostou, surjektivní nebo také bijekci:
  • f(x) = x+7, f(x) = 3x+1
  • f(x) = x^2+x+1
  • f(x) = x^3+3x^2+3x+1, f(x) = x^3-9x
• Jak se změní odpovědi v předchozí otázce, pokud se změní obory funkce f na f: R->R ?

• Níže jsou dány funkce f,g. Vypočítejte složení "f po g" i složení "g po f", tj. funkce f(g(x)) a g(f(x)), a porovnejte je mezi sebou:
  • f(x) = 2x+3, g(x) = 3x-1
  • f(x) = x-1, g(x) = x^2-2x+3
• Níže jsou dány funkce f,h : R->R. Určete funkci g: R->R takovou, aby platilo, že složení "g po f" je rovno funkci h, neboli zjednodušeným zápisem g(f(x)) = h(x) :
  • f(x) = x+2, h(x) = 3x-9
  • f(x) = x-1, h(x) = 5
  • f(x) = 2x-1, h(x) = 4x+3

• Vyjádřete aritmetickým vzorcem inverzní funkci k funkci f(x) = 2x+6.
• Na jakém definičním oboru funkce f vyjádřené jako f(x) = x^2-2x+1 existuje inverzní funkce k f ?

Možné příklady k procvičení permutací

• Permutace P množiny {1,2,3,4,5,6,7} je dána níže uvedeným seřazením svých prvků. Vyjádřete ji pomocí jejích cyklů.
  • P = (7,6,3,2,1,4,5)
  • P = (2,6,5,7,4,3,1)
  • P = (2,3,7,6,1,4,5)
• Dokažte, že složení dvou permutací na stejné množině je opět permutace.