Obecně o cvičeních IB000

Na látku jednotlivých lekcí předmětu navazují povinná cvičení, jejichž hlavním cílem je přemostit "propast" mezi suchou teorií z přednášek a použitím této teorie k řešení příkladů a problémů, které můžete potkat v dalším studiu a v praxi. Avšak pozor, nepředstavujte si, že jediným cílem cvičení je vás naučit mechanicky řešit příklady pro zkoušky, to určitě ne (i když si to mnozí studenti představují)! Ne, vy byste se měli naučit, jak získané matematické poznatky správně pochopit a využívat i v příkladech, se kterými se dopředu nesetkáte...

Cvičení jsou organizována co dva týdny po 2 hodinách, neboli v poloviční délce oproti přednáškám, přesto jejich snahou je pokrýt rovnoměrně látku všech lekcí, možná trochu se zpožděním oproti těm lekcím. Připomínáme také, že bez ohledu na tato cvičení si má každý student samostatně procvičovat rutinní příklady v online IS odpovědnících hned po přednášce.

Co v osnově k cvičením najdeme

Na rozdíl od přednášek, jejichž náplň je pevně daná výukovým textem a promítanými slidy, je náplň cvičení pouze doporučená příslušnými oddíly této osnovy. Podle potřeby, případných dotazů studentů a nepravidelností ve výuce může docházet k posunu a přesunům látky cvičení, případně k přidání jiných příkladů podle vlastní volby cvičícího a zájmu studentů.

Pamatujte: Skutečně nejhorší jsou studenti, co ani nebyli na přednášce, ani si přednášku před cvičením neprostudovali! Těm pak ani dobře vedené cvičení nemá jak pomoci a není tam čas na jejich neznalost brát ohled.

Rámcová náplň cvičení - s komentáři

Jelikož může nastat, že první cvičení některé skupiny budou mít před první přednáškou, nebude zde náplň pevně navázaná na přednášku, nýbrž cvičící může volně tvořit obsah v rámci níže uvedených mantinelů.

(Pořadí se nemusí dodržovat.)

Formalismy matematiky (neboli "dobré matematické vychování")

• K čemu je tento předmět a k čemu je matematika obecně. Viz komentář jednoho z cvičících 2012:

V prvním týdnu mě překvapilo, kolik studentů si myslí, že matematika je k ničemu a že ji v životě nepoužijí, tak jsem na druhý týden vymyslel nějaké motivační ukázky použití matematiky. Konkrétně jsem jim ukázal nějakou primitivní kryptografii (jak matematikou zabezpečit komunikaci) a že existuje něco jako měnová arbitráž a že na to lze použít nějaké matematické metody (jak matematikou vydělat peníze). Doporučuji na začátek nějakou motivaci (ať už tuto, nebo jinou) zařadit.

• V tomto kontextu je třeba zdůraznit (více v samostatné poznámce dole), že požadavek matematicky přesného vyjadřování skutečně není samoúčelným formalismem a není to vůbec o používání nějakých matematických symbolů, nýbrž prostě bez přesného vyjádření se někdy nikam nedostaneme (ale na druhou stranu musíme umět rozlišit, kde je to přesné vyjadřování potřeba, abychom se v samých formalismech neztratili).
  • Nalezeno na internetu: Asi jste se narodil matematikem, když prodavači aut řeknete: "Koupím si modré nebo červené auto, ale ne obě dvě."

• Je vhodné rozebrat některé z příkladů z přednášky na důkazy, případně jiné krátké důkazy (viz volitelné příklady níže). Vysvětlit praktický rozdíl mezi důkazem tvrzení a jeho vyvrácením protipříkladem, což se studentům často plete. Dát si záležet na pochopení rozdílů mezi "rozhodněte, zda", "dokažte" a "vyvraťte (podejte protipříklad)" a co to všechno znamená.
  • Nechť studenti chvíli pracují ve dvojicích, každý si zkusí napsat svůj "důkaz" zadaného jednoduchého tvrzení a poté tímto svým zápisem zkusí přesvědčit souseda (a naopak).
  • Příklady tvrzení k takovému jednoduchému dokazování a logickým hrátkám (ne vše nutně musí být pravdivé, nechybí někde upřesnění?):
    Dřevěná a železná kulička jsou stejně velké, takže ta železná je těžší.
    Pepa je silnější než Tonda a Tonda je silnější než Lojza, takže když Lojza uzvedne kámen, uzvedne ten samý kámen i Pepa.
    Když na semaforu naskočí zelená, auta se hned rozjedou do křižovatky, tedy alespoň pokud před semaforem nečeká zrovna autoškola.
  • Pošlete mi další podobné příklady k zařazení do osnovy...
• Příklady na "vyvraťte tvrzení" - zde je třeba hledat a najít jeden co nejkonkrétnější(!) protipříklad. Vůbec není vhodné se snažit postihnout vágní "všechny špatné situace", často je to naopak velkou chybou!
  • Pokud máte rozhodnout, zda "všichni lidé mají vlasy", budete skutečně shánět seznam všech plešatých obyvatel?

Ještě blahé paměti na základní škole nás náš vynikající učitel matematiky důrazně učil, že "matematik je líný dělat zbytečné věci". Přesně to platí i v tomto bodě, prostě to nejjednodušší dostatečné řešení (najít jeden konkrétní protipříklad pro vyvrácení) je zároveň to nejlepší řešení.

Poznámka k matematickému vyjadřování a zápisu

• Studenti se někdy asi cítí "zastrašeni" důrazem na přesné matematické vyjadřování od první lekce. Pravý význam (že skutečně nejde o psaní matematických symbolů, ale naučení se přesně vyjadřovat v běžném jazyce) je sice zdůrazňován už na přednášce, ale je třeba se na odstranění tohoto strachu zaměřit i na cvičení. Viz komentář jednoho z cvičících 2012:

Mnoho studentů se bojí “matematického zápisu” a vůbec netuší, jak nějaké tvrzení napsat. Bojí se přitom použít slova a celé věty a myslí si, že všude musí být matematické znaky (kvantifikátory atp.), tj. neopodstatněný strach ze spojení “přesné matematické tvrzení”. Možná je dobré je v tom trochu povzbuzovat a třeba na úvod na prvním cvičení zařadit nějaké ukázky jednoduchých tvrzení a hledání nepřesností v nich.

• Co třeba tvrzení "pro každé číslo platí, že je liché nebo sudé"? Zde je hlavní nepřesnost v chybějícím určení číselného oboru - celá nebo reálná? Podobné příklady přesných i nepřesných tvrzení pomohou pochopit to "správné".
• Zkuste si formálně zapsat důkaz tvrzení "součin dvou lichých (celých) čísel je lichý" - nechť se každý student pokouší sám, je to jasné tvrzení, ale pocvičí se při něm, co je v zápise důkazu podstatné.

Základy matematické logiky

• Pro tento letmý úvod do logiky není dobré začínat se symbolicky zapsanými formulemi, nýbrž co nejvíce setrvat u formulí vyjádřených v běžném jazyce.
  • Které jazykové spojky/konstrukty odpovídají základním logickým spojkám &, |, ->? Jaký je význam?
  • Kdy je přednesené tvrzení splnitelné a kdy se jedná o tautologii (pomůžeme si pravdivostní tabulkou?).
    Například: Pokud dnes svítí slunce, zítra bude pršet.
    Jestliže platí, že když neprší, tak zároveň prší, potom už určitě prší.
    (Poznámka: "zítra bude pršet" není přísně formálně vzato výrokem, neboť v tento okamžik nemůžeme rozhodnout jeho platnost. Záměrně je však použit v této otázce, kde je třeba uvažovat nad všemi možnými pravdivostními hodnotami.)
  • Co třeba takový příklad: Z elementárních výroků "předevčírem pršelo", "včera sněžilo", "dnes je konec světa" sestavte tautologii v přirozeném jazyce. Pohrejte si s ní, ať vypadá hezky a košatě, zkuste ji pak také znegovat.
    Bude výsledná negace splnitelnou formulí?
  • Pro zadanou jednoduchou formální výrokovou formuli sestavte smysluplnou větu s touto logickou strukturou;
    například !A->!B, (A&B)->C, A->(B|C), či složitější (A->B)->C, A->(B->C).
• Z formálních výrokových formulí probrat práci s nim a pravdivostní tabulky, dopsání formule k předvyplněné tabulce, vyjádření formule pouze pomocí implikace a negace. Mechanická negace formule.
  • Jsou nebo nejsou následující dvě formule ekvivalentní: !X -> [ (Z|X) & !(Y|Z) ] ,  X | [ (!Y->Z) & !(Y|Z) ]  Napsali jste si k nim pravdivostní tabulku?
• Je třeba vysvětlit skutečně do hraničních detailů význam implikace, tj. ne pouze pravdivostní tabulka, ale skutečný logický význam v matematických tvrzeních. Jaký má význam implikace z nepravdivých (sporných) předpokladů?
  • Řekl, že když ho naštvu, dostanu facku, ale já jsem k němu byl slušný a stejně mi dal facku. Lhář!?

Ze základů predikátové logiky se stručně uvádí pouze na intuitivní úrovni kvantifikátory (existenční a všeobecný) a jak se s nimi pracuje (v jednoduchých situacích).

• Proč jsou kvantifikátory v matematickém usuzování potřebné? Například
  "Každý člověk je smrtelný; Sókratés je člověk, je tedy smrtelný" - kde se zde využívá kvantifikátor a jak?
• Další jednoduché příklady:
  V každé řadě sedí student, který má brýle. Existuje řada, ve které má každý student brýle. Existuje řada, ve které nemá žádný student brýle.
  Každý student má v učebně kamaráda (kde jsou zde přesně kvantifikátory?).
• Upozorňujeme, že nelze zaměnit existenční kvantifikátor za univerzální, ale ani naopak.
  Obzvláště zrádné je časté přesvědčení studentů, že ze všeobecného kvantifikátoru "vyplývá" existenční - NE!
  Všichni studenti v učebně mají červené svetry, a tudíž existuje v učebně student s červeným svetrem. Ale co když tam žádný student není?
• Obecně nelze prohazovat pořadí kvantifikátorů - rozdíl si dobře uvědomíme třeba na následujícím příkladu:
  1. Pro každého studenta A v posluchárně existuje osoba B taková, že B je partnerem/partnerkou A.
  2. Existuje osoba B taková, že B je partnerem/partnerkou každého (tj. všech najednou) studenta A v posluchárně.