Zadání:
Dokažte \a\ + \b\ > \a + b\.
Kde |x| označuje absolutní hodnotu čísla x, čili |x| — x pro x > 0 a | x | — x pro x < 0.
Řešení 1 (velmi ukecané):
Tvrzení dokážeme tak, že probereme všechny níže uvedené možnosti:
1. Nechť a > 0 a b > 0.
Z a > 0 dle definice abs. hodnoty dostáváme, že |a| — a. Z b > 0 dle definice abs. hodnoty dostáváme, že |6| — b. Za>0a6>0 plyne, že a + b > 0. Proto \a + b\ — a + b. Dohromady dostáváme \a\ + |6| — a + b — \a + b\.
2. Nechť a < 0 a 6 < 0.
Z a < 0 dle definice abs. hodnoty dostáváme, že \a\ — —a. Z b < 0 dle definice abs. hodnoty dostáváme, že |6| — —b. Za<0a6<0 plyne, že a + b < 0. Proto |a + b\ — —(a + b). Dohromady dostáváme \a\ + \b\ — —a + (—6) — —(a + 6) = \a + b\.
3. Nechť o > 0 a í)< 0.
Z a > 0 dle definice abs. hodnoty dostáváme, že \a\ — a.
Z b < 0 dle definice abs. hodnoty dostáváme, že |6| — —b.
Nyní \a\ + \b\ — a + (—6) — a — b. Chceme tedy ukázat, že a — b > \a + b\.
Zde je situace horší, protože můžeme mít a + b>0ia + b<0.
Probereme tedy obě možnosti.
a) Nechť a + b > 0.
Potom |a + 6| — a + b. Chceme tedy ukázat, že a — b > a + b. Uděláme pár úprav.
a — b      >      a + b -b      > b 0      > 2b 0      > b
Což platí neboť v tomto případě uvažujeme dokonce b < 0.
b) Nechť a + b < 0.
Potom \a + b\ — —(a + b). Chceme tedy ukázat, že a — b > —(a + b).
1
Uděláme pár úprav.
		
- b	>	-(a + b)
	?	
- b	>	—a — b
	?	
a	>	—a
	?	
2a	>	0
	?	
a	>	0
Což platí neboť v tomto případě uvažujeme a > 0.
4. Nechť a > 0 a 6 < 0.
Vzhledem k tomu, že dokazované tvrzení je symetrické vůči proměnným a a b, lze tento bod dokázat analogicky k předchozímu bodu 3.
2
Zadání:
Dokažte \a\ + \b\ > \a + b\.
Kde |x| označuje absolutní hodnotu čísla x, čili |x| — x pro x > 0 a | x | — x pro x < 0.
Řešení 2 (stručné):
Tvrzení dokážeme tak, že probereme všechny níže uvedené možnosti:
1. Nechť a > 0 a b > 0.
Pak |a| + |6| — a + b — \a + b\, protože a + b > 0.
2. Nechť a < 0 a 6 < 0.
Pak |a| + |6| = — a + (—6) = —(a + 6) = |a + b\, protože a + b < 0.
3. Nechť o > 0 a í)< 0.
Nyní |a| + |6| — a + (—6) — a — b. Chceme tedy ukázat, že a — b > \a + b\. Zde je situace horší, protože můžeme mít a + b > 0 i a + b < 0 . Probereme tedy obě možnosti.
a) Nechť a + b > 0.
Protože b < 0, tak přičtení b zmenšuje hodnotu.
Pak \a\ + \b\ — a — b > a — b + b — a > a + b — \a + b\.
b) Nechť a + b < 0.
Protože a > 0, tak odečtení a změtší hodnotu (nebo nechá stejné pro a = 0).
Pak \a\ + \b\ — a — b > a — b — a — — b > — b — a — —(a + b) — \a + b\.
4. Nechť a > 0 a b < 0.
Vzhledem k tomu, že dokazované tvrzení je symetrické vůči proměnným a a b, lze tento bod dokázat analogicky k předchozímu bodu 3.
3
Zadání:
Dokažte \a\ + \b\ > \a + b\.
Kde |x| označuje absolutní hodnotu čísla x, čili |x| — x pro x > 0 a | x | — x pro x < 0.
Řešení 3 (pro ty, kteří neumí počítat s y < 0):
Pokud se nedokážete smířit s představou, že x + y může být menší než x. Tak to můžete dokázat takto:
Tvrzení dokážeme tak, že probereme všechny níže uvedené možnosti:
1. Nechť a > 0 a b > 0.
Pak \a\ + \b\ — a + b — \a + b\, protože a + b > 0.
2. Nechť a < 0 a b < 0.
Položme a' — — a a b' — — b. Potom máme a' > 0 a b' > 0 a dokazujeme
tvrzení | - a'| + | - b'\ > \ - a' + -b'\.
Upravíme levou stranu \ — a' \ + \ — b'\ — a' + b'.
A upravíme pravou stranu \ — a' + (—b') \ — \ — (a' + b') \ — a' + b'.
Pro tuto odrážku jsme hotovi, dokázali jsme (dokonce) rovnost obou stran.
3. Nechť a > 0 a b < 0.
Položme b' — —b. Potom b' > 0 a dokazujeme \a\ + \ — b'\ > \a H—b'\. Nyní pro levou stranu \a\ + \ — b'\ — a + b'. Z druhé strany \a + (—b')\ — \a — b'\.
Zde je situace horší, protože můžeme mít a — b'> 0 i a — b'< 0 a |a— b'\ se tak může někdy rovnat a — b' a někdy b' — a. Probereme tedy obě možnosti.
a) Nechť a — b' > 0, to jest a > b'.
Nyní \a — b'\ — a — b', o čemž chceme ukázat, že je menší nebo rovno a + b'. Protože b' > 0, víme, že a — b' < a < a + b'. A máme, co jsme potřebovali.
b) Nechť a - b' < 0.
Nyní \a — b'\ — b' — a, o čemž chceme ukázat, že je menší nebo rovno a + b'. Protože a > 0, víme, že b' — a < b' < a + b'. A máme, co jsme potřebovali.
4. Nechť a > 0 a b < 0.
Vzhledem k tomu, že dokazované tvrzení je symetrické vůči proměnným a a b, lze tento bod dokázat analogicky k předchozímu bodu 3.
4
Zadání:
Dokažte \a\ + \b\ > \a + b\.
Kde |a-| označuje absolutní hodnotu čísla x, čili \x\ — x pro i>0a \x\ — —x pro x < 0.
Řešení 4 (trik s rozdílem: pokud a < b, pak existuje d > 0 takové, že
a + d = b):
5