IBOOO Úvod do informatiky — príklady na procvičení Sada 2 — Zadání
Téma
Důkaz vět typu „tehdy a jen tehdy". Množiny, vztahy mezi množinami, operace nad množinami.
Příklad 1.
Rozhodněte, zda 1 patří do množiny (R značí množinu reálných čísel, Z značí množinu celých čísel) a){l,2,{l}}
b) {{!},{{!}}} c){{1,2},{1,{1}}}
d)  {{{1}}}
e)  {x G E I x je celé číslo větší než 1}
f)  {x G ÍR | x je třetí mocninou přirozeného čísla}
g)  {3z + 7 | z G Z}
Příklad 2.
V termínech dělitelnosti charakterizujte prvky množiny
a)  {3n | n G N0}
b)  {An + 2 | n G N0}
Příklad 3.
Výčtem prvků popište následující množiny (tj. vypište všechny jejich prvky):
a)  A = 2í°>
b)  B = 2{°'í°>>
c)  C = 2Ía'6'c>
d)  D = 2Ía'í6'c»
e)  E = 20
f)  F = 2W
g)  G = 2<*>W>
Příklad 4.
Co můžete říct o množinách A a B, když víte, že platí následující vztahy? Svá tvrzení dokažte. (Nápověda: použijte relace C a = mezi množinami, případně jiné operace nad množinami a prázdnou množinu.)
a)  An B = A
b)  A U B = A
c)  A \ B = A
d)  A\B = ®
Příklad 5.
Mějme množiny Aa.B,A<ZMa.B<ZM pro nějakou množinu M.  Ukažte, že A C B platí právě tehdy, když B C A.
Příklad 6.
Dokažte, že platí
{2z + 1 | z E Z} = {2z - 1 | z E Z}
kde Z značí množinu všech celých čísel.
Příklad 7.
Dokažte, že pro každé n E N, n > 0 platí
n                n
i=i   i=i
kde Ai, i = 1,..., n jsou libovolné množiny.
Nápověda: všimněte si podobnosti s příkladem 5 první sady.