Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
prvého rádu
Peter Šepitka
podzim 2014
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Základné pojmy
Nech F : M ⊆ R3
→ R je daná funkcia. Rovnica
F(x, y, y′
) = 0, kde ′
:=
d
dx
, (1)
sa nazýva obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu. Riešenie (integrál)
rovnice (1) je každá funkcia y = ϕ(x), ktorá má deriváciu na intervale I ⊆ R a
pre ∀x ∈ I platí
[x, ϕ(x), ϕ′
(x)] ⊆ M a F(x, ϕ(x), ϕ′
(x)) = 0.
Graf funkcie y = ϕ(x), t.j., množina {[x, y] ⊆ R2
| x ∈ I, y = ϕ(x)}, sa
nazýva integrálna krivka rovnice (1). V prípade, ak je možné upraviť rovnicu
(1) na tvar
y′
= f(x, y), (2)
kde f : D ⊆ R2
→ R je funkcia, rovnica (2) sa nazýva ODR I. rádu rozriešená
vzhľadom na deriváciu. Rovnica (1) sa nazýva nerozriešená vzhľadom na
deriváciu.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Začiatočná (Cauchyho) úloha (problém) – hľadáme riešenie y = ϕ(x)
rovnice (2), ktorého integrálna krivka prechádza pevne zvoleným bodom
[x0, y0] ∈ D, t.j.,
y′
= f(x, y), y(x0) = y0. (3)
Riešenie úlohy (3) sa nazýva partikulárne riešenie rovnice (2).
Všeobecné riešenie rovnice (2) – funkcia y = ϕ(x, C) závislá na jednom
reálnom parametre C, pomocou ktorej možno vhodnou voľbou C získať
riešenie každej úlohy (3) (t.j., pre každú voľbu [x0, y0] ∈ D).
Úplné (maximálne) riešenie – problém predlžovania riešení úlohy (3).
Singulárne riešenie – porušená jednoznačnosť úlohy (3) v každom bode
integrálnej krivky.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 1
y′
=
y
x
.
Funkcia y = Cx je všeobecné riešenie uvedenej rovnice na intervaloch (−∞, 0)
a (0, ∞). Každá začiatočná úloha
y′
=
y
x
, y(x0) = y0
totiž spĺňa x0 = 0 a funkcia y = C0x pre C0 = y0/x0 je jej riešením na
(−∞, 0) a (0, ∞). Zároveň je to jediné a úplné riešenie tejto začiatočnej úlohy
na intervaloch (−∞, 0) a (0, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 2
y′
= −y2
.
Funkcia y = (x + C)−1
je pre každé C ∈ R jediným a úplným riešením uvedenej
rovnice na intervaloch (−∞, −C) a (−C, ∞), avšak nie je to všeobecné
riešenie tejto rovnice, pretože nevyčerpáva napr. riešenie začiatočnej úlohy
y′
= −y2
, y(1) = 0.
Táto začiatočná úloha má jediné a úplné riešenie y = 0 na celej reálnej osi.
Príklad 3
y′
= 3y
2
3 , y(0) = 0.
Funkcie y = 0 a y = x3
sú dve rôzne úplné riešenia tejto začiatočnej úlohy.
Riešenie y = 0 je zároveň singulárnym riešením danej rovnice.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 1 (Existencia a jednoznačnosť riešení)
Nech D ⊆ R2
je oblasť a [x0, y0] ∈ D je daný bod. Uvažujme začiatočnú úlohu
y′
= f(x, y), y(x0) = y0. (4)
kde funkcia f je definovaná na D. Platí:
1 Ak f je spojitá na D, potom existuje interval I a funkcia ϕ tak, že
y = ϕ(x) je riešenie úlohy (4) na I.
2 Ak naviac i ∂f/∂y je spojitá na D, potom pre každé riešenie y = ψ(x)
úlohy (4) definované na intervale J platí
ψ(x) = ϕ(x) pre ∀x ∈ J ∩ I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Niektoré špeciálne typy ODR I. rádu
ODR so separovateľnými premennými
y′
= g(x)h(y). (5)
Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu
y′
= p(x) y + q(x). (6)
Bernoulliho diferenciálna rovnica
y′
= p(x) y + q(x) yk
, k ∈ R \ {0, 1}. (7)
Exaktná diferenciálna rovnica
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,
∂M
∂y
=
∂N
∂x
. (8)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Definícia a základné pojmy
Nech n ∈ N. Súbor rovníc
x′
1 = a11(t) x1 + a12(t) x2 + · · · + a1n(t) xn + b1(t),
x′
2 = a21(t) x1 + a22(t) x2 + · · · + a2n(t) xn + b2(t),
... (9)
x′
n = an1(t) x1 + an2(t) x2 + · · · + ann(t) xn + bn(t),
kde aij a bi, i, j = 1, · · · , n sú reálne funkcie definované a spojité na reálnom
intervale I (pripúšťame aj I = (−∞, ∞)) a znak ′
znamená d/dt, sa nazýva
systém lineárnych diferenciálnych rovníc I. rádu. Ak bi ≡ 0 na I pre každé
i = 1, · · · , n, systém (9) sa nazýva homogénny. V opačnom prípade, t.j.,
bi ≡ 0 pre aspoň jedno i = 1, · · · , n, hovoríme o nehomogénnom systéme.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Zavedením označenia
A(t) :=



a11(t) · · · a1n(t)
...
...
...
an1(t) · · · ann(t)


 , b(t) :=



b1(t)
...
bn(t)


 , x :=



x1
...
xn


 (10)
môžeme systém (9) prepísať do tzv. vektorového tvaru
x′
= A(t) x + b(t). (11)
Zobrazenia t → A(t), t → b(t) a t → x(t) sa nazývajú maticová (rádu n) a
vektorové (n-vektorové) funkcie na intervale I. Platia pre ne všetky známe
vlastnosti matíc a vektorov. Limity, spojitosť, derivovanie a integrovanie sa
realizujú vždy po jednotlivých maticových prvkoch, resp. vektorových zložkách.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Systém (11) sa nazýva homogénny, ak b(t) ≡ 0 na I. V opačnom prípade je
systém (11) nehomogénny a rovnica
x′
= A(t) x
sa nazýva pridružený homogénny systém k nehomogénnemu systému (11).
Riešením systému (11) rozumieme každú n-vektorovú funkciu
ϕ(t) = (ϕ1(t), · · · , ϕn(t))T
definovanú a diferencovateľnú na J ⊆ I, ktorá spĺňa rovnicu (11) na J , t.j.,
ϕ′
(t) = A(t) ϕ(t) + b(t), ∀t ∈ J .
Začiatočná (Cauchyho) úloha
x′
= A(t)x + b(t), x(t0) = η, (12)
kde t0 ∈ I je pevný bod a η ∈ Rn
je pevný vektor. Riešenie úlohy (12) sa
nazýva aj partikulárne riešenie.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Existencia a jednoznačnosť riešení
Lema 1
Nech maticová funkcia A a vektorová funkcia b sú definované a spojité na
intervale I. Potom funkcia ϕ je riešenie začiatočnej úlohy (12) na celom I
práve vtedy keď
ϕ(t) = η +
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds pre každé t ∈ I. (13)
Poznámka 1
Lema 1 vyjadruje ekvivalenciu medzi úlohou (12) a integrálnou rovnicou (13).
Stačí sa preto obmedziť na vyšetrovanie rovnice (13).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Dôkaz Lemy 1.
Nech t ∈ I. Ak ϕ je riešenie úlohy (12), t.j. platí
ϕ′
(s) = A(s) ϕ(s) + b(s) na I, (14)
potom integráciou oboch strán rovnice (14) od t0 po t a využitím začiatočnej
podmienky ϕ(t0) = η získame integrálnu rovnicu (13), nakoľko
t
t0
ϕ′
(s) ds =
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds,
ϕ(t) − ϕ(t0) =
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds,
ϕ(t) = η +
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds.
Naopak, nech ϕ je riešenie rovnice (13). Potom ϕ(t0) = η a funkcia ϕ je
diferencovateľná na I. Derivovaním oboch strán rovnice (13) podľa t
dostaneme ϕ′
(t) = A(t) ϕ(t) + b(t) pre každé t ∈ I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 2 (Existencia a globálna jednoznačnosť riešení)
Nech maticová funkcia A a vektorová funkcia b sú definované a spojité na
intervale I. Potom úloha (12), t.j., začiatočná úloha
x′
= A(t) x + b(t), x(t0) = η
má pre každé t0 ∈ I a η ∈ Rn
práve jedno úplné riešenie, t.j., riešenie, ktoré
existuje na celom I. Toto riešenie možno vyjadriť ako limitu tzv. Picardovej
postupnosti postupných aproximácií {ϕk}∞
k=0, kde pre každé t ∈ I platí
ϕ0(t) ≡ 0, ϕk+1(t) = η +
t
t0
[A(s) ϕk(s) + b(s)] ds, k ∈ N0. (15)
Poznámka 2
Tvrdenie Vety 2 zostane v platnosti, ak za začiatočnú Picardovu aproximáciu
ϕ0 zoberieme ľubovoľnú funkciu definovanú a spojitú na I. Limitná funkcia
postupnosti {ϕk}∞
k=0 nezávisí na výbere funkcie ϕ0.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Dôkaz Vety 2 (náčrt).
1 Existencia
Funkcie ϕk sú definované na celom I pre každé k ∈ N0. Ukážeme, že
postupnosť {ϕk}∞
k=0 konverguje lokálne rovnomerne (skoro rovnomerne)
na intervale I. To zaručuje existenciu funkcie ϕ, ktorá je definovaná na
celom I a spĺňa
lim
k→∞
ϕk(t) = ϕ(t) (16)
lim
k→∞
t
t0
[A(s) ϕk(s) + b(s)] ds =
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds (17)
pre každé t ∈ I. Z rovností (16) a (17) vyplýva, že ϕ rieši integrálnu
rovnicu (13) na celom I. Podľa Lemy 1 je potom funkcia ϕ riešením
začiatočnej úlohy (12) na celom I.
2 Jednoznačnosť
Jednoznačnosť riešenia začiatočnej úlohy (12) na intervale I vyplýva z
Gronwallovej lemy.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 4
Začiatočná úloha
x′
1 = −
x2
t
+ 9t, x′
2 = −
x1
t
− 3t, x1(1) = 1, x2(1) = 2
má na intervale (0, ∞) jediné úplné riešenie, pretože funkcie
A(t) =
0 −1
t
−1
t
0
, b(t) =
9t
−3t
sú definované a spojité na celom intervale (0, ∞) a bod t0 = 1 ∈ (0, ∞). Dá sa
ukázať, že hľadaným riešením je dvojica
x1(t) = 7t2
−
13
2
t +
1
2t
, x2(t) = −5t2
+
13
2
t +
1
2t
, t ∈ (0, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Poznámka 3
Picardova metóda postupných aproximácií umožňuje podľa Vety 2 hľadať
riešenie ϕ začiatočnej úlohy (12) ako limitu postupnosti {ϕk}∞
k=0. Ak
zavedieme funkcie ∆k pre k ∈ N0 predpisom
∆k(t) := ϕk+1(t) − ϕk(t), t ∈ I,
potom je možné riešenie ϕ vyjadriť v tvare nekonečného radu
ϕ(t) =
∞
k=0
∆k(t), t ∈ I. (18)
Nekonečný funkcionálny rad (18) konverguje lokálne rovnomerne na intervale
I. Podľa Vety 2 funkcie ∆k spĺňajú pre každé t ∈ I
∆0(t) = η +
t
t0
b(s) ds, ∆k+1(t) =
t
t0
A(s) ∆k(s) ds, k ∈ N0. (19)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 5
Uvažujme homogénnu začiatočnú úlohu
x′
= Ax, x(0) = (0, 1)T
na intervale I = (−∞, ∞), kde A je reálna konštantná matica
A =
0 1
−1 0
.
Podľa Poznámky 3 s b(t) ≡ 0 na I, t0 = 0 a η = (0, 1)T
pre funkcie ∆k platí
∆0(t) ≡
0
1
, ∆k+1(t) = A
t
0
∆k(s) ds, k ∈ N0, t ∈ I.
Pomocou matematickej indukcie vzhľadom na index k možno ukázať
∆k(t) =
tk
k!
Ak
η, k ∈ N0, t ∈ I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 5
Postupnosť matíc {Ak
}∞
k=0 je periodická s najmenšou periódou 4, nakoľko
A0
= I, A1
= A, A2
=
−1 0
0 −1
= −I, A3
=
0 −1
1 0
= −A.
Preto pre každé l ∈ N0 platí
A4l
= I, A4l+1
= A, A4l+2
= −I, A4l+3
= −A.
Riešenie ϕ začiatočnej úlohy potom bude mať podľa (18) pre každé t ∈ I tvar
ϕ(t) =
∞
m=0
(−1)m
(2m)!
t2m
η +
∞
m=0
(−1)m
(2m + 1)!
t2m+1
Aη
= (cos t)
0
1
+ (sin t)
0 1
−1 0
0
1
=
sin t
cos t
.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Homogénny systém
Nech n ∈ N. Uvažujme homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
y′
= A(t)y, (20)
kde A je maticová funkcia rádu n definovaná a spojitá na intervale I. Ak x1 a
y2 sú dve (úplné) riešenia systému (20) a c1, c2 sú ľubovoľné reálne konštanty,
potom aj funkcia y = c1y1 + c2y2 je (úplným) riešením rovnice (20), nakoľko
y′
= (c1y1 + c2y2)′
= c1y′
1 + c2y′
2 = c1Ay1 + c2Ay2 = A(c1y1 + c2y2) = Ay
na celom intervale I. Táto vlastnosť je kľúčová pri skúmaní štruktúry množiny
všetkých riešení systému (20).
Veta 3 (Štruktúra množiny riešení)
Množina všetkých riešení rovnice (20) na intervale I tvorí lineárny (vektorový)
priestor nad telesom reálnych čísiel.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Lineárna závislosť a nezávislosť funkcií I
Definícia 1
Nech k ∈ N a nech y1, y2, . . . , yk sú funkcie definované na nedegenerovanom
intervale I. Povieme, že funkcie y1, y2, . . . , yk sú lineárne závislé na I, ak
existuje nenulová k-tica reálnych konštánt (c1, c2, . . . , ck) tak, že platí
c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) = 0 pre každé t ∈ I.
V opačnom prípade sa funkcie y1, y2, . . . , yk nazývajú lineárne nezávislé na I.
Príklad 6
Ukážeme, že 2−vektoré funkcie
y1(t) = (t, t)T
, y2(t) = (t2
, t)T
, y3(t) = (t3
, t)T
sú lineárne nezávislé na každom nedegenerovanom reálnom intervale. Nech I je
takýto interval a nech c1, c2, c3 ∈ R spĺňajú c1y1 + c2y2 + c3y3 ≡ 0 na I, t.j.,
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Lineárna závislosť a nezávislosť funkcií II
Príklad 6
c1
t
t
+ c2
t2
t
+ c3
t3
t
= 0 pre každé t ∈ I.
Trojnásobným derivovaním poslednej rovnosti podľa premennej t dostaneme
c3
6
0
= 0 =⇒ c3 = 0.
Podobne, dvojnásobné derivovanie uvedenej rovnosti spolu s c3 = 0 implikuje
c2
2
0
= 0 =⇒ c2 = 0.
Teda c1(t, t)T
= 0 na I, z čoho máme i c1 = 0. Preto sú funkcie y1, y2 a y3
lineárne nezávislé na intervale I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Lineárna závislosť a nezávislosť riešení
V prípade riešení systému (20) sa vyšetrovanie lineárnej závislosti, resp.
nezávislosti prevádza na problém lineárnej závislosti, resp. nezávislosti
n-rozmerných reálnych vektorov.
Veta 4 (Lineárna závislosť riešení)
Nech k ∈ N a nech y1, y2, . . . , yk sú úplné riešenia systému (20). Potom
funkcie y1, y2, . . . , yk sú lineárne závislé na I práve vtedy, keď aspoň pre
jedno t0 ∈ I sú vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) ∈ Rn
lineárne závislé.
Dôkaz.
Implikácia ⇒ platí triviálne podľa Definície 1. Naopak, nech pre t0 ∈ I sú
vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) lineárne závislé. Teda existuje nenulová
k-tica (c1, c2, . . . , ck) tak, že c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · · + ckyk(t0) = 0.
Funkcia y := c1y1 + c2y2 + · · · + ckyk je riešením rovnice (20) a y(t0) = 0. Z
jednoznačnosti riešení podľa Vety 2 máme y(t) ≡ 0 na celom I, čo následne
znamená, že funkcie y1, y2, . . . , yk sú lineárne závislé na I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Dôsledok 1 (Dimenzia priestoru riešení)
Množina riešení rovnice (20) na intervale I tvorí lineárny priestor dimenzie n.
Dôkaz.
Z Vety 4 vieme, že dimenzia priestoru riešení je najviac n, pretože priestor Rn
je n-dimenzionálny. Na druhej strane, táto dimenzia je aspoň n. Vyplýva to z
nasledujúcej úvahy. Nech {e1, . . . , en} je kanonická báza priestoru Rn
a nech
t0 ∈ I. Podľa Vety 2 existujú úplné riešenia y1, y2, . . . , yn systému (20) s
yi(t0) = ei, i = 1, · · · , n.
Nakoľko vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yn(t0) sú lineárne nezávislé, podľa Vety 4
riešenia y1, y2, . . . , yn sú lineárne nezávislé na I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Fundamentálny systém riešení
Definícia 2 (Fundamentálny systém riešení)
Ľubovoľná báza priestoru všetkých riešení rovnice (20) sa nazýva
fundamentálny systém riešení rovnice (20).
Ak y1, y2, . . . , yn je nejaký fundamentálny systém riešení rovnice (20), potom
pre každé riešenie y sa dá vyjadriť v tvare
y = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn na I, (21)
pre vhodné konštanty c1, c2, . . . , cn ∈ R. Naopak, každá lineárna kombinácia
riešení y1, y2, . . . , yn je zrejme opäť riešením systému (20). Riešenie (21) sa
preto nazýva všeobecné riešenie rovnice (20).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 7
Uvažujme systém
y′
=
0 −1
t
−1
t
0
y
na intervale I = (0, ∞). Dosadením sa ľahko ukáže, že 2-vektorové funkcie
y1(t) = (t, −t)T
, y2(t) =
1
t
,
1
t
T
sú úplné riešenia tohto systému. Naviac, funkcie y1 a y2 sú lineárne nezávislé,
pretože napr. vektory y1(1) = (1, −1)T
a y2(1) = (1, 1)T
sú lineárne nezávislé.
Preto y1 a y2 tvoria fundamentálny systém riešení danej rovnice a jej všeobecné
riešenie má pre každé t ∈ I tvar
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) =



c1t +
c2
t
−c1t +
c2
t


 , c1, c2 ∈ R.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Spolu s vektorovou rovnicou (20) sa súčasne uvažuje aj maticová rovnica
Y ′
= A(t)Y, t ∈ I, (22)
kde nezáma Y je maticová funkcia rádu n. Ak Y je maticové riešenie rovnice
(22) na I a C ∈ Rn×n
je konštantná matica, potom funkcia Y C je riešením
rovnice (22) na I, nakoľko platí
(Y C)′
= Y ′
C = AY C = A(Y C) na I.
Podobne, pre každý konštantný vektor η ∈ Rn
je funkcia Y η riešením rovnice
(20). Obzvlášť, každý stĺpec matice Y je riešením systému (20). Maticové
riešenie Y sa nazýva fundamentálne riešenie systému (22) (resp. fundamentálna
matica systému (20)), ak stĺpce matice Y tvoria fundamentálny systém riešení
rovnice (20), t.j., sú lineárne nezávislé na intervale I. Preto riešenie Y rovnice
(22) je fundamentálne riešenie práve vtedy, keď det Y (t) = 0 pre každé t ∈ I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 5 (Liouvilleov-Jacobiho vzorec)
Nech Y je maticové riešenie rovnice (22) na intervale I a nech t0 ∈ I.
Označme A(t) = (aij(t)). Potom pre každé t ∈ I platí
det Y (t) = det Y (t0) exp
t
t0
Tr A(s) ds , (23)
kde Tr A(s) = a11(s) + a22(s) + · · · + ann(s) je stopa matice A(s).
Dôkaz (náčrt).
Využitím definície determinantu štvorcovej matice sa dá ukázať, že funkcia
z = det Y vyhovuje na intervale I homogénnej LDR prvého rádu
z′
= Tr A(t)z.
Riešením tejto rovnice dostaneme pre funkciu z vyjadrenie v tvrdení, t.j.,
z(t) = z(t0) exp
t
t0
Tr A(s) ds , t ∈ I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Poznámka 4
Z Liouvilleovho-Jacobiho vzorca vyplýva, že pre každé maticové riešenie rovnice
(22) platí buď det Y (t) = 0 alebo det Y (t) = 0 pre každé t ∈ I. Preto Y je
fundamentálnym riešením práve vtedy, keď det Y (t0) = 0 aspoň pre jedno
t0 ∈ I. Okrem toho funkcia
y = Y c, c ∈ Rn
(24)
je pre každú fundamentálnu maticu Y všeobecným riešením systému (20) na
intervale I. Poznamenajme, že fundamentálna matica systému (20) je určená
jednoznačne až na konštantný regulárny násobok sprava. Konkrétne, ak Y je
nejaká fundamentálna matica (20) na I, potom maticová funkcia Z je tiež
fundamentálnou maticou systému práve vtedy, keď na I platí
Z = Y C, pre nejakú konštantnú štvorcovú maticu C s det C = 0. (25)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Nehomogénny systém
Budeme skúmať všeobecný, nehomogénny systém (11), t.j.,
x′
= A(t) x + b(t),
kde A je maticová funkcia rádu n a b je n-vektorová funkcia, obe definované a
spojité na intervale I.
Veta 6 (Štruktúra riešení nehomogénneho systému)
Nech Y je úplné fundamentálne riešenie rovnice Y ′
= A(t) Y a nech x0 je
nejaké riešenie nehomogénneho systému (11) na I. Potom vektorová funkcia x
je úplné riešenie rovnice (11) práve vtedy, keď pre nejaké c ∈ Rn
platí
x(t) = Y (t) c + x0(t) pre každé t ∈ I. (26)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Dôkaz Vety 6.
Dosadením do (11) sa ľahko overí, že pre každý konštantný n-vektor c je
funkcia x v (26) riešením rovnice (11), pretože
x′
= Y ′
c + x′
0 = AY c + Ax0 + b = A(Y c + x0) + b = Ax + b na I.
Naopak, nech x je úplné riešenie systému (11). Potom funkcia x − x0 spĺňa
rovnicu (20), nakoľko
(x − x0)′
= x′
− x′
0 = Ax + b − Ax0 − b = A(x − x0) na I.
Podľa rovnosti (21) v Poznámke 4 preto existuje c ∈ Rn
tak, že x − x0 = Y c
na celom I. Teda riešenie x = Y c + x0 má tvar (26).
Poznámka 5
Z Vety 6 vyplýva významné pozorovanie o všeobecnom riešení rovnice (11):
všeobecné riešenie
nehom. systému
=
všeobecné riešenie
pridruž. hom. systému
+
partikulárne riešenie
nehom. systému
.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Metóda variácie konštánt
Na nájdenie partikulárneho riešenia systému (11) sa využíva metóda variácie
konštánt. Nech x je úplné riešenie začiatočnej úlohy (12) na intervale I, t.j.,
x′
= A(t)x + b(t), x(t0) = η,
pre pevné t0 ∈ I a η ∈ Rn
. Pre danú fundamentálnu maticu Y pridruženého
homogénneho systému (20) uvažujme vektorovú funkciu c := Y −1
x. Zrejme c
je definovaná a diferencovateľná na celom I a platí
x(t) = Y (t) c(t), t ∈ I.
Po dosadení tohto vyjadrenia riešenia x do systému (11) a úpravách dostaneme
c′
(t) = Y −1
(t) b(t) =⇒ c(t) = c(t0) +
t
t0
Y −1
(s) b(s) ds, t ∈ I.
Hodnotu c(t0) určíme pomocou začiatočnej podmienky x(t0) = η, konkrétne
c(t0) = Y −1
(t0) η.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 7 (Metóda variácie konštánt)
Začiatočná úloha (12) má jediné úplné riešenie tvaru
x(t) = Y (t) Y −1
(t0) η + Y (t)
t
t0
Y −1
(s) b(s) ds, pre každé t ∈ I, (27)
kde Y je ľubovoľná fundamentálna matica homogénneho systému (20).
Poznámka 6
Všimnime si, že vo vzorci (27) funkcia xH(t) := Y (t) Y −1
(t0) η je partikulárne
riešenie homogénneho systému (20) spĺňajúce xH (t0) = η, kým funkcia
xP (t) := Y (t)
t
t0
Y −1
(s) b(s) ds
je partikulárne riešenie rovnice (11) s podmienkou xP (t0) = 0, ako sa možno
presvedčiť dosadením. Platí teda x = xH + xP v súlade s Poznámkou 5.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu
Diferenciálna rovnica
y(n)
+ pn−1(t) y(n−1)
+ · · · + p1(t) y′
+ p0(t) y = f(t), (28)
kde f a pi, i = 0, . . . , n − 1, sú reálne skalárne funkcie definované a spojité na
intervale I ⊆ R, sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu. Ak
f(t) ≡ 0, hovoríme o homogénnej LDR n-tého rádu, v opačnom prípade sa
jedná o nehomogénnu rovnicu. Pre nehomogénnu rovnicu (28) sa rovnica
y(n)
+ pn−1(t) y(n−1)
+ · · · + p1(t) y′
+ p0(t) y = 0, (29)
označuje ako pridružená homogénna rovnica. Ľavá strana rovnice (28) sa často
označuje výrazom Ly, kde L : Cn
(I) → C(I) je lineárny diferenciálny operátor
n-tého rádu. (Úplným) riešením rovnice Ly = f rozumieme funkciu
ψ ∈ Cn
(I), ktorá identicky spĺňa rovnicu (28) na intervale I. Začiatočná
(Cauchyho) úloha (problém)
Ly = f, y(t0) = η1, y′
(t0) = η2, . . . , yn−1
(t0) = ηn, (30)
kde t0 ∈ I je pevný bod a η1, η2, . . . , ηn ∈ R sú dané reálne konštanty.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Prevod na lineárny systém I
Veta 8 (Prevod na systém)
Nech ψ je (úplné) riešenie rovnice (28) a položme
ϕ1 = ψ, ϕ2 = ψ′
, . . . , ϕn = ψn−1
.
Potom n-vektorová funkcia ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn)T
je (úplným) riešením systému
x′
1 = x2,
x′
2 = x3,
... (31)
x′
n−1 = xn,
x′
n = −p0(t) x1 − p1(t) x2 − · · · − pn−1(t) xn + f(t)
na intervale I. Naopak, pre každé (úplné) riešenie ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn)T
systému
(31) na I je jeho prvá zložka ϕ1 (úplným) riešením rovnice (28).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Prevod na lineárny systém II
Veta 8 (Prevod na systém)
Nech t0 ∈ I a η ∈ Rn
. Potom n-vektorová funkcia ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn)T
je
(úplné) riešenie systému (31) spĺňajúce začiatočnú podmienku
ϕ(t0) = η = (η1, · · · , ηn)T
práve vtedy, keď jeho prvá zložka ϕ1 je (úplné) riešenie rovnice (28) spĺňajúce
začiatočnú podmienku
ϕ1(t0) = η1, ϕ′
1(t0) = η2, . . . , ϕn−1
1 (t0) = ηn.
Systém (31) sa dá prepísať do vektorového tvaru x′
= A(t) x + b, kde
A(t) =







0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
... · · ·
...
0 0 0 · · · 1
−p0(t) −p1(t) −p2(t) · · · −pn−1(t)







, b(t) =







0
0
...
0
−f(t)







.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Existencia a jednoznačnosť riešení
Veta 9 (Existencia a jednoznačnosť riešení)
Nech f a pi, i = 0, . . . , n − 1, sú reálne skalárne funkcie definované a spojité
na intervale I a nech t0 ∈ I a η1, . . . , ηn ∈ R sú dané. Potom začiatočná
úloha (30) má práve jedno úplné riešenie na celom I.
Príklad 8
Uvažujme LDR 2. rádu na intervale I = (e, ∞) a začiatočnú podmienku
y′′
+
1
t(1 − ln t)
y′
−
1
t2(1 − ln t)
y =
2 − ln t
t(1 − ln t)
, y(e2
) = e2
, y′
(e2
) = 2.
Keďže koeficienty a pravá strana rovnice sú funkcie definované a spojité na
intervale I, podľa Vety 9 má daná začiatočná úloha práve jedno úplné riešenie
definované na celom intervale I. Dá sa ukázať, že toto riešenie má tvar
y(t) = t ln t − t, t ∈ (e, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Systémy s konštantnými koeficientami
Z predchádzajúcich výsledkov vyplýva, že na úplné určenie množiny všetkých
riešení (všeobecného riešenia) systému lineárnych diferenciálnych rovníc I. rádu
je nutné a zároveň stačí poznať nejakú fundamentálnu maticu pridruženého
homogénneho systému. Vo všeobecnom prípade je to veľmi náročný problém.
Budeme sa bližšie zaoberať prípadom homogénneho systému s konštantnými
koeficientami, t.j. systémom
y′
= Ay, (32)
kde A je konštantná reálna matica rádu n. Každé riešenie systému (32) je
definované na intervale (−∞, ∞). Ukážeme, že pre systém (32) je možné
pomerne efektívne určiť všetky jeho fundamentálne riešenia Y , t.j., maticové
funkcie Y rádu n spĺňajúce Y ′
= AY a det Y (t) = 0 pre každé t ∈ (−∞, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Exponenciála matice
Nech M je komplexná matica rádu n. Matica definovaná
eM
:=
∞
k=0
1
k!
Mk
= I + M +
1
2!
M2
+
1
3!
M3
+ · · · +
1
k!
Mk
+ · · · (33)
sa nazýva exponenciála matice M. Nekonečný rád v (33) konverguje absolútne
pre každú maticu M, a teda matica eM
je korektne definovaná pre každé M.
Poznámka 7 (Niektoré vlastnosti exponenciály matice)
Nech M, N sú komplexné matice rádu n. Potom platia nasledovné tvrdenia.
e0
= I.
eM
e−M
= I, t.j., matica eM
je regulárna a eM −1
= e−M
.
Ak MN = NM, potom eM
eN
= eN
eM
= eM+N
.
Ak N je regulárna, potom eNMN−1
= NeM
N−1
.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Exponenciála matice ako fundamentálne riešenie
Veta 10
Nech A je reálna konštantná matica rádu n. Potom exponenciála eAt
je
fundamentálna matica homogénneho systému (32) na (−∞, ∞).
Dôkaz.
Maticová funkcia Y (t) = eAt
je maticovým riešením systému (32), nakoľko
Y ′
= eAt
′
=
∞
k=0
1
k!
(At)k
′
= I +
∞
k=1
1
k!
(At)k
′
=
∞
k=1
k
k!
Ak
tk−1
= A
∞
k=1
1
(k − 1)!
Ak−1
tk−1 (l=k−1)
= A
∞
l=0
1
l!
(At)l
= A eAt
= AY.
Okrem toho Y (0) = I, podľa Poznámky 7. Preto Y (t) je regulárna na celom
intervale (−∞, ∞), podľa Liouvilleovho-Jacobiho vzorca vo Vete 5. Teda Y (t)
je fundamentálna matica systému (32) na celom (−∞, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Jordanov kanonický tvar matice
Veta 11 (Jordanova)
Nech M je komplexná matica rádu n. Potom existuje regulárna matica P rádu
n tak, že
P−1
MP =





J0 O · · · O
O J1 · · · O
...
... · · ·
...
O O · · · Jm





. (34)
Pritom matice J0 ∈ Cq×q
a Ji ∈ Cni×ni
pre i = 1, . . . , m majú tvar
J0 =





λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · λq





, Ji =







λq+i 1 0 · · · 0
0 λq+i 1 · · · 0
...
...
... · · ·
...
0 0 0 · · · 1
0 0 0 · · · λq+i







, (35)
kde λj pre j = 1, . . . , q + m sú (nie nutne rôzne) vlastné čísla matice M a
platí q + n1 + · · · + nm = n.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Matice Ji, i = 0, . . . , m, sa nazývajú Jordanove bloky (klietky) matice M a
stĺpce matice P sa nazývajú zovšeobecnené vlastné vektory matice M. Blokovo
diagonálna matica
Q =





J0 O · · · O
O J1 · · · O
...
... · · ·
...
O O · · · Jm





(36)
v Jordanovom rozklade (34) je určená jednoznačne až na poradie Jordanovych
blokov. Matica P nie je určená jednoznačne. Medzi stĺpcami matice P a
Jordanovymi blokmi matice Q platí nasledovná korešpondencia.
Stĺpce h1, . . . , hq sú vlastné vektory matice M odpovedajúce vlastným
číslam λ1, . . . , λq.
Stĺpce hq+n1+···+ni−1+1, . . . , hq+n1+···+ni−1+ni sú zovšeobecnené vlastné
vektory matice M odpovedajúce vlastnému číslu λq+ni v bloku Ji pre
i = 1, . . . , m.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Výpočet fundamentálnej matice
Stanovíme teraz fundamentálnu maticu systému (32) ako vhodný pravostranný
regulárny násobok exponenciály eAt
. Nech t ∈ (−∞, ∞). Ak P a Q sú matice
z Vety 11 odpovedajúce Jordanovmu rozkladu matice A, t.j., A = PQP−1
,
potom podľa Poznámky 7 platí
eAt
= eP (Qt)P −1
= PeQt
P−1
, teda eAt
P = PeQt
. (37)
Z tvaru matice Q a z definície exponenciály matice vyplýva
eQt
=





eJ0t
O · · · O
O eJ1t
· · · O
...
... · · ·
...
O O · · · eJmt





. (38)
Pre exponenciálu Jordanovho bloku J0t platí
eJ0t
=





eλ1t
0 · · · 0
0 eλ2t
· · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · eλqt





. (39)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Výpočet fundamentálnej matice
Blok Jit pre i = 1, . . . , m má tvar Jit = (λq+it)Ii + Mit, kde Ii je identická
matica rádu ni a
Mit =





0 t · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · t
0 0 · · · 0





(40)
Matice (λq+it)Ii a Mit komutujú, preto podľa Poznámky 7 platí
eJit
= e(λq+it)Ii+Mit
= eλq+it
eMit
. (41)
Postupným počítaním mocnín (Mit)k
pre k = 0, 1, . . . zistíme, že (Mit)k
= 0
pre každé k ≥ ni, a teda
eMit
=
ni−1
k=0
1
k!
(Mit)k
=









1 t t2
2!
· · · tni−1
(ni−1)!
0 1 t · · · tni−2
(ni−2)!
...
...
... · · ·
...
0 0 0 · · · t
0 0 0 · · · 1









. (42)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Výpočet fundamentálnej matice
Kombináciu formúl (41) a (42) dostaneme tvar exponeciály bloku Jit
eJit
= eλq+it









1 t t2
2!
· · · tni−1
(ni−1)!
0 1 t · · · tni−2
(ni−2)!
...
...
... · · ·
...
0 0 0 · · · t
0 0 0 · · · 1









, (43)
a tým aj, využitím vyjadrení v (38) a (39), exponenciálu matice Qt. Podľa
Poznámky 4 je matica eAt
P fundamentálnou maticou systému (32). Označme
P = [h1, . . . , hn] a eAt
P = [y1(t), . . . , yn(t)].
Rovnosť (37) a predchádzajúca analýza implikujú nasledujúce tvrdenie.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Fundamentálny systém riešení
Veta 12 (Fundamentálny systém riešení)
Vektorové funkcie
y1(t) = eλ1t
h1
...
yq(t) = eλqt
hq
yq+1(t) = eλq+1t
hq+1 (44)
yq+2(t) = eλq+1t
[thq+1 + hq+2]
...
yq+n1 (t) = eλq+1t tn1−1
(n1 − 1)!
hq+1 +
tn1−2
(n1 − 2)!
hq+2 + · · · + hq+n1
...
yn(t) = eλq+mt tnm−1
(nm − 1)!
hn−nm+1 +
tnm−2
(nm − 2)!
hn−nm+2 + · · · + hn ,
tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (32) na intervale (−∞, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Môžeme preto konštatovať, že zložky vektorových riešení fundamentálneho
systému vo Vete 12 majú tvar kvázipolynómov, t.j.,
pk(t) eλkt
,
kde λk je vlastné číslo matice A a pk(t) sú polynómy v premennej t stupňa
menšieho ako je algebraická násobnosť čísla λk. Keďže matica A je reálna, s
každým nereálnym vlastným číslom α + iβ má aj komplexne združené vlastné
číslo α − iβ. Vo fundamentálnom systéme (44) sa teda s každým nereálnym
riešením y nachádza aj komplexne združené riešenie ¯y. Nakoľko platí
Re y =
1
2
(y + ¯y), a Im y =
1
2i
(y − ¯y),
reálne vektorové funkcie Re y a Im y sú lineárne nezávislými riešeniami rovnice
(32). Preto každú nereálnu dvojicu riešení y a ¯y môžeme nahradiť reálnou
dvojicou riešení Re y a Im y. Tým získame reálny fundamentálny systém
vektorových riešení, pričom zložky jednotlivých jeho riešení budú mať tvar
[pk(t) cos ((Im λk) t) + qk(t) sin ((Im λk) t)] e(Re λk) t
,
kde pk(t) a qk(t) sú už reálne polynómy v premennej t stupňa menšieho než je
algebraická násobnosť čísla λk.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 9
Určime nejakú fundamentálnu maticu systému
x′
=






2 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
0 0 −1 1 0
0 0 0 −1 1
0 0 0 0 −1






x.
Podľa Vety 10 stačí nájsť exponenciálu matice At. Matica A systému je už v
Jordanovom blokovom tvare
A =






2 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
0 0 − 1 1 0
0 0 0 −1 1
0 0 0 0 −1






a má jednoduché vlastné číslo 2 a štvornásobné vlastné číslo −1.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 9
Exponenciála eAt
má preto tvar
Y (t) = eAt
=







e2t
0 0 0 0
0 e−t
0 0 0
0 0 e−t
te−t t2
2!
e−t
0 0 0 e−t
te−t
0 0 0 0 e−t







.
Poznamenajme, že fundamentálna matica Y rovnice (32) je normovaná v bode
t0 = 0, t.j., platí Y (0) = I. Fundamentálna matica Z normovaná napr. v bode
t0 = 3, t.j., Z(3) = I, má tvar
Z(t) =











e2(t−3)
0 0 0 0
0 e−(t−3)
0 0 0
0 0 e−(t−3)
(t − 3) e−(t−3) (t−3)2
2!
e−(t−3)
0 0 0 e−(t−3)
(t − 3) e−(t−3)
0 0 0 0 e−(t−3)











.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 10
Nájdime všeobecné riešenie systému
x′
=


1 −1 1
1 1 −1
0 −1 2

 x.
Zistíme vlastné čísla matice A systému. Jej charakteristický polynóm má tvar
det(A − λI) = −λ3
+ 4λ2
− 5λ + 2 = −(λ − 2)(λ − 1)2
.
Matica A má teda jednoduché vlastné číslo 2 a dvojnásobné vlastné číslo 1.
Vlastnému číslu 2 odpovedá jedno lineárne nezávislé riešenie tvaru
x(t) = a e2t
, b e2t
, c e2t T
,
kde a, b, c sú konštanty. Dosadením tohto riešenia do systému v zadaní
dostaneme po úpravách pre a, b, c sústavu troch lineárnych rovníc
2a = a − b + c, 2b = a + b − c, 2c = −b + 2c.
Táto sústava má jedno lineárne nezávislé riešenie a = c = 1 a b = 0.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 10
Vlastnému číslu 1 odpovedajú dve lineárne nezávislé riešenia tvaru
x(t) =


(at + b) et
(ct + d) et
(ft + g) et

 ,
kde a, b, c, d, f, g sú konštanty. Dosadením tohto riešenia do systému v zadaní
dostaneme po úpravách
a + (at + b) = (at + b) − (ct + d) + (ft + g)
c + (ct + d) = (at + b) + (ct + d) − (ft + g)
f + (ft + g) = −(ct + d) + 2(ft + g).
Ak porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách premennej t na oboch
stranách týchto rovností, získame 4 nezávislé rovnice pre a, b, c, d, f, g, a to
f − c = 0, a − f = 0, a = g − d, c = b − g.
Táto sústava má dve lineárne nezávislé riešenia
a = c = f = 0, b = d = g = 1 a a = b = c = f = 1, d = −1, g = 0.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 10
Zostrojili sme teda tri lineárne nezávislé vektorové riešenia rovnice v zadaní, a
teda jej fundamentálny systém riešení je


e2t
0
e2t

 ,


et
et
et

 ,


(t + 1) et
(t − 1) et
t et

 .
Všeobecné riešenie systému v zadaní má potom pre každé t ∈ (−∞, ∞) tvar
x(t) = c1


e2t
0
e2t

+c2


et
et
et

+c3


(t + 1) et
(t − 1) et
t et

 =



c1e2t
+ c2et
+ c3(t + 1) et
c2et
+ c3(t − 1) et
c1e2t
+ c2et
+ c3t et



pre c1, c2, c3 ľubovoľné reálne konštanty. Pre úplnosť poznamenajme, že matica
Y (t) =



e2t
et
(t + 1) et
0 et
(t − 1) et
e2t
et
t et



je fundamentálnou maticou rovnice v zadaní.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 11
Uvažujme systém
x′
=


1 −1 −1
1 1 0
3 0 1

 x.
Matica A systému má jednoduché reálne vlastné číslo 1 a dvojicu jednoduchých
nereálnych vlastných čísiel 1 ± 2i. Fundamentálny systém rovnice v zadaní je
preto tvorený tromi lineárne nezávislými vektorovými riešeniami tvaru


a1 et
a2 et
a3 et

 ,


b1 e(1+2i) t
b2 e(1+2i) t
b3 e(1+2i) t

 ,


c1 e(1−2i) t
c2 e(1−2i) t
c3 e(1−2i) t

 ,
kde ai, bi, ci pre i = 1, 2, 3 sú vo všeobecnosti komplexné konštanty. Podobným
postupom ako v predchádzajúcom príklade zistíme riešenia



0
et
−et


 ,



2i e(1+2i) t
e(1+2i) t
3e(1+2i) t


 ,



−2i e(1−2i) t
e(1−2i) t
3e(1−2i) t


 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 11
Získaný fundamentálny systém je nereálny. Nahradením posledných dvoch
nereálnych vektorových funkcií ich reálnymi a imaginárnymi časťami dostaneme
reálny fundamentálny systém riešení



0
et
−et


 ,



−2et
sin 2t
et
cos 2t
3et
cos 2t


 ,



2et
cos 2t
et
sin 2t
3et
sin 2t


 .
Pri výpočte sme využili Eulerovu identitu
e(1±2i) t
= et
(cos 2t ± i sin 2t).
Príslušná fundamentálna matica Y (t) systému v zadaní má potom pre každé
t ∈ (−∞, ∞) tvar
Y (t) =



0 −2et
cos 2t 2et
cos 2t
et
et
cos 2t et
sin 2t
−et
3et
cos 2t 3et
sin 2t


 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Metóda vlastných vektorov
Nasledujúci spôsob výpočtu fundamentálneho systému riešení rovnice (32) je
založený na nasledujúcom pozorovaní. Ak λ ∈ C je vlastné číslo matice A a
v ∈ Cn
je k nemu prislúchajúci vlastný vektor matice A, t.j., platí
Av = λv ⇐⇒ (A − λI) v = 0,
potom n-vektorová funkcia x(t) = eλt
v je riešením systému (32) na (−∞, ∞).
To vyplýva z nasledujúceho jednoduchého výpočtu
x′
(t) = eλt
v
′
= eλt
λ v = eλt
Av = A(t) eλt
v = Ax(t).
Poznámka 8
Lineárne nezávislým vlastným vektorom matice A, ktoré prislúchajú
rovnakému vlastnému číslu, odpovedajú lineárne nezávislé riešenia
systému.
Lineárne nezávislým vlastným vektorom matice A, ktoré prislúchajú
rôznym vlastným číslam, odpovedajú lineárne nezávislé riešenia systému.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Násobnosť vlastného čísla λ matice A ako koreňa charakteristického polynómu
matice A sa nazýva algebraická násobnosť m(λ) vlastného čísla λ. Maximálny
počet lineárne nezávislých vlastných vektorov matice A, ktoré prislúchajú
danému vlastnému číslu λ, sa označuje ako geometrická násobnosť p(λ)
vlastného čísla λ. Vo všeobecnosti platí nerovnosť
1 ≤ p(λ) ≤ m(λ). (45)
V prípade, ak p(λ) < m(λ), vlastné číslo λ sa nazýva defektné. V opačnom
prípade, t.j., ak platí p(λ) = m(λ), hovoríme o nedefektnom vlastnom čísle λ
matice A. Ďalej, ak λ1, . . . , λr sú všetky rôzne vlastné čísla matice A, potom
m(λ1) + · · · + m(λr) = n.
Hľadanie fundamentálneho systému riešení rovnice (32) pre maticu A s iba
nedefektnými vlastnými číslami sa teda redukuje na zistenie všetkých lineárne
nezávislých vlastných vektorov matice A (ich počet je v tomto prípade n).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 12
Nájdime všeobecné riešenie systému
x′
=
1 −2
−1 2
x.
Matica A má dve jednoduché vlastné čísla λ1 = 0 a λ2 = 3, pretože
det(A − λI) = λ(λ − 3). Číslu λ1 = 0 odpovedá jeden lineárne nezávislý
vlastný vektor v1 = (2, 1)T
, a následne riešenie rovnice v zadaní tvaru
e0t
(2, 1)T
= (2, 1)T
.
Podobne, vlastnému číslu λ2 = 3 odpovedá jeden lineárne nezávislý vlastný
vektor v2 = (1, −1)T
a riešenie tvaru
e3t
(1, −1)T
= (e3t
, −e3t
)T
.
Všeobecné riešenie rovnice v zadaní má potom na intervale (−∞, ∞) tvar
x(t) = c1
2
1
+ c2
e3t
−e3t =
2c1 + c2e3t
c1 − c2e3t .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Zovšeobecnené vlastné vektory
Ak matica A má aspoň jedno defektné vlastné číslo, potom maximálny počet
jej lineáne nezávislých vlastných vektorov je ostro menší než n. Postupom
použitým v predchádzajúcom príklade teda nezískame úplný fundamentálny
systém riešení rovnice (32). Chýbajúce lineárne nezávislé riešenia zostrojíme
pomocou tzv. zovšeobecnených vlastných vektorov matice A.
Definícia 3
Nech A je reálna matica rádu n a nech λ ∈ C je jej vlastné číslo. Pre dané
r ∈ N sa vektor vr ∈ Cn
nazýva zovšeobecnený vlastný vektor rádu r matice A
prislúchajúci vlastnému číslu λ, ak platí
(A − λI)r
vr = 0 a súčasne (A − λI)r−1
vr = 0. (46)
Ak vr je zovšeobecnený vlastný vektor rádu r matice A prislúchajúci vlastnému
číslu λ, potom konečná postupnosť vektorov v1, v2, · · · , vr definovaných ako
v1 = (A−λI)r−1
vr, v2 = (A−λI)r−2
vr, · · · , vr−1 = (A−λI)vr, vr,
sa nazýva reťazec rádu r zovšeobecnených vlastných vektorov generovaný vr.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Každý vektor vp = (A − λI)r−p
vr, 1 ≤ p ≤ r, obsiahnutý v reťazci tvorenom
vektorom vr je zovšeobecnený vlastný vektor rádu p matice A prislúchajúci
vlastnému číslu λ, nakoľko platí
(A − λI)p
vp = (A − λI)p
(A − λI)r−p
vr = (A − λI)r
vr = 0,
(A − λI)p−1
vp = (A − λI)p−1
(A − λI)r−p
vr = (A − λI)r−1
vr = 0.
Postupnosť v1, v2, · · · , vp je potom (pod)reťazec rádu p zovšeobecnených
vlastných vektorov generovaný vektorom vp.
Veta 13
Pre každú reálnu maticu A rádu n platia nasledujúce tvrdenia.
1 Každý reťazec matice A je tvorený lineárne nezávislými vektormi.
2 Reťazce matice A generované lineárne nezávislými zovšeobecnenými
vlastnými vektormi, ktoré prislúchajú jednému vlastnému číslu, sú lineárne
nezávislé.
3 Reťazce matice A generované zovšeobecnenými vlastnými vektormi, ktoré
prislúchajú rôznym vlastným číslam, sú lineárne nezávislé.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Fundamentálny systém riešení
Veta 14
Nech A je reálna matica rádu n a nech λ ∈ C je jej vlastné číslo. Nech
v1, v2, · · · , vr je nejaký reťazec rádu r zovšeobecnených vlastných vektorov
matice A odpovedajúci vlastnému číslu λ. Potom vektorové funkcie
x1(t) = eλt
v1,
x2(t) = eλt
(v2 + tv1),
...
xp(t) = eλt
vp + tvp−1 +
t2
2!
vp−2 + · · · +
tp−1
(p − 1)!
v1 , (47)
...
xr(t) = eλt
vr + tvr−1 +
t2
2!
vr−2 + · · · +
tr−1
(r − 1)!
v1 ,
sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (32) na intervale (−∞, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 15
Nech A je reálna matica rádu n a nech λ ∈ C je jej vlastné číslo s algebraickou
násobnosťou m(λ). Potom existuje m(λ) lineárne nezávislých zovšeobecnených
vlastných vektorov matice A prislúchajúcich vlastnému číslu λ. Tieto vektory
sa dajú vhodne rozdeliť do navzájom disjunktných reťazcov.
Dôsledkom Viet 15, 14 a 13 je skutočnosť, že každá reálna matica A rádu n
má práve n lineárne nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov, pomocou
ktorých vieme podľa (47) zostrojiť úplný fundamentálny systém rovnice (32).
V nasledujúcom sa preto zameriame na jednu metódu konštrukcie všetkých
lineárne nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov reálnej matice A.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Weyrova teória charakteristických čísiel matice
Nech A je matica rádu n a nech λ ∈ C je vlastné číslo matice A s algebraickou
násobnosťou m(λ). Uvažujme nasledovnú postupnosť matíc
(A − λI)0
= I, (A − λI)1
= A − λI, (A − λI)2
, · · · , (A − λI)l
, · · · ,
a k nej prislúchajúcu postupnosť ich hodností
n = h0, h1, h2, · · · , hl, · · · . (48)
Pomocou Jordanovho rozkladu vo Vete 11 sa dá ukázať, že postupnosť (48) je
ostro klesajúca s eventuálnou hodnotou n − m(λ), t.j., existuje najmenší index
k taký, že platí
n = h0 > h1 > h2 > · · · > hk−1 > hk = n − m(λ), (49)
a hl = n − m(λ) pre každé l > k. To znamená, že nulity νl = n − hl matíc
(A − λI)l
(t.j., dimenzie jadier matíc (A − λI)l
) pre l = 0, . . . , k spĺňajú
0 = ν0 < ν1 < ν2 < · · · < νk−1 < νk = m(λ). (50)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Prirodzené čísla σl definované
σl := νl − νl−1, l = 1, . . . , k, (51)
sa nazývajú Weyrove charakteristiky (charakteristické čísla) matice A
prislúchajúce vlastnému číslu λ. Z (51) ihneď vyplýva, že číslo σl vyjadruje
celkový počet lineárne nezávislých reťazcov rádu l zovšeobecnených vlastných
vektorov matice A, odpovedajúcich vlastnému číslu λ. A keďže všetky takéto
reťazce obsahujú podreťazce rádu l − 1, ktoré sú opäť lineárne nezávislé, máme
σl−1 ≥ σl pre každé l = 1, . . . , k. Platí teda
σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σk−1 ≥ σk > 0, (52)
σ1 + σ2 + · · · + σk−1 + σk = νk − ν0 = m(λ). (53)
Poznamenajme, že rovnosť (53) ako aj vyššie uvedené skutočnosti sú v súlade s
výsledkom Vety 15. Lineárne nezávislé zovšeobecnené vlastné vektory matice A
odpovedajúce vlastnému číslu λ sa dajú vhodne usporiadať do tzv. Weyrovej
tabuľky, kde stĺpce predstavujú jednotlivé lineárne nezávislé reťazce a riadky
obsahujú lineárne nezávislé zovšeobecnené vlastné vektory rovnakého rádu.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov
v1,1 v1,2 v1,3 · · · v1,σk · · · v1,σ3 · · · v1,σ2 · · · v1,σ1
v2,1 v2,2 v2,3 · · · v2,σk · · · v2,σ3 · · · v2,σ2
v3,1 v3,2 v3,3 · · · v3,σk · · · v3,σ3
...
...
... · · ·
...
vk,1 vk,2 vk,3 · · · vk,σk
(54)
Pri zostavovaní Weyrovej tabuľky zovšeobecnených vlastných vektorov určíme
najprv najspodnejšie vektory v každom stĺpci, t.j., vektory
vk,1, · · · , vk,σk
,
vk−1,σk+1, · · · , vk−1,σk−1
,
...
vl,σl+1+1, · · · , vl,σl
, (55)
...
v2,σ3+1, · · · , v2,σ2 ,
v1,σ2+1, · · · , v1,σ1 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Napr. posledných σl − σl+1 vektorov vl,σl+1+1, · · · , vl,σl
v l-tom riadku
tabuľky stanovíme ako niektoré lineárne nezávislé riešenia sústavy
(A − λI)l
v = 0, (A − λI)l−1
v = 0.
Násobením vektorov v (55) mocninami matice A − λI postupne dostaneme
ostatné vektory Weyrovej tabuľky (54). Jednotlivé vektory v (55) volíme tak,
aby všetky postupne vznikajúce vektory tabuľky boli lineárne nezávislé. Postup
ilustrujeme na konkrétnych príkladoch. Poznamenajme, že sústava lineárne
nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktoré odpovedajú
danému vlastnému číslu λ, nie je určená jednoznačne, avšak pre konštrukciu
úplného fundamentálneho systému riešení rovnice (32) podľa Vety 14 nezáleží
na jej konkrétnom výbere.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 13
Uvažujme systém
x′
=




4 0 1 0
2 2 3 0
−1 0 2 0
4 0 1 2



 x.
Matica A má dve dvojnásobné vlastné čísla λ1 = 3 a λ2 = 2, nakoľko
det(A − λI) = (λ − 3)2
(λ − 2)2
.
Pre λ1 = 3 je teda m = 2, n − m = 4 − 2 = 2 a h0 = n = 4. Ďalej máme
A − 3I =




1 0 1 0
2 −1 3 0
−1 0 −1 0
4 0 1 −1



 , (A − 3I)2
=




0 0 0 0
−3 1 −4 0
0 0 0 0
−1 0 2 1



 .
Platí h1 = 3 a h2 = 2, a teda index k = 2. Príslušná postupnosť nulít je
ν0 = 0 < ν1 = 1 < ν2 = 2,
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 13
ktorá dáva dve Weyrove charakteristiky σ1 = ν1 − ν0 = 1 a σ2 = ν2 − ν1 = 1.
Weyrova tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov pre vlastné číslo λ1 = 3
bude teda mať k = 2 riadky, pričom v prvom riadku bude σ1 = 1 vektor a v
druhom riadku bude σ2 = 1 vektor
v1,1
v2,1
Vektor v2,1 spĺňa (A − 3I)2
v2,1 = 0 a (A − 3I) v2,1 = 0, teda napríklad
v2,1 = (0, 4, 1, −1)T
.
Pre vektor v1,1 potom platí v1,1 = (A − 3I) v2,1, teda v1,1 = (1, −1, −1, 2)T
.
Vlastnému číslu λ1 teda odpovedajú dve lineárne nezávislé vektorové riešenia
x1(t) = eλ1t
v1,1 =




e3t
−e3t
−e3t
2e3t



 , x2(t) = eλ1t
(v2,1 + tv1,1) =




te3t
−(t − 4) e3t
−(t − 1) e3t
(2t − 1) e3t



 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 13
Podobne pre λ2 = 2 je m = 2, n − m = 4 − 2 = 2 a h0 = n = 4. Ďalej máme
A − 2I =




2 0 1 0
2 0 3 0
−1 0 0 0
4 0 1 0



 .
Platí h1 = 2, a teda index k = 1. Príslušná postupnosť nulít je
ν0 = 0 < ν1 = 2,
ktorá dáva jednu Weyrovu charakteristiku σ1 = ν1 − ν0 = 2. Weyrova tabuľka
zovšeobecnených vlastných vektorov pre vlastné číslo λ2 = 2 bude teda mať
k = 1 riadok s σ1 = 2 vektormi
v1,1 v1,2
Vektory v1,1 a v1,2 spĺňajú (A − 2I) v1,1 = 0 = (A − 2I) v1,2 a v1,1 = 0,
v1,2 = 0. Sú to teda lineárne nezávislé vlastné vektory odpovedajúce vlastnému
číslu λ2 = 2. Výpočtom napríklad dostaneme
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 13
v1,1 = (0, 1, 0, 0)T
, v1,2 = (0, 0, 0, 1)T
.
Vlastnému číslu λ2 teda odpovedajú dve lineárne nezávislé vektorové riešenia
x3(t) = eλ2t
v1,1 =




0
e2t
0
0



 , x4(t) = eλ2t
v1,2 =




0
0
0
e2t



 .
Nakoniec, fundamentálna matica systému v zadaní má tvar
Y (t) = (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)) =




e3t
te3t
0 0
−e3t
−(t − 4) e3t
e2t
0
−e3t
−(t − 1) e3t
0 0
2e3t
(2t − 1) e3t
0 e2t



 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 14
Uvažujme systém
x′
=


4 −1 0
3 1 −1
1 0 1

 x.
Matica A má jedno trojnásobné vlastné čísla λ = 2, nakoľko
det(A − λI) = −(λ − 2)3
.
Teda m = 3, n − m = 3 − 3 = 0 a h0 = n = 3. Ďalej máme
A − 2I =


2 −1 0
3 −1 −1
1 0 −1

 , (A − 2I)2
=


1 −1 1
2 −2 2
1 −1 1

 , (A − 2I)3
= 0.
Platí h1 = 2, h2 = 1, h3 = 0, a teda index k = 3. Príslušná postupnosť nulít je
ν0 = 0 < ν1 = 1 < ν2 = 2 < ν3 = 3,
ktorá dáva tri Weyrove charakteristiky σ1 = 1, σ2 = 1 a σ3 = 1. Weyrova
tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov bude teda mať k = 3 riadky,
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 14
pričom v každom z nich bude jeden vektor
v1,1
v2,1
v3,1
Vektor v3,1 spĺňa (A − 2I)3
v3,1 = 0 a (A − 2I)2
v3,1 = 0, teda napríklad
v1,2 = (0, 0, 1)T
. Pre vektor v2,1 potom platí v2,1 = (A − 2I) v3,1, teda
v2,1 = (0, −1, −1)T
, a pre vektor v1,1 platí v1,1 = (A − 2I)2
v3,1, teda
v1,1 = (1, 2, 1)T
. Danému vlastnému číslu teda odpovedajú tri lineárne
nezávislé vektorové riešenia
x1(t) = eλt
v1,1 =



e2t
2e2t
e2t


 , x2(t) = eλt
(v2,1 + tv1,1) =



te2t
(2t − 1) e2t
(t − 1) e2t


 ,
x3(t) = eλt
v3,1 + tv2,1 +
t2
2
v1,1 =




t2
2
e2t
(t2
− t) e2t
t2
2
− t + 1 e2t



 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 14
Fundamentálna matica systému v zadaní má potom tvar
Y (t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) =




e2t
te2t t2
2
e2t
2e2t
(2t − 1) e2t
(t2
− t) e2t
e2t
(t − 1) e2t t2
2
− t + 1 e2t



 .
Príklad 15
Uvažujme systém
x′
=


2 −1 −1
2 −1 −2
−1 1 2

 x.
Matica A má jedno trojnásobné vlastné čísla λ = 1, nakoľko
det(A − λI) = −(λ − 1)3
.
Teda m = 3, n − m = 3 − 3 = 0 a h0 = n = 3. Ďalej máme
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 15
A − I =


1 −1 −1
2 −2 −2
−1 1 1

 , (A − I)2
= 0.
Platí h1 = 1 a h2 = 0, a teda index k = 2. Príslušná postupnosť nulít je
ν0 = 0 < ν1 = 2 < ν2 = 3,
ktorá dáva dve Weyrove charakteristiky σ1 = 2 a σ2 = 1. Weyrova tabuľka
zovšeobecnených vlastných vektorov bude teda mať k = 2 riadky, pričom v
prvom riadku budú σ1 = 2 vektory a v druhom riadku bude σ2 = 1 vektor
v1,1 v1,2
v2,1
Vektor v2,1 spĺňa (A − I)2
v2,1 = 0, (A − I) v2,1 = 0, napr. v2,1 = (1, 1, −1)T
.
Pre vektor v1,1 potom platí v1,1 = (A − I) v2,1, teda v1,1 = (1, 2, −1)T
.
Vektor v1,2 je vlastný vektor, t.j., (A − I) v1,2 = 0, lineárne nezávislý s v1,1 a
v2,1. Takýmto vektorom je napr. v1,2 = (0, 1, −1)T
.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 15
Vlastnému číslu λ = 1 teda odpovedajú tri lineárne nezávislé vektorové riešenia
x1(t) = eλt
v1,1 =



et
2et
−et


 , x2(t) = eλt
(v2,1 + tv1,1) =



(t + 1) et
(2t + 1) et
−(t + 1) et


 ,
x3(t) = eλt
v1,2 =



0
et
−et


 .
Príslušná fundamentálna matica rovnice v zadaní má potom tvar
Y (t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) =



et
(t + 1) et
0
2et
(2t + 1) et
et
−et
−(t + 1) et
−et


 .