Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení
Motivace:
K nejčastěji používaným statistickým metodám patří konstrukce intervalů spolehlivosti pro parametry
normálního rozložení či testování hypotéz o těchto parametrech. Normální rozložení je
charakterizováno dvěma parametry – střední hodnotou µ a rozptylem
2
σ . Budeme tedy řešit
úlohy, které se týkají těchto dvou parametrů. K tomu slouží např. jednovýběrový z-test, t-test či
test o rozptylu. Můžeme také mít k dispozici náhodný výběr z dvourozměrného rozložení s vektorem
středních hodnot 





µ
µ
2
1
a naším úkolem bude posoudit rozdílnost středních hodnot 21,µµ .
K řešení tohoto problému slouží párový t-test.
Rozložení statistik odvozených z výběrového průměru a výběrového rozptylu
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(µ, σ2
). Pak platí
a) M ~ N(µ, n
2
σ
), tedy U =
n
M
σ
µ−
~ N(0, 1).
(Pivotová statistika U slouží k řešení úloh o µ, když σ2
známe.)
b) K = 2
2
S)1n(
σ
−
~ χ2
(n-1).
(Pivotová statistika K slouží k řešení úloh o σ2
, když µ neznáme.)
c) 2
n
1i
2
i )X(
σ
µ−∑
=
~ χ2
(n).
(Tato pivotová statistika slouží k řešení úloh o σ2
, když µ známe.)
d) T =
n
S
M µ−
~ t(n-1).
(Pivotová statistika T slouží k řešení úloh o µ, když σ2
neznáme.)
Vysvětlení
ad a) Výběrový průměr M je lineární kombinace náhodných veličin s normálním rozložením, má
tedy normální rozložení s parametry E(M) = µ, D(M) = σ2
/n. Statistika U se získá standardizací M.
ad b) Vhodnou úpravou výběrového rozptylu S2
, kde použijeme obrat Xi - M = (Xi - µ) – (M - µ),
lze statistiku K= 2
2
S)1n(
σ
−
vyjádřit jako součet kvadrátů n - 1 stochasticky nezávislých náhodných
veličin se standardizovaným normálním rozložením. Tento součet se řídí rozložením χ2
(n-1).
ad c) Statistika 2
n
1i
2
i )X(
σ
µ−∑
=
je součet kvadrátů n stochasticky nezávislých náhodných veličin se
standardizovaným normálním rozložením, řídí se tedy rozložením χ2
(n).
ad d) U ~ N(0, 1), K ~ χ2
(n-1) jsou stochasticky nezávislé, protože M a S2
jsou stochasticky nezávislé,
tudíž statistika
n
S
M
1n
K
U
T
µ−
=
−
=
~ t(n-1).
Příklad: Hmotnost balíčku krystalového cukru baleného na automatické lince se řídí normálním
rozložením se střední hodnotou 1002 g a směrodatnou odchylkou 8 g. Kontrolor náhodně vybírá
9 balíčků z jedné série a zjišťuje, zda jejich průměrná hmotnost je větší než 999 g. Pokud ne,
podnik musí zaplatit pokutu 20 000 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že podnik bude muset zaplatit
pokutu?
Řešení:
X ~ N(1002, 64), M ~ 





9
64
,1002N
( ) ( ) 12924,087076,01125,11
8
9
1
8
9
8
9
UP
9
64
1002999
9
64
1002M
P999MP =−=Φ−=





Φ−=




 −
Φ=





−≤=












−
≤
−
=≤
Pravděpodobnost, že podnik bude platit pokutu, je asi 12,9%.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Využijeme toho, že STATISTICA pomocí funkce INormal(x;mu;sigma) umí vypočítat hodnotu
distribuční funkce normálního rozložení se střední hodnotou mu a směrodatnou odchylkou sigma.
Tedy ( ) ( )999999MP Φ=≤ , kde Ф je distribuční funkce rozložení N(1002, 64/9).
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu. Dvakrát klikneme na název
proměnné Prom1. Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme = INormal(999;1002;8/3).
Vzorce pro meze 100(1-α)% empirických intervalů spolehlivosti pro µ a σ2
a) Interval spolehlivosti pro µ, když σ2
známe (využití pivotové statistiky U)
Oboustranný: (d, h) = (m -
n
σ
u1-α/2, m +
n
σ
u1-α/2)
Levostranný: (d, ∞) = (m -
n
σ
u1-α, ∞)
Pravostranný: (-∞, h) = (-∞, m +
n
σ
u1-α)
b) Interval spolehlivosti pro µ, když σ2
neznáme (využití pivotové statistiky T)
Oboustranný: (d, h) = (m -
n
s
t1-α/2(n-1), m +
n
s
t1-α/2(n-1))
Levostranný: (d, ∞) = (m -
n
s
t1-α(n-1), ∞)
Pravostranný: (-∞, h) = (-∞, m +
n
s
t1-α(n-1))
c) Interval spolehlivosti pro σ2
, když µ neznáme (využití pivotové statistiky K)
Oboustranný: (d, h) = 







−χ
−
−χ
−
αα− )1n(
s)1n(
,
)1n(
s)1n(
2/
2
2
2/1
2
2
Levostranný: (d, ∞) = 







∞
−χ
−
α−
,
)1n(
s)1n(
1
2
2
Pravostranný: (-∞, h) = 







−χ
−
∞−
α )1n(
s)1n(
, 2
2
d) Interval spolehlivosti pro σ2
, když µ známe (využití pivotové statistiky 2
n
1i
2
i )X(
σ
µ−∑=
)
Oboustranný: (d, h) =












χ
µ−
χ
µ−
α
=
α−
=
∑∑
)n(
)x(
,
)n(
)x(
2/
2
n
1i
2
i
2/1
2
n
1i
2
i
Levostranný: (d, ∞) =












∞
χ
µ−
α−
=
∑
,
)n(
)x(
1
2
n
1i
2
i
Pravostranný: (-∞, h) =












χ
µ−
∞−
α
=
∑
)n(
)x(
, 2
n
1i
2
i
Příklad: 10 krát nezávisle na sobě byla změřena jistá konstanta µ. Výsledky měření byly: 2 1,8 2,1 2,4 1,9 2,1 2 1,8 2,3
2,2. Tyto výsledky považujeme za číselné realizace náhodného výběru X1, ..., X10 z rozložení N(µ, σ2
), kde parametry µ, σ2
neznáme. Najděte 95% empirický interval spolehlivosti jak pro µ, tak pro σ2
a to
a) oboustranný,
b) levostranný,
c) pravostranný.
Řešení: m = 2,06, s2
= 0,0404, s = 0,2011, α = 0,05, t0,975(9) = 2,2622, t0,95(9) = 1,8331, χ2
0,975(9) = 19,023, χ2
0,025(9) = 2,7,
χ2
0,95(9) = 16,919, χ2
0,05(9) = 3,325
ad a) Oboustranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ
d = m -
n
s
t1-α/2(n-1) = 2,06 -
10
2011,0
2,2622 = 1,92
h = m +
n
s
t1-α/2(n-1) = 2,06 +
10
2011,0
2,2622 = 2,20
1,92 < µ < 2,20 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Oboustranný interval spolehlivosti pro rozptyl σ2
( )
( )
0191,0
023,19
0404,09
1n
s1n
d
2/1
2
2
=
⋅
=
−χ
−
=
α−
( )
( )
1347,0
7,2
0404,09
1n
s1n
h
2/
2
2
=
⋅
=
−χ
−
=
α
0,0191 < σ2
< 0,1347 s pravděpodobností aspoň 0,95.
ad b) Levostranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ
d = m -
n
s
t1-α(n-1) = 2,06 -
10
2011,0
1,8331 = 1,94
1,94 < µ s pravděpodobností aspoň 0,95.
Levostranný interval spolehlivosti pro rozptyl σ2
( )
( )
0215,0
919,16
0404,09
1n
s1n
d
1
2
2
=
⋅
=
−χ
−
=
α−
σ2
> 0,0215 s pravděpodobností aspoň 0,95.
ad c) Pravostranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ
h = m +
n
s
t1-α(n-1) = 2,06 +
10
2011,0
1,8331 = 2,18
µ < 2,18 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Pravostranný interval spolehlivosti pro rozptyl σ2
( )
( )
1094,0
325,3
0404,09
1n
s1n
h 2
2
=
⋅
=
−χ
−
=
α
σ2
< 0,1094 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o jedné proměnné X a 10 případech. Do proměnné X napíšeme
dané hodnoty.
Statistika – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní
výsledky – zaškrtneme Meze spolehl. prům. a Meze sp. směr. odch. (ostatní volby zrušíme)
– pro oboustranný 95% interval spolehlivosti ponecháme implicitní hodnotu pro Interval
95,00, pro jednostranné intervaly změníme hodnotu na 90,00.
Výsledky pro oboustranné 95% intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu µ, pro směrodatnou
odchylku σ a rozptyl σ2
:
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
95,000
Spolehlivost
Sm.Odch.
-95,000%
Spolehlivost
Sm.Odch.
+95,000%
NProm1
=v3 ^2
NProm2
=v4 ^2
X 1,916136 2,203864 0,138329 0,367145 0,019135 0,134795
Vidíme, že
1,92 < µ < 2,20 s pravděpodobností aspoň 0,95,
0,1383 < σ < 0,3671 s pravděpodobností aspoň 0,95.
0,0191 < σ2
< 0,1348 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Výsledky pro jednostranné 95% intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu µ, pro směrodatnou
odchylku σ a rozptyl σ2
:
Proměnná
Int. spolehl.
-90,000%
Int. spolehl.
90,000
Spolehlivost
Sm.Odch.
-90,000%
Spolehlivost
Sm.Odch.
+90,000%
NProm1
=v3^2
NProm2
=v4^2
X 1,943421 2,176579 0,146678 0,330862 0,021514 0,10947
Vidíme, že
µ > 1,94 s pravděpodobností aspoň 0,95,
µ < 2,20 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ > 0,1467 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ < 0,3309 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ2
> 0,0215 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ2
< 0,1095 s pravděpodobností aspoň 0,95,
Jednotlivé typy testů pro parametry normálního rozložení
a)Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr N(µ, σ2
), kde σ2
známe. Nechť n ≥ 2 a c je konstanta.
Test H0: µ = c proti H1: µ ≠ c se nazývá jednovýběrový z-test.
b)Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr N(µ, σ2
), kde σ2
neznáme. Nechť n ≥ 2 a c je konstanta.
Test H0: µ = c proti H1: µ ≠ c se nazývá jednovýběrový t-test.
c)Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr N(µ, σ2
), kde µ neznáme. Nechť n ≥ 2 a c je konstanta.
Test H0: σ2
= c proti H1: σ2
≠ c se nazývá test o rozptylu.
Provedení testů o parametrech µ, σ2
pomocí kritického oboru
a) Provedení jednovýběrového z-testu
Vypočteme realizaci testového kritéria
n
cm
t0
σ
−
=
. Stanovíme kritický obor W. Pokud t0 ∈ W,
H0 zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: µ = c proti H1: µ ≠ c. Kritický obor má tvar:
)( ∞∪−∞−= α−α− ,uu,W 2/12/1 .
Levostranný test: Testujeme H0: µ = c proti H1: µ < c. Kritický obor má tvar: ( α−−∞−= 1u,W .
Pravostranný test: Testujeme H0: µ = c proti H1: µ > c. Kritický obor má tvar: )∞= α− ,uW 1 .
b) Provedení jednovýběrového t-testu
Vypočteme realizaci testového kritéria
n
s
cm
t0
−
=
. Stanovíme kritický obor W. Pokud t0 ∈ W, H0
zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: µ = c proti H1: µ ≠ c. Kritický obor má tvar:
( ) ( ) )( ∞−∪−−∞−= α−α− ,1nt1nt,W 2/12/1 .
Levostranný test: Testujeme H0: µ = c proti H1: µ < c. Kritický obor má tvar: ( )( 1nt,W 1 −−∞−= α− .
Pravostranný test: Testujeme H0: µ = c proti H1: µ > c. Kritický obor má tvar: ( ) )∞−= α− ,1ntW 1 .
c) Provedení testu o rozptylu
Vypočteme realizaci testového kritéria
( )
c
s1n
t
2
0
−
= . Stanovíme kritický obor W. Pokud t0 ∈ W,
H0 zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: σ2
= c proti H1: σ2
≠ c. Kritický obor má tvar:.
( ) ( ) )∞−χ∪−χ= α−α ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
Levostranný test: Testujeme H0: σ2
= c proti H1: σ2
< c. Kritický obor má tvar: ( )1n,0W 2
−χ= α .
Pravostranný test: Testujeme H0: σ2
= c proti H1: σ2
> c. Kritický obor má tvar: ( ) )∞−χ= α− ,1nW 1
2
.
Příklad: Podle údajů na obalu čokolády by její čistá hmotnost měla být 125 g. Výrobce dostal
několik stížností od kupujících, ve kterých tvrdili, že hmotnost čokolád je nižší než
deklarovaných 125 g. Z tohoto důvodu oddělení kontroly náhodně vybralo 50 čokolád a zjistilo,
že jejich průměrná hmotnost je 122 g a směrodatná odchylka 8,6 g. Za předpokladu, že hmotnost
čokolád se řídí normálním rozložením, můžeme na hladině významnosti 0,01 považovat stížnosti
kupujících za oprávněné?
Řešení: X1, ..., X50 je náhodný výběr z N(µ, σ2
). Testujeme hypotézu H0: µ = 125 proti
levostranné alternativě H1: µ < 125.
Protože neznáme rozptyl σ2
, použijeme jednovýběrový t-test.
Realizace testové statistiky:
4667,2
50
6,8
125122
n
s
cm
t0 −=
−
=
−
=
.
Kritický obor ( )( ( )( ( 4049,2,49t,1nt,W 99,01 −∞−=−∞−=−−∞−= α− .
Jelikož testová statistika se realizuje v kritickém oboru, zamítáme nulovou hypotézu na hladině
významnosti 0,01. Stížnosti kupujících tedy lze považovat za oprávněné.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl
mezi dvěma průměry (normální rozdělení) – zaškrtneme Výběrový průměr vs. Střední hodnota a
zvolíme jednostr. – do políčka Pr1 napíšeme 122, do políčka SmOd1 napíšeme 8,6, do políčka
N1 napíšeme 50, do políčka Pr2 napíšeme 125 - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,0086, tedy
zamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,01
Příklad
Bylo prováděno sledování obsahu vitamínu C ve vzorcích mrkve, která byla zakoupena na
biofarmě. Celkem bylo provedeno analytické stanovení obsahu vitamínu C ve 20 vzorcích
mrkve a byly zjištěny následující koncentrace (v mg/kg):
41,1; 32,6; 28,9; 19,6; 23,6; 35,0; 36,7; 45,9; 49,6; 33,6; 17,8; 24,6; 29,6; 47,7; 41,6; 39,8; 15,6;
34,1; 44,0 a 55,8
Průměrný obsah vitamínu C v mrkvi, který je uváděn v literatuře, je 35 mg/kg.
Liší se obsah vitamínu C stanoveného ve vzorcích mrkve z biofarmy od průměrné hodnoty
uváděné v literatuře?
Řešení: X1, ..., X20 je náhodný výběr z N(µ, σ2
). Testujeme hypotézu H0: µ = 35 proti
alternativě H1: µ ≠ 35.
Jde o úlohu na jednovýběrový t-test. Průměr a směrodatná odchylka: m = 34,86, s = 11,0872
Realizace testové statistiky:
0565,0
20
0872,11
3586,34
n
s
cm
t0 −=
−
=
−
=
.
Kritický obor je
( )( ( ) ) ( )( ( ) )
( )∞∪−∞−=
=∞∪−∞−=∞−∪−−∞−= α−α−
,093,2093,2,
,19t19t,,1nt1nt,W 975,0975,02/12/1
Testová statistika se nerealizuje v kritickém oboru, tedy hypotézu H0: µ = 35 nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme datový soubor mrkev.sta s jednou proměnnou X a 20 případy. V proměnné X jsou
zapsány zjištěné hodnoty obsahu vitamínu C.
Nejprve pomocí N-P grafu a Shapirova – Wilkova testu ověříme, zda data pocházejí
z normálního rozložení.
Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – Proměnná X – OK - odškrtneme
Neurčovat průměrnou pozici svázaných pozorování – zaškrtneme Shapiro – Wilkův test - OK.
Normální p-graf z X
Tabulka1 1v*20c
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Pozorovaný kvantil
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Oček.normál.hodnoty
X: SW-W = 0,9816; p = 0,9535
Body v N-P grafu jsou blízko ideální přímky.
S-W test poskytl p-hodnotu 0,9535, tedy na hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu
o normalitě.
Provedení jednovýběrového t-testu:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – t-test, samost. vzorek – OK – Proměnné X – OK. Do Referenční
hodnoty napíšeme 35, na záložce Možnosti zaškrtneme Výpočet mezí spolehl. – Výpočet. Dostaneme
tabulku:
Test průměrů vůči referenční konstantě (hodnotě) (mrkev.sta)
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Sm.chyba Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
+95,000%
Referenční
konstanta
t SV p
X: obsah vitaminu C v mrkvi 34,86000 11,08719 20 2,479170 29,67104 40,04896 35,00000 -0,056471 19 0,955557
Test pomocí intervalu spolehlivosti: S pravděpodobností 95 % se neznámá střední hodnota obsahu
vitamínu C nachází v intervalu 29,67 mg/kg až 40,05 mg/kg. Protože referenční konstanta 35 mg/kg se
nachází v tomto 95% intervalu spolehlivosti, hypotézu H0: µ = 35 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Test pomocí p-hodnoty: Protože p-hodnota je 0,9556, což je větší než hladina významnosti 0,05, hypotézu
H0: µ = 35 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Náhodný výběr z dvourozměrného rozložení
Nechť 











n
n
1
1
Y
X
,,
Y
X
K je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení, přičemž n ≥ 2. Označíme
µ = µ1 - µ2 a zavedeme rozdílový náhodný výběr Z1 = X1 - Y1, ... , Zn = Xn-Yn, o němž
předpokládáme, že se řídí normálním rozložením.
Vypočteme ∑
=
=
n
1i
iZ
n
1
M , ( )∑
=
−=
n
1i
2
i
2
MZ
n
1
S .
Vzorec pro meze 100(1-α)% empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu
rozdílového náhodného výběru
Oboustranný: (d, h) = (m -
n
s
t1-α/2(n-1), m +
n
s
t1-α/2(n-1))
Levostranný: (d, ∞) = (m -
n
s
t1-α(n-1), ∞)
Pravostranný: (-∞, h) = (-∞, m +
n
s
t1-α(n-1))
Příklad: Dvěma rozdílnými laboratorními metodami se zjišťoval obsah chemické látky
v roztoku (v procentech). Bylo vybráno 5 vzorků a proměřeno oběma metodami. Výsledky
měření jsou obsaženy v tabulce:
číslo vzorku 1 2 3 4 5
1. metoda 2,3 1,9 2,1 2,4 2,6
2. metoda 2,4 2,0 2,0 2,3 2,5
Za předpokladu, že data mají normální rozložení, sestrojte 90% empirický interval spolehlivosti
pro rozdíl středních hodnot výsledků obou metod.
Řešení:
Přejdeme k rozdílovému náhodnému výběru, jehož realizace jsou: -0,1 -0,1 0,1 0,1 0,1.
Vypočteme m = 0,02, s2
= 0,012, s = 0,109545. Předpokládáme, že tato data pocházejí
z normálního rozložení N(µ, σ2
). Vypočteme meze 90% oboustranného intervalu spolehlivosti
pro µ při neznámém σ:
( ) ( ) 0844,01318,2
5
109545,0
02,04t
5
109545,0
02,01nt
n
s
md 95,02/1 −=−=−=−−= α−
( ) ( ) 1244,01318,2
5
109545,0
02,04t
5
109545,0
02,01nt
n
s
mh 95,02/1 =+=+=−+= α−
-0,0844 < µ < 0,1244 s pravděpodobností aspoň 0,9.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 5 případech. Do 1. proměnné X napíšeme
hodnoty pro 1. metodu, do 2. proměnné Y hodnoty pro 2. metodu a do 3. proměnné Z rozdíly
mezi X a Y.
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky, OK - Proměnné Z, Detailní
výsledky – zaškrtneme Meze spolehl. Prům. – Interval 90% - Výpočet. Dostaneme tabulku:
Popisné statistiky (chemicka latka)
Proměnná
Int. spolehl.
-90,000%
Int. spolehl.
90,000
Z -0,084439 0,124439
Vidíme tedy, že -0,0844 < µ < 0,1244 s pravděpodobností aspoň 0,9.
Párový t-test
Nechť 











n
n
1
1
Y
X
,,
Y
X
K je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení, přičemž 2n ≥ . Označíme
21 µ−µ=µ a zavedeme rozdílový náhodný výběr nnn111 YXZ,,YXZ −=−= K , jehož výběrový
průměr je ∑
=
=
n
1i
iZ
n
1
M a výběrový rozptyl je ( )∑=
−
−
=
n
1i
2
i
2
MZ
1n
1
S . Předpokládáme, že tento
náhodný výběr pochází z normálního rozložení. Test hypotézy o rozdílu středních hodnot 21 µ−µ
se nazývá párový t-test a provádí se stejně jako jednovýběrový t-test aplikovaný na rozdílový
náhodný výběr nnn111 YXZ,,YXZ −=−= K .
Provedení párového t-testu
Vypočteme realizaci testového kritéria
n
s
cm
t0
−
=
. Stanovíme kritický obor W. Pokud t0 ∈ W,
H0 zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: µ = c proti H1: µ ≠ c. Kritický obor má tvar:
( ) ( ) )( ∞−∪−−∞−= α−α− ,1nt1nt,W 2/12/1 .
Levostranný test: Testujeme H0: µ = c proti H1: µ < c. Kritický obor má tvar: ( )( 1nt,W 1 −−∞−= α− .
Pravostranný test: Testujeme H0: µ = c proti H1: µ > c. Kritický obor má tvar: ( ) )∞−= α− ,1ntW 1 .
Příklad: V následující tabulce jsou údaje o výnosnosti dosažené 12 náhodně vybranými firmami
při investování do mezinárodního podnikání (veličina X) a do domácího podnikání (veličina Y):
č.firmy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
X 101214121217 9 15 9 11 7 15
Y 11141511131610131117 9 19
(Výnosnost je vyjádřena v procentech a představuje podíl na zisku vložených investic za rok.)
Za předpokladu, že data pocházejí z dvourozměrného rozložení a jejich rozdíl se řídí normálním
rozložením, na hladině významnosti 0,1 testujte hypotézu, že neexistuje rozdíl mezi střední
hodnotou výnosnosti investic do mezinárodního a domácího podnikání proti oboustranné
alternativě.
Testování proveďte
a) pomocí intervalu spolehlivosti,
b) pomocí kritického oboru.
(Pro úsporu času máme uvedeny realizace výběrového průměru m = 3,1− a výběrového rozptylu
s2
= 78,4 rozdílového náhodného výběru Zi = Xi – Yi, i = 1, …, 12.)
Řešení:
Testujeme H0: µ = 0 proti H1: µ ≠ 0
ad a) 90% interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ při neznámém rozptylu σ2
má meze:
( ) 4677,27959,1
12
78,4
3,11nt
n
s
md 95,0 −=−−=−−=
( ) 1989,07959,1
12
78,4
3,11nt
n
s
mh 95,0 −=+−=−+=
Protože číslo c = 0 neleží v intervalu (-2,4677; -0,1989), H0 zamítáme na hladině významnosti
0,1.
ad b) Vypočítáme realizaci testové statistiky
11085,2
12
78,4
3,1
n
s
cm
t0 −=
−
=
−
=
Stanovíme kritický obor ( ) ( ) )( )( ∞∪−∞−=∞∪−∞−= ,7959,17959,1,,11t11t,W 95,095,0
Protože testová statistika se realizuje v kritickém oboru, nulovou hypotézu H0 zamítáme na
hladině významnosti 0,1.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o 2 proměnných a 12 případech. Do 1. proměnné X napíšeme
hodnoty pro mezinárodní podnikání, do 2. proměnné hodnoty pro domácí podnikání.
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – t-test pro závislé vzorky, OK - Proměnné X, Y – OK
– Výpočet. Dostaneme tabulku:
t-test pro závislé vzorky (investovani)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Rozdíl Sm.odch.
rozdílu
t sv p
X
Y
11,91667 2,937480
13,25000 3,048845 12 -1,33333 2,188122 -2,11085 11 0,058490
Vypočtenou p-hodnotu 0,05849 porovnáme se zvolenou hladinou významnosti α = 0,1. Protože
p ≤ α, zamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,1.
Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z alternativního rozložení
Motivace:
Předpokládáme, že provádíme n-krát nezávisle na sobě týž náhodný pokus a sledujeme výskyt
nějakého jevu, jehož pravděpodobnost nastoupení v libovolném z těchto n pokusů je rovna
neznámému parametru ϑ. Zavedeme náhodné veličiny n1 X,,X K , přičemž 1Xi = , když v i-tém
pokusu nastal sledovaný jev a 0Xi = jinak, n,,1i K= . Tyto náhodné veličiny tvoří náhodný
výběr z rozložení ( )ϑA . Pomocí tohoto náhodného výběru můžeme konstruovat interval
spolehlivosti pro neznámý parametr ϑ nebo testovat hypotézu o tomto parametru. Přitom jako
bodový odhad parametru ϑ slouží výběrový průměr ∑=
=
n
1i
iX
n
1
M , tj. relativní četnost výskytu
sledovaného jevu.
Opakování:
Alternativní rozložení: Náhodná veličina X udává počet úspěchů v jednom pokusu, přičemž
pravděpodobnost úspěchu je ϑ . Píšeme X ~ A(ϑ).
( )





=ϑ
=ϑ−
=π
jinak0
1xpro
0xpro1
x neboli ( )
( )


 =ϑ−ϑ
=π
−
jinak0
10,xpro1
x
x1x
Binomické rozložení: Náhodná veličina X udává počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných
pokusů, přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu ϑ . Píšeme X ~ Bi(n,ϑ ).
π(x) = ( )





=ϑ−ϑ





=π
−
jinak0
n,0,xpro)1(
x
n
x
xnx
K
E(X) = nϑ, D(X) = nϑ (1-ϑ)
(Alternativní rozložení je speciálním případem binomického rozložení pro n = 1.
Jsou-li X1, ..., Xn stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ A(ϑ ), i = 1, ..., n, pak X = ∑
=
n
1i
iX ~ Bi(n, ϑ ).)
Centrální limitní věta:
Jsou-li náhodné veličiny X1, …, Xn stochasticky nezávislé a všechny mají stejné rozložení se
střední hodnotou µ a rozptylem σ2
, pak pro velká n (n ≥ 30) lze rozložení součtu ∑=
n
1i
iX aproximovat
normálním rozložením N(nµ, nσ2
). Zkráceně píšeme ( )2
n
1i
i n,nNX σµ≈∑=
.
Pokud součet ∑=
n
1i
iX standardizujeme, tj. vytvoříme náhodnou veličinu n
nX
U
n
1i
i
n
σ
µ−
=
∑=
, pak
rozložení této náhodné veličiny lze aproximovat standardizovaným normálním rozložením.
Zkráceně píšeme Un ≈ N(0,1).
Asymptotické rozložení statistiky odvozené z výběrového průměru.
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení A(ϑ ) a nechť je splněna podmínka ( ) 91n >ϑ−ϑ .
Pak statistika ( )
n
1
M
U
ϑ−ϑ
ϑ−
=
konverguje v distribuci k náhodné veličině se standardizovaným
normálním rozložením. (Říkáme, že U má asymptoticky rozložení N(0,1) a píšeme U ≈ N(0,1).)
Vysvětlení:
Protože X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení A(ϑ ), bude mít statistika Yn = ∑
=
n
1i
iX (výběrový
úhrn) rozložení Bi(n, ϑ ). Yn má střední hodnotu E(Yn) = nϑ a rozptyl D(Yn) = ( )ϑ−ϑ 1n . Podle
centrální limitní věty se standardizovaná statistika ( )ϑ−ϑ
ϑ−
=
1n
nY
U n
asymptoticky řídí
standardizovaným normálním rozložením N(0,1). Pokud čitatele i jmenovatele podělíme n,
dostaneme vyjádření: ( ) ( ) ( )
( )1,0N
n
1
M
n
1
X
n
1
n
1n
n
Y
U
n
1i
i
2
n
≈
ϑ−ϑ
ϑ−
=
ϑ−ϑ
ϑ−
=
ϑ−ϑ
ϑ−
=
∑=
Vzorec pro meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti
pro parametr ϑ .
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametr ϑ jsou:
2/12/1
u
n
)m1(m
mh,u
n
)m1(m
md α−α−
−
+=
−
−= .
Vysvětlení:
Pokud rozptyl ( ) ( )
n
1
MD
ϑ−ϑ
= nahradíme odhadem
( )
n
M1M −
, konvergence náhodné veličiny
U k veličině s rozložením N(0,1) se neporuší. Tedy





 −
+<ϑ<
−
−=
=












<
−
ϑ−
<−≤α−Ξ∈ϑ∀
α−α−
α−α−
2/12/1
2/12/1
u
n
)M1(M
Mu
n
)M1(M
MP
u
n
)M1(M
M
uP1:
Příklad:
Náhodně bylo vybráno 100 osob a zjištěno, že 34 z nich nakupuje v internetových obchodech. Najděte 95%
asymptotický interval spolehlivosti pro pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba nakupuje
v internetových obchodech.
Řešení:
Zavedeme náhodné veličiny X1, ..., X100, přičemž Xi = 1, když i-tá osoba nakupuje v internetových obchodech
a Xi = 0 jinak, i = 1, ..., 100. Tyto náhodné veličiny tvoří náhodný výběr z rozložení A(ϑ ).
n = 100, m = 34/100, α = 0,05, u1-α/2 = u0,975 = 1,96.
Ověření podmínky nϑ (1- ϑ ) > 9: parametr ϑ neznáme, musíme ho nahradit výběrovým průměrem. Pak
100.0,34.0,66 = 22,44 > 9.
4328,096,1
100
)34,01(34,0
34,0h,2472,096,1
100
)34,01(34,0
34,0d =
−
+==
−
−= .
S pravděpodobností přibližně 0,95 tedy 0,2472 < ϑ < 0,4328. Znamená to, že s pravděpodobností přibližně
95% je v uvažované populaci nejméně 24,7% a nejvíce 43,3% osob, které nakupují v internetových obcho-
dech.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Analýza síly testu – Odhad intervalu – Jeden podíl, Z, Chí-kvadrát test – OK – Pozorovaný podíl
p: 0,34, Velikost vzorku: 100, Spolehlivost: 0,95 – Vypočítat.
Dostaneme tabulku:
Hodnota
Podíl vzorku p
Velikost vz. ve skup. (N)
Interval spolehlivosti
Meze spolehlivosti:
Pí (přesně):
Dolní mez
Horní mez
Pí (přibližně):
Dolní mez
Horní mez
Pí (původ.):
Dolní mez
Horní mez
0,3400
100,0000
0,9500
0,2482
0,4415
0,2501
0,4423
0,2472
0,4328
Zajímá nás výsledek uvedený v dolní části tabulky, tj. Pí (původ.). Zjišťujeme, že s pravděpodobností aspoň
0,95 se pravděpodobnost nákupu v internetových obchodech bude pohybovat v mezích 0,2472 až 0,4328.
Testování hypotézy o parametru ϑ
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení A(ϑ) a nechť je splněna podmínka ( ) 91n >ϑ−ϑ .
Na asymptotické hladině významnosti α testujeme hypotézu
H0: ϑ = c proti alternativě H1: ϑ ≠ c (resp. H1: ϑ < c resp. H1: ϑ > c).
Testovým kritériem je statistika
n
)c1(c
cM
T0
−
−
= , která v případě platnosti nulové hypotézy má
asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor má tvar ( )∞∪−∞−= α−α−
,uu,W 2/12/1
(resp.
( α−−∞−= 1u,W resp. )∞= α−
,uW 1
).
(Testování hypotézy o parametru ϑ lze samozřejmě provést i pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu
spolehlivosti nebo pomocí p-hodnoty.)
Příklad: Podíl zmetků při výrobě určité součástky činí ϑ = 0,01. Bylo náhodně vybráno 1000 výrobků a zjistilo se, že mezi nimi je 16 zmetků.
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H0: ϑ = 0,01 proti oboustranné alternativě H1: ϑ ≠ 0,01.
Řešení:
Zavedeme náhodné veličiny X1, ..., X1000, přičemž Xi = 1, když i-tý výrobek byl zmetek a Xi = 0 jinak, i = 1, ..., 1000. Tyto náhodné veličiny
tvoří náhodný výběr z rozložení A(ϑ).
Testujeme hypotézu H0: ϑ = 0,01 proti alternativě H1: ϑ ≠ 0,01.
Známe: n = 1000, 016,0
1000
16
m == , c = 0,01, α = 0,05, u1-α/2 = u0,975 = 1,96
Ověření podmínky ( ) 91n >ϑ−ϑ : 1000.0,01.0,99 = 9,9 > 9.
a) Testování pomocí kritického oboru:
Realizace testového kritéria:
( )
907,1
1000
99,001,0
01,0016,0
n
c1c
cm
t0 =
⋅
−
=
−⋅
−
= .
Kritický obor: ( )=∞∪−∞−= ,uu,W 975,0975,0 ( )∞∪−∞− ,96,196,1, . Protože 1,907 ∉ W, H0 nezamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
b) Testování pomocí intervalu spolehlivosti
0082,096,1
1000
984,0016,0
016,0u
n
)m1(m
md 2/1 =
⋅
−=
−
−= −α
0238,096,1
1000
984,0016,0
016,0u
n
)m1(m
mh 2/1 =
⋅
+=
−
+= −α
Protože číslo c = 0,01 leží v intervalu 0,0082 až 0,0238, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
c) Testování pomocí p-hodnoty
Protože testujeme nulovou hypotézu proti oboustranné alternativě, vypočteme p-hodnotu podle vzorce:
p = 2 min{ Φ(1,907), 1–Φ(1,907) } = 2 min { 0,97104, 1 – 0,97104 } = 0,05792.
Protože vypočtená p-hodnota je větší než hladina významnosti 0,05, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (pouze přibližný):
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl mezi dvěma poměry – do
políčka P 1 napíšeme 0,016, do políčka N1 napíšeme 1000, do políčka P 2 napíšeme 0,01, do políčka N2 napíšeme 32767
(větší hodnotu systém neumožní) - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,0626, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině
významnosti 0,05.