Parametrické úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech
z normálních rozložení
Motivace:
Máme-li k dispozici dva nezávislé náhodné výběry z normálních rozložení, je naším úkolem
porovnat střední hodnoty či rozptyly těchto rozložení. Zpravidla konstruujeme intervaly
spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot respektive hodnotíme shodu středních hodnot pomocí
dvouvýběrového t-testu či dvouvýběrového z-testu a shodu rozptylů pomocí F-testu.
Rozložení statistik odvozených z výběrových průměrů a výběrových rozptylů normálních
rozložení
Předpokládáme, že
1n111
X,,X K je náhodný výběr z rozložení N(µ1, σ1
2
),
2n221
X,,X K je náhodný výběr z rozložení N(µ2, σ2
2
),
přičemž n1 ≥ 2 a n2 ≥ 2 a oba výběry jsou stochasticky nezávislé.
Označme
M1, M2 výběrové průměry,
S1
2
, S2
2
výběrové rozptyly a
2nn
S)1n(S)1n(
S
21
2
22
2
112
*
−+
−+−
= vážený průměr výběrových rozptylů.
Pak platí:
a) Statistiky M1 – M2 a 2
*S jsou stochasticky nezávislé.
b) U =
( ) ( )
2
2
2
1
2
1
2121
nn
MM
σ
+
σ
µ−µ−−
~ N(0, 1).
(Pivotová statistika U slouží k řešení úloh o µ1 – µ2, když σ1
2
a σ2
2
známe.)
c) Jestliže σ1
2
= σ2
2
=: σ2
, pak K = 2
2
*21 S)2nn(
σ
−+
~ χ2
(n1 + n2 – 2).
(Pivotová statistika K slouží k řešení úloh o neznámém společném rozptylu σ2
.)
d) Jestliže σ1
2
= σ2
2
=: σ2
, pak T =
( ) ( )
21
*
2121
n
1
n
1
S
MM
+
µ−µ−−
~ t(n1 + n2 – 2).
(Pivotová statistika T slouží k řešení úloh o µ1 – µ2, když σ1
2
a σ2
2
neznáme, ale víme, že jsou shodné.)
e) F = 2
2
2
1
2
2
2
1
/
S/S
σσ
~ F(n1 – 1, n2 – 1).
(Pivotová statistika F slouží k řešení úloh o σ1
2
/ σ2
2
.)
Vysvětlení:
ad a) Neuvádíme, viz např. J. Anděl: Matematická statistika.
ad b) M1 – M2 je lineární kombinace náhodných veličin s normálním rozložením, má tedy normální rozložení s parametry
E(M1 – M2) = µ1- µ2,
D(M1 – M2) = σ1
2
/n1 + σ2
2
/n2.
U se získá standardizací M1 – M2.
ad c) K1 = 2
2
11 S)1n(
σ
−
~ χ2
(n1 – 1) a K2 = 2
2
22 S)1n(
σ
−
~ χ2
(n2 – 1) jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, tedy
K = K1 + K2 ~ χ2
(n1 + n2 – 2).
ad d) U =
( ) ( )
2
2
1
2
2121
nn
MM
σ
+
σ
µ−µ−−
~ N(0, 1), K = 2
2
*21 S)2nn(
σ
−+
~ χ2
(n1 + n2 – 2) jsou stochasticky nezávislé, protože
M1 – M2 a 2
*S jsou stochasticky nezávislé. =
−+
=
2nn
K
U
T
21
( ) ( )
21
*
2121
n
1
n
1
S
MM
+
µ−µ−−
~ t(n1 + n2 – 2).
ad e) K1 = 2
1
2
11 S)1n(
σ
−
~ χ2
(n1 – 1) a K2 = 2
2
2
22 S)1n(
σ
−
~ χ2
(n2 – 1) jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, tedy
1n
K
1n
K
2
2
1
1
F
−
−
= = 2
2
2
1
2
2
2
1
/
S/S
σσ
~ F(n1 – 1, n2 – 1).
Příklad: Nechť jsou dány dva nezávislé náhodné výběry, první pochází z rozložení N(0,28;
0,09) a má rozsah 16, druhý pochází z rozložení N(0,25; 0,04) a má rozsah 25. Jaká je
pravděpodobnost, že výběrový průměr 1. výběru bude větší než výběrový průměr 2. výběru?
Řešení:
( ) ( ) ( )
63683,0)35,0()35,0(1)35294,0U(P1
25
04,0
16
09,0
25,028,0
UP1
nn
)(0
nn
)()MM(
P10MMP10MMPMMP
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2121
212121
=Φ=−Φ−=−≤−=












+
+−
≤−=
=














σ
+
σ
µ−µ−
≤
σ
+
σ
µ−µ−−
−=≤−−=>−=>
S pravděpodobností přibližně 63,7% je výběrový průměr 1. výběru větší než výběrový průměr 2.
výběru.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistika M1 – M2 se podle bodu (a) řídí rozložením N(µ1 – µ2,
2
2
2
1
2
1
nn
σ
+
σ
),
kde µ1 – µ2 = 0,28 – 0,25 = 0,03, 007225,0
25
04,0
16
09,0
nn 2
2
2
1
2
1
=+=
σ
+
σ
, tj. statistika
M1 - M2 ~ N(0,03;0,007225).
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu. Do Dlouhého jména této
proměnné napíšeme
= 1-INormal(0;0,03;sqrt(0,007225)). V proměnné Prom1 se objeví hodnota 0,637934:
1
Prom1
1 0,637934
Intervaly spolehlivosti pro parametrické funkce µ1 - µ2, σ1
2
/σ2
2
Uvedeme přehled vzorců pro meze 100(1-α)% empirických intervalů spolehlivosti pro parametrické funkce µ1 - µ2 , σ1
2
/ σ2
2
.
a) Interval spolehlivosti pro µ1-µ2, když σ1
2
, σ2
2
známe (využití pivotové statistiky U)
Oboustranný: (d, h) = (m1 – m2 –
2
2
2
1
2
1
nn
σ
+
σ
u1-α/2, m1 – m2 +
2
2
2
1
2
1
nn
σ
+
σ
u1-α/2)
Levostranný: (d, ∞) = (m1 – m2 –
2
2
2
1
2
1
nn
σ
+
σ
u1-α, ∞)
Pravostranný: (-∞, h) = (-∞,m1 – m2 +
2
2
2
1
2
1
nn
σ
+
σ
u1-α)
b) Interval spolehlivosti pro µ1-µ2, když σ1
2
, σ2
2
neznáme, ale víme, že jsou shodné (využití pivotové statistiky T)
Oboustranný:
(d, h) = (m1 – m2 –
21
*
n
1
n
1
s + t1-α/2(n1+n2-2), m1 – m2 +
21
*
n
1
n
1
s + t1-α/2(n1+n2-2))
Levostranný: (d, ∞) = (m1 – m2 –
21
*
n
1
n
1
s + t1-α(n1+n2-2), ∞)
Pravostranný: (-∞, h) = (-∞, m1 – m2 +
21
*
n
1
n
1
s + t1-α(n1+n2-2))
c) Interval spolehlivosti pro společný neznámý rozptyl σ2
(využití pivotové statistiky K)
Oboustranný: (d, h) = 







−+χ
−+
−+χ
−+
αα− )2nn(
s)2nn(
,
)2nn(
s)2nn(
212/
2
2
*21
212/1
2
2
*21
Levostranný: (d, ∞) = 







∞
−+χ
−+
α−
,
)2nn(
s)2nn(
211
2
2
*21
Pravostranný: (0, h) = 







−+χ
−+
α )2nn(
s)2nn(
,0
21
2
2
*21
d) Interval spolehlivosti pro podíl rozptylů 2
2
2
1
σ
σ
(využití pivotové statistiky F)
Oboustranný: (d, h) = 







−−−− αα )1n,1n(F
s/s
,
)1n,1n(F
s/s
21/2
2
2
2
1
21/2-1
2
2
2
1
Levostranný: (d, ∞) = 







∞
−−α
,
)1n,1n(F
s/s
21-1
2
2
2
1
Pravostranný: (0, h) = 







−−α )1n,1n(F
s/s
,0
21
2
2
2
1
Upozornění: Není-li v bodě (b) splněn předpoklad o shodě rozptylů, lze sestrojit aspoň přibližný 100(1-α)% interval spolehlivosti
pro µ1-µ2.
V tomto případě má statistika T přibližně rozložení t(ν ), kde počet stupňů volnosti ν =
( )
( ) ( )
1n
n/s
1n
n/s
n/sn/s
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
−
+
−
+
. Není-li ν celé
číslo, použijeme v tabulkách kvantilů Studentova rozložení lineární interpolaci.
Příklad: Ve dvou nádržích se zkoumal obsah chlóru (v g/l). Z první nádrže bylo odebráno 25 vzorků, z druhé nádrže 10
vzorků. Byly vypočteny realizace výběrových průměrů a rozptylů: m1 = 34,48, m2 = 35,59, s1
2
= 1,7482, s2
2
= 1,7121.
Hodnoty zjištěné z odebraných vzorků považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z rozložení N(µ1, σ2
) a
N(µ2, σ2
). Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot µ1 - µ2.
Řešení:
Úloha vede na vzorec (b) s využitím statistiky T. Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů a najdeme odpovídající
kvantily Studentova rozložení:
2
*s = 7384,1
33
7121,197482,124
2nn
s)1n(s)1n(
21
2
22
2
11
=
⋅+⋅
=
−+
−+−
, t0,975(33) = 2,035
Dosadíme do vzorců pro dolní a horní mez intervalu spolehlivosti:
d = m1–m2–
21
*
n
1
n
1
s + t1-α/2(n1+n2-2) =
= 34,48–35,59 - 035,2
10
1
25
1
7384,1 ⋅+⋅ = -2,114
h = m1–m2+
21
*
n
1
n
1
s + t1-α/2(n1+n2-2) =
= 34,48–35,59 + 035,2
10
1
25
1
7384,1 ⋅+⋅ = -0,106
-2,114 g/l < µ1 - µ2 < -0,106 g/l s pravděpodobností aspoň 0,95.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných d a h a jednom případu.
Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme
=34,48-35,59-sqrt((24*1,7482+9*1,7121)/33)*sqrt((1/25)+(1/10))*VStudent(0,975;33)
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme
=34,48-35,59+
sqrt((24*1,7482+9*1,7121)/33)*sqrt((1/25)+(1/10))*VStudent(0,975;33)
1
d
2
h
1 -2,11368 -0,10632
S pravděpodobností aspoň 0,95 tedy -2,114 g/l < µ1 - µ2 < -0,106 g/l.
Příklad: V předešlém příkladě nyní předpokládáme, že dané dva náhodné výběry pocházejí z rozložení
N(µ1, σ1
2
) a N(µ2, σ2
2
). Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro podíl rozptylů.
Řešení:
Úloha vede na vzorec (d) s využitím statistiky F.
d = 28,0
6142,3
7121,1/7482,1
)9,24(F
7121,1/7482,1
)1n,1n(F
s/s
975,021/2-1
2
2
2
1
===
−−α
h = 76,2
7027,2/1
7121,1/7482,1
)24,9(F/1
7121,1/7482,1
)9,24(F
7121,1/7482,1
)1n,1n(F
s/s
975,0025,021/2
2
2
2
1
====
−−α
0,28 < 2
2
2
1
σ
σ
< 2,76 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných d a h a jednom případu.
Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme
=(1,7482/1,7121)/VF(0,975;24;9)
(Funkce VF(x;ný;omega) počítá x-kvantil Fisherova – Snedecorova rozložení F(ný, omega).)
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme
=(1,7482/1,7121)/VF(0,025;24;9)
1
d
2
h
1 0,282521 2,759698
S pravděpodobností aspoň 0,95 tedy platí: 0,28 < σ1
2
/ σ2
2
< 2,76.
Jednotlivé typy testů o parametrických funkcích µ1 - µ2, σ1
2
/σ2
2
a) Nechť 1n111 X,,X K je náhodný výběr z rozložení N(µ1, σ1
2
) a 2n221 X,,X K je na něm nezávislý náhodný výběr z rozložení
N(µ2, σ2
2
), přičemž n1 ≥ 2, n2 ≥ 2 a σ1
2
, σ2
2
známe. Nechť c je konstanta.
Test H0: µ1 – µ2 = c proti H1: µ1 – µ2 ≠ c se nazývá dvouvýběrový z-test.
b) Nechť 1n111 X,,X K je náhodný výběr z rozložení N(µ1, σ2
) a 2n221 X,,X K je na něm nezávislý náhodný výběr z rozložení
N(µ2, σ2
), přičemž n1 ≥ 2 a n2 ≥ 2 a σ2
neznáme. Nechť c je konstanta.
Test H0: µ1 – µ2 = c proti H1: µ1 – µ2 ≠ c se nazývá dvouvýběrový t-test.
c) Nechť 1n111 X,,X K je náhodný výběr z rozložení N(µ1, σ1
2
) a 2n221 X,,X K je na něm nezávislý náhodný výběr rozložení
N(µ2, σ2
2
), přičemž n1 ≥ 2 a n2 ≥ 2. Test H0: 2
2
2
1
σ
σ
= 1 proti H1: 2
2
2
1
σ
σ
≠ 1 se nazývá F-test.
Provedení testů o parametrických funkcích µ1 - µ2, σ1
2
/σ2
2
pomocí kritického oboru
a) Provedení dvouvýběrového z-testu
Vypočteme realizaci t0 testového kritéria
( )
2
2
2
1
2
1
21
0
nn
cMM
T
σ
+
σ
−−
= . Stanovíme kritický obor W. Pokud t0 ∈ W, H0 zamítáme na
hladině významnosti α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: µ1 - µ2 = c proti H1: µ1 - µ2 ≠ c. Kritický obor má tvar: )( ∞∪−∞−= α−α− ,uu,W 2/12/1 .
Levostranný test: Testujeme H0: µ1 - µ2 = c proti H1: µ1 - µ2 < c. Kritický obor má tvar: ( α−−∞−= 1u,W .
Pravostranný test: Testujeme H0: µ1 - µ2 = c proti H1: µ1 - µ2 > c. Kritický obor má tvar: )∞= α− ,uW 1 .
b) Provedení dvouvýběrového t-testu
Vypočteme realizaci t0 testového kritéria
( )
21
*
21
0
n
1
n
1
S
cMM
T
+
−−
= . Stanovíme kritický obor W. Pokud t0 ∈ W, H0 zamítáme na
hladině významnosti α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: µ1 - µ2 = c proti H1: µ1 - µ2 ≠ c. Kritický obor má tvar:
( ) ( ) )( ∞−+∪−+−∞−= α−α− ,2nnt2nnt,W 212/1212/1 .
Levostranný test: Testujeme H0: µ1 - µ2 = c proti H1: µ1 - µ2 < c. Kritický obor má tvar: ( )( 2nnt,W 211 −+−∞−= α− .
Pravostranný test: Testujeme H0: µ1 - µ2 = c proti H1: µ1 - µ2 > c. Kritický obor má tvar: ( ) )∞−+= α− ,2nntW 211 .
c) Provedení F-testu
Vypočteme realizaci testového kritéria 2
2
2
1
0
s
s
t = . Stanovíme kritický obor W. Pokud t0 ∈ W, H0 zamítáme na hladině
významnosti α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: 2
2
2
1
σ
σ
= 1 proti H1: 2
2
2
1
σ
σ
≠ 1. Kritický obor má tvar:
( ) ( ) )( ∞−−∪−−= α−α ,1n,1nF1n,1nF,0W 212/1212/ .
Levostranný test: Testujeme H0: 2
2
2
1
σ
σ
= 1 proti H1: 2
2
2
1
σ
σ
< 1. Kritický obor má tvar: ( )( 1n,1nF,0W 21 −−= α .
Pravostranný test: Testujeme H0: 2
2
2
1
σ
σ
= 1 proti H1: 2
2
2
1
σ
σ
> 1. Kritický obor má tvar: ( ) )∞−−= α− ,1n,1nFW 211 .
Příklad: V restauraci "U bílého koníčka" měřili ve 20 případech čas obsluhy zákazníka. Výsledky v minutách: 6, 8, 11, 4, 7,
6, 10, 6, 9, 8, 5, 12, 13, 10, 9, 8, 7, 11, 10, 5. V restauraci "Zlatý lev" bylo dané pozorování uskutečněno v 15 případech s
těmito výsledky: 9, 11, 10, 7, 6, 4, 8, 13, 5, 15, 8, 5, 6, 8 ,7. Za předpokladu, že uvedené hodnoty pocházejí ze dvou normálních
rozložení, na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty doby obsluhy jsou v obou restauracích
stejné.
Řešení:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme nulovou hypotézu H0: µ1 - µ2 = 0 proti oboustranné alternativě H1: µ1 – µ2 ≠ 0. Je to
úloha na dvouvýběrový t-test. Před provedením tohoto testu je však nutné pomocí F-testu ověřit shodu rozptylů. Na hladině
významnosti 0,05 tedy testujeme H0: 2
2
2
1
σ
σ
= 1 proti H1: 2
2
2
1
σ
σ
≠ 1. Nejprve vypočteme m1 = 8,25, m2 = 8,13, s1
2
= 6,307, s2
2
=
9,41, 623,7
33
41,914307,619
2nn
s)1n(s)1n(
s
21
2
22
2
112
* =
⋅+⋅
=
−+
−+−
= . Podle vzorce (c) vypočteme realizaci testové statistiky:
6702,0
41,9
307,6
s
s
t 2
2
2
1
0 === . Stanovíme kritický obor:
( ) ( ) ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ) ) )∞∪=∞∪=∞∪=
=∞∪=∞−−∪−−= α−α
,8607,23778,0;0,8607,2649,2/1,0,14,19F19,14F/1,0
,14,19F14,19F,0,1n,1nF1n,1nF,0W
975,0975,0
975,0025,0212/1212/
Protože se testová statistika nerealizuje v kritickém oboru, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Rozptyly tedy můžeme považovat za shodné.
Nyní se vrátíme k dvouvýběrovému t-testu. Podle vzorce (b) vypočteme realizaci testové statistiky:
124,0
15
1
20
1
623,7
13,825,8
n
1
n
1
s
cmm
t
21
*
21
0 =
+
−
=
+
−−
= . Stanovíme kritický obor:
( ) ( ) )( ( ) ( ) )( )( ∞∪−∞−=∞∪−∞−=∞−+∪−+−∞−= α−α− ,035,2035,2,,33t33t,,2nnt2nnt,W 975,0975,0212/1212/1
Protože testová statistika se nerealizuje v kritickém oboru, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných a 35 případech. První proměnnou nazveme OBSLUHA, druhou ID. Do
proměnné OBSLUHA napíšeme nejprve doby obsluhy v první restauraci a poté doby obsluhy ve druhé restauraci. Do
proměnné ID, která slouží k rozlišení první a druhé restaurace, napíšeme 20 krát jedničku a 15 krát dvojku.
Pomocí NP-grafu ověříme normalitu dat v obou skupinách. Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy –
zaškrtneme S-W test - Proměnné OBSLUHA, OK, Kategorizovaný – Kategorie X, zaškrtneme Zapnuto, Změnit proměnnou
– ID, OK. Dostaneme graf
Normální p-graf z obsluha; kategorizovaný id
restaurace.sta 2v*35c
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
id: 1
2 4 6 8 10 12 14 16
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
id: 2
2 4 6 8 10 12 14 16
id: 1 obsluha: SW-W = 0,9715; p = 0,7871
id: 2 obsluha: SW-W = 0,9345; p = 0,3185
V obou případech se tečky odchylují od přímky jenom málo a p-hodnoty S-W testu převyšují 0,05. Předpoklad o normálním
rozložení dat v obou skupinách je oprávněný.
Nyní provedeme dvouvýběrový t-test současně s testem o shodě rozptylů:
Statistika – Základní statistiky a tabulky – t-test, nezávislé, dle skupin – OK, Proměnné –Závislé proměnné OBSLUHA,
Grupovací proměnná ID – OK.
Po kliknutí na tlačítko Souhrn dostaneme tabulku
t-testy; grupováno: ID (restaurace)
Skup. 1: 1
Skup. 2: 2
Proměnná
Průměr
1
Průměr
2
t sv p Poč.plat
1
Poč.plat.
2
Sm.odch.
1
Sm.odch.
2
F-poměr
rozptyly
p
rozptyly
OBSLUHA 8,250000 8,133333 0,123730 33 0,902279 20 15 2,510504 3,067495 1,492952 0,410440
Vidíme, že testová statistika pro test shody rozptylů se realizuje hodnotou 1,492952 (je to převrácená hodnota k číslu
0,6702, které jsme vypočítali při ručním postupu), odpovídající p-hodnota je 0,41044, tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme
hypotézu o shodě rozptylů. (Upozornění: v případě zamítnutí hypotézy o shodě rozptylů je zapotřebí v tabulce ttestu
pro nezávislé vzorky dle skupin zaškrtnout volbu Test se samostatnými odhady rozptylu.)
Dále z tabulky plyne, že testová statistika pro test shody středních hodnot se realizuje hodnotou 0,12373, počet stupňů volnosti
je 33, odpovídající p-hodnota 0,902279, tedy hypotézu o shodě středních hodnot nezamítáme na hladině významnosti
0,05. Znamená to, že se neprokázal rozdíl ve středních hodnotách dob obsluhy v restauracích "U bílého koníčka" a „Zlatý
lev“.
Tabulku ještě doplníme krabicovými diagramy. Na záložce Detaily zaškrtneme krabicový graf a vybereme volbu
Průměr/SmOdch/Min-Max.
Krabicový graf z obsluha seskupený id
restaurace.sta 2v*35c
Průměr
Průměr±SmOdch
Min-Max
Odlehlé
Extrémy
1 2
id
2
4
6
8
10
12
14
16
obsluha
Z grafu je vidět, že průměrná doba obsluhy v první restauraci je nepatrně delší a má menší variabilitu než ve druhé
restauraci. Extrémní ani odlehlé hodnoty se zde nevyskytují.
Upozornění:
V případě, že známe realizace obou výběrových průměrů a směrodatných odchylek, můžeme pro provedení
dvouvýběrového t-testu v systému STATISTICA použít aplikaci Tesy rozdílů. Postup si ukážeme na příkaldě s dobou
obsluhy ve dvou restauracích
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl mezi dvěma průměry
(normální rozdělení) – do políčka Pr1 napíšeme 8,25, do políčka SmOd1 napíšeme 2,5105, do políčka N1 napíšeme 20, do
políčka Pr1 napíšeme 8,25, do políčka SmOd1 napíšeme 3,0675, do políčka N1 napíšeme 15 – Výpočet. Dostaneme phodnotu
0,9023, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.
Parametrické úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech
z alternativních rozložení
Motivace:
Provádíme opakovaně nezávisle n1-krát jeden náhodný pokus a nezávisle na tom n2-krát druhý
náhodný pokus. V první sérii pokusů sledujeme nějaký jev, který v každém pokusu může nastat
s pravděpodobností 1ϑ a ve druhé sérii pokusů sledujeme nějaký jiný jev, jehož
pravděpodobnost nastoupení je 2ϑ . Parametry 1ϑ , 2ϑ neznáme. Naším úkolem bude konstruovat
interval spolehlivosti pro parametrickou funkci 21 ϑ−ϑ nebo testovat hypotézu o této
parametrické funkci, a to pomocí dvou nezávislých náhodných výběrů z alternativních rozložení
( )1A ϑ , ( )2A ϑ .
Asymptotické rozložení statistiky odvozené ze dvou výběrových průměrů alternativních
rozložení
Nechť 1n111 X,,X K je náhodný výběr z alternativního rozložení A( 1ϑ ) a 2n221 X,,X K je na něm
nezávislý náhodný výběr alternativního rozložení A( 2ϑ ) a nechť jsou splněny podmínky
n1 1ϑ (1- 1ϑ ) > 9 a n2 2ϑ (1- 2ϑ ) > 9. Označme M1, M2 výběrové průměry.
Pak statistika
( )
( ) ( )
( )1,0N
n
1
n
1
MM
U
2
22
1
11
2121
≈
ϑ−ϑ
+
ϑ−ϑ
ϑ−ϑ−−
= .
Vysvětlení: Analogicky jako v případě jednoho náhodného výběru z alternativního rozložení.
Vzorec pro meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametrickou
funkci 21 ϑ−ϑ .
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro 21
ϑ−ϑ jsou:
2/1
2
22
1
11
21 u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmd α−
−
+
−
−−= , 2/1
2
22
1
11
21 u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmh α−
−
+
−
+−=
Vysvětlení: Pokud rozptyl ( ) ( )
i
ii
i
n
1
MD
ϑ−ϑ
= nahradíme odhadem
( )
i
ii
n
M1M −
, i = 1, 2, konvergence
náhodné veličiny U k veličině s rozložením N(0,1) se neporuší. Tedy
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
)u
n
M1M
n
M1M
MMu
n
M1M
n
M1M
MM(P
u
n
M1M
n
M1M
MM
uP1:
2/1
2
22
1
11
21212/1
2
22
1
11
21
2/1
2
22
1
11
2121
2/121
α−α−
α−α−
−
+
−
+−<ϑ−ϑ<
−
+
−
−−
=












<
−
+
−
ϑ−ϑ−−
<−≤α−Ξ∈ϑ−ϑ∀
Příklad: Management supermarketu vyhlásil týden slev a sledoval, zda toto vyhlášení má vliv na podíl větších nákupů (nad
500 Kč). Na základě náhodného výběru 200 zákazníků v týdnu bez slev bylo zjištěno 97 velkých nákupů, zatímco v týdnu se
slevou z 300 náhodně vybraných zákazníků učinilo velký nákup 162 zákazníků. Sestrojte 95% asymptotický interval
spolehlivosti pro rozdíl pravděpodobností uskutečnění většího nákupu v týdnu bez slevy a v týdnu se slevou.
Řešení:
Zavedeme náhodnou veličinu X1i, která bude nabývat hodnoty 1, když v týdnu bez slevy i-tý náhodně vybraný zákazník
uskuteční větší nákup a hodnoty 0 jinak, i = 1, …, 200. Náhodné veličiny X1,1, …, X1,200 tvoří náhodný výběr z rozložení
( )1A ϑ . Dále zavedeme náhodnou veličinu X2i, která bude nabývat hodnoty 1, když v týdnu se slevou i-tý náhodně vybraný
zákazník uskuteční větší nákup a hodnoty 0 jinak, i = 1, …, 300. Náhodné veličiny X2,1, …, X2,300 tvoří náhodný výběr
z rozložení ( )2A ϑ .
n1 = 200, n2 = 300, m1 = 97/200 = 0,485, m2 = 162/300 = 0,54.
Ověření podmínek n1 1ϑ (1- 1ϑ ) > 9 a n2 2ϑ (1- 2ϑ ) > 9: Parametry 1ϑ a 2ϑ neznáme, nahradíme je odhady m1 a m2, tedy
97.(1-97/200) = 49,955 > 9, 162.(1-162/300) = 74,52 > 9.
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametrickou funkci 21 ϑ−ϑ jsou:
0343,096,1
300
)1(
200
)1(
300
162
200
97
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmh
1443,096,1
300
)1(
200
)1(
300
162
200
97
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmd
300
162
300
162
200
97
200
97
2/1
2
22
1
11
21
300
162
300
162
200
97
200
97
2/1
2
22
1
11
21
=
−
+
−
+−=
−
+
−
+−=
−=
−
+
−
−−=
−
+
−
−−=
α−
α−
Zjistili jsme tedy, že s pravděpodobností přibližně 0,95: –0,1443 < 21 ϑ−ϑ < 0,0343.
Testování hypotézy o parametrické funkci 21 ϑ−ϑ
Nechť 1n111
X,,X K je náhodný výběr z alternativního rozložení A( 1ϑ ) a 2n221 X,,X K je na něm nezávislý náhodný
výběr alternativního rozložení A( 2ϑ ) a nechť jsou splněny podmínky n1 1ϑ (1- 1ϑ ) > 9 a
n2 2ϑ (1- 2ϑ ) > 9. Na asymptotické hladině významnosti α testujeme nulovou hypotézu H0: 21
ϑ−ϑ = c proti
alternativě H1: 21
ϑ−ϑ ≠ c (resp. H1: 21
ϑ−ϑ < c resp. H1: 21
ϑ−ϑ > c).
Testovým kritériem je statistika
( ) ( )
2
22
1
11
21
0
n
M1M
n
M1M
cMM
T
−
+
−
−−
= , která v případě platnosti H0 má asymptoticky rozložení N(0,1).
Kritický obor má tvar ( )∞∪−∞−= α−α− ,uu,W 2/12/1
(resp. ( α−
−∞−= 1
u,W resp. )∞= α−
,uW 1
).
(Testování hypotézy o parametrické funkci 21
ϑ−ϑ lze provést též pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu
spolehlivosti nebo pomocí p-hodnoty.)
Poznámka: Postup při testování hypotézy 021 =ϑ−ϑ
Je-li c = 0, pak označme
21
2211
*
nn
MnMn
M
+
+
= vážený průměr výběrových průměrů. Jako testová statistika
slouží
( ) 





+−
−
=
21
**
21
0
n
1
n
1
M1M
MM
T , která v případě platnosti nulové hypotézy má asymptoticky
rozložení N(0,1).
Kritický obor má tvar ( )∞∪−∞−= α−α−
,uu,W 2/12/1
(resp. ( α−
−∞−= 1
u,W resp.
)∞= α−
,uW 1
).
Testová statistika T0 vznikne standardizací statistiky M1 – M2, kde neznámé parametry 1ϑ , 2ϑ nahradíme
společným odhadem M*.
Příklad: Pro údaje z příkladu o slevách v supermarketu testujte na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že týden
se slevami nezvýší pravděpodobnost uskutečnění většího nákupu.
Řešení:
Testujeme hypotézu H0: 21 ϑ−ϑ = 0 proti levostranné alternativě H1: 21 ϑ−ϑ < 0 na asymptotické hladině významnosti 0,05.
n1 = 200, n2 = 300, m1 = 97/200, m2 = 162/300, m* = (97 + 162)/500 = 0,518.
Podmínky dobré aproximace byly ověřeny v předešlém příkladu.
Testování pomocí intervalu spolehlivosti:
Pro levostrannou alternativu používáme pravostranný interval spolehlivosti:
02,0645,1
300
)1(
200
)1(
300
162
200
97
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmh 300
162
300
162
200
97
200
97
1
2
22
1
11
21 =
−
+
−
+−=
−
+
−
+−= α−
Protože číslo c = 0 je obsaženo v intervalu ( 02,0;∞− , H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Testování pomocí kritického oboru:
Realizace testového kritéria:
( )( ) ( )( )
2058,1
518,01518,0m1m
mm
t
300
1
200
1
300
162
200
97
n
1
n
1
**
21
0
21
−=
+−
−
=
+−
−
= .
Kritický obor je ( ( ( 645,1,u,u,W 95,01 −∞−=−∞−=−∞−= α− . Protože testové kritérium nepatří do kritického oboru, H0 nezamítáme
na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Testování pomocí p-hodnoty:
Pro levostrannou alternativu se p-hodnota počítá podle vzorce p = P(T0 ≤ t0):
( ) ( ) ( ) 1139,08861,012058,112058,12058,1TPp 0 =−=Φ−=−Φ=−≤=
Protože p-hodnota je větší než 0,05, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl mezi dvěma poměry – do
políčka P 1 napíšeme 0,485, do políčka N1 napíšeme 200, do políčka P 2 napíšeme 0,54, do políčka N2 napíšeme 300 –
zaškrtneme Jednostr. - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,1142, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti
0,05.