10. cvičení: Hodnocení kontingenčních tabulek
Příklad 1.: U 100 náhodně vybraných vysokoškolských učitelů bylo zjišťováno jejich pohlaví
(veličina X) a jejich pedagogická hodnost (veličina Y). Na asymptotické hladině významnosti
0,05 testujte hypotézu o nezávislosti pedagogické hodnosti a pohlaví a vypočtěte Cramérův
koeficient, jsou-li k dispozici následující údaje:
pedagogická hodnostpohlaví
odb. asistent docent profesor
muž 32 15 8
žena 34 8 3
Výsledky:
Podmínky dobré aproximace jsou splněny, pouze jedna teoretická četnost klesne pod 5.
Testová statistika K = 3,5, kritický obor ∞= ;991,5W . Protože K se nerealizuje v kritickém
oboru, hypotézu o nezávislosti pohlaví a pedagogické hodnosti nezamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05. Cramérův koeficient V = 0,187.
Příklad 2.: Pro kontingenční tabulku 3 x 3, která byla sestavena na základě dvourozměrného
náhodného výběru rozsahu 400, byla spočtena testová statistika K = 464 pro test nezávislosti
veličin X, Y. Určete Cramérův koeficient.
Výsledek:
V = 0,4616
Příklad 3.: 200 respondentů, z nichž bylo 73 žen, hodnotilo úroveň jistého časopisu. 34 žen ji
hodnotilo kladně, stejně jako 47 mužů. Ostatní respondenti se o úrovni časopisu vyjádřili
záporně. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že hodnocení úrovně
časopisu nezávisí na pohlaví respondenta. Test proveďte jak pomocí testové statistiky K, tak
pomocí intervalu spolehlivosti pro podíl šancí. Vypočtěte také Cramérův koeficient.
Výsledky:
Test pomocí statistiky K: Podmínky dobré aproximace jsou splněny, K = 1,7608, nerealizuje
se v kritickém oboru )∞= ,841,3W , hypotézu o nezávislosti hodnocení úrovně časopisu na
pohlaví respondenta nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient V = 0,0938.
Test pomocí podílu šancí: OR = 0,6739, což znamená, že podíl šancí časopisu na kladné
hodnocení je asi dvoutřetinový u mužů oproti ženám. 95% interval spolehlivosti pro podíl
šancí je ( 37577,0 ; 1,2085). Obsahuje číslo 1, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti hodnocení úrovně časopisu na pohlaví respondenta.
Příklad 4.: V roce 1950 zkoumali Yule a Kendall barvu očí a vlasů u 6800 mužů.
Barva vlasůBarva očí
světlá kaštanová černá rezavá
modrá 1768 807 180 47
šedá nebo zelená 946 1387 746 53
hnědá 115 438 288 16
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti barvy očí a barvy
vlasů. Vypočtěte Cramérův koeficient. Simultánní četnosti znázorněte graficky.
Návod na řešení pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme datový soubor oci_vlasy.sta. Před provedením testu je zapotřebí ověřit podmínky
dobré aproximace: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif.
tabulky – List 1 OCI, List 2 VLASY, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce
Možnosti zaškrtneme Očekávané četnosti – Výpočet.
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (oci_vlasy.sta)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 1088,15, sv=6, p=0,00000
OCI VLASY
světlá
VLASY
kaštanová
VLASY
černá
VLASY
rezavá
Řádk.
součty
modrá 1167,259 1085,976 500,902 47,8622 2802,000
šedá nebo zelená 1304,731 1213,875 559,895 53,4990 3132,000
hnědá 357,010 332,149 153,202 14,6388 857,000
Vš.skup. 2829,000 2632,000 1214,000 116,0000 6791,000
Podmínky dobré aproximace jsou splněny. Všechny teoretické četnosti jsou větší než 5.
V záhlaví výstupní tabulky je uvedena hodnota testové statistiky pro test hypotézy o
nezávislosti proměnných OCI, VLASY (Pearsonův chí-kv: 1088,149) s počtem stupňů
volnosti (sv = 6) a odpovídající p-hodnotou (p = 0,0000). Protože p-hodnota je menší než
0,05, nulovou hypotézu o nezávislosti barvy očí a barvy vlasů zamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05.
Testování hypotézy o nezávislosti proměnných OCI, VLASY společně se získáním
Cramérova koeficientu lze provést také tímto způsobem:
Návrat do Výsledky; kontingenční tabulky – na záložce Detaily zaškrtneme Pearsonův&M-V
chí - kvadrát, Phi & Cramerovo V – Detailní výsledky – Detailní 2 rozm. tabulky.
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
1088,149 df=6 p=0,0000
1155,669 df=6 p=0,0000
,4002923
,3716246
,2830494
Cramérův koeficient 0,283 svědčí o slabé závislosti barvy očí a vlasů.
Pro grafické znázornění četností se vrátíme do Výsledky; kontingenční tabulky – Detailní
výsledky – 3D histogramy. Graf lze natáčet pomocí volby Zorný bod.
Dvourozměrné rozdělení: OCI x VLASY
svetla
kastanova
cerna
rezava
VLASYmodra
seda nebo zelena
hneda
O
CI
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Početpozorování
Příklad 5.: 100 náhodně vybraných osob bylo dotázáno, zda dávají přednost
nealkoholickému nápoji A či B. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
pohlavípreferovaný nápoj
muž žena
A 20 30
B 30 20
Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí Fisherova faktoriálového testu hypotézu, že
preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod na řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných NAPOJ, POHLAVI, CETNOST a
čtyřech případech. Do proměnné NAPOJ napíšeme dvakrát pod sebe 1 (nápoj A) a dvakrát
pod sebe 2 (nápoj B). Do proměnné POHLAVI napíšeme jedničku (1 – muž) a dvojku (2 –
žena) a znovu jedničku a dvojku. D proměnné CETNOST napíšeme uvedené četnosti.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif. tabulky – List 1
NAPOJ, List 2 POHLAVI, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Fisher exakt, Yates, McNemar (2x2) – Detailní výsledky – Detailní 2-rozm.
tabulky.
Statist. : POHLAVI(2) x NAPOJ(2) (kap11_2)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
2-stranný
McNemarův chí-kv. (A/D)
(B/C)
4,000000 df=1 p=,04550
4,027103 df=1 p=,04478
3,240000 df=1 p=,07186
p=,03567
p=,07134
,0250000 df=1 p=,87437
,0166667 df=1 p=,89728
Ve výstupní tabulce je mimo jiné uvedena p-hodnota pro oboustranný a jednostranný test.
V našem případě se jedná o oboustranný test (nevíme, zda muži více preferují nápoj A či
nápoj B než ženy), zajímáme se tedy o Fisherův přesný, 2-str. Ta je 0,07134. Protože phodnota
je větší než 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný
typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Příklad 6.: Pro údaje z příkladu 5 vypočtěte podíl šancí a sestrojte 95% asymptotický interval
spolehlivosti pro podíl šancí. Pomocí tohoto intervalu spolehlivosti testujte na asymptotické
hladině významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví
respondenta.
Výsledky: 4,0
9
4
OR == , 95% interval spolehlivosti pro podíl šancí je ( 2,0 ; 0,99).
Neobsahuje číslo 1, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o
nezávislosti hodnocení úrovně časopisu na pohlaví respondenta.
Tento výsledek je v rozporu s výsledkem, ke kterému dospěl Fisherův přesný test. Je to
způsobeno tím, že test pomocí asymptotického intervalu spolehlivosti je pouze přibližný.
Příklad 7.: Při zápočtové písemce z matematiky, kterou psalo 37 studentů, bylo zjištěno
pohlaví studenta a úspěch či neúspěch při písemce. Máte k dispozici kontingenční tabulku:
pohlavíÚspěch
muž žena
Ano 9 12
Ne 7 9
a) Vypočtěte relativní četnost úspěšných mužů mezi všemi muži a relativní četnost
úspěšných žen mezi všemi ženami.
b) Vypočtěte a interpretujte podíl šancí na úspěch.
c) Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti úspěchu a
pohlaví studenta. Ověřte splnění podmínek dobré aproximace, uveďte hodnotu testové
statistiky K, kritický obor a rozhodnutí o nulové hypotéze.
Výsledky:
ad a) Relativní četnost úspěšných mužů: 0,5625, relativní četnost úspěšných žen: 0,5714
ad b) Podíl šancí OR = 0,96
Protože podíl šancí je velmi blízký 1, úspěch u písemky téměř není závislý na pohlaví
studenta.
ad c) Podmínky dobré aproximace jsou splněny.
Testová statistika: K = 0,00295, kritický obor )∞= ,841,3W . Protože testová statistika se
nerealizuje v kritickém oboru, hypotézu o nezávislosti úspěchu a pohlaví nezamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05.