Cvičení 13.: Jednoduchá lineární regresní analýza II
Příklad 1.: Rozhodněte, zda následující dvojice přímek mohou být sdruženými regresními
přímkami. V kladném případě najděte těžiště příslušného tečkového diagramu.
a) y = 13 – 2x, x = 2,5
Výsledek: Uvedené přímky mohou být sdruženými regresními přímkami. Protínají se v bodě
o souřadnicích [2,5; 8].
b) y = 13 – 2x, x = 0,4y
Výsledek: Uvedené přímky mohou být sdruženými regresními přímkami. Protínají se v bodě
o souřadnicích [ 2,7;8,2 ].
c) y = 13 – 2x, x = 8 – y
Výsledek: Uvedené přímky nemohou být sdruženými regresními přímkami.
d) y = 13 – 2x, x = 6,5 – 0,5y
Výsledek: Uvedené přímky mohou být sdruženými regresními přímkami a splynou.
Příklad 2.: Od šesti náhodně vybraných domácností byly získány údaje o počtu členů
(veličina X) a měsíčních výdajích za určitý druh zboží (veličina Y).
X 1 2 3 4 5 6
Y 550 750 1200 1450 2200 2250
a) Najděte rovnici regresní přímky, která vystihuje závislost výdajů na počtu členů
domácnosti. Pro úsporu času máte uvedeny následující výsledky:
14310000y,91x,35950yx,8400y,21x
6
1i
2
i
6
1i
2
i
6
1i
ii
6
1i
i
6
1i
i ===== ∑∑∑∑∑ =====
.
b) Vypočtěte index determinace a interpretujte ho.
Výsledek:
ad a) y = 90 + 374,286x
ad b) 961,0ID2
= . Znamená to, že 96,1 % variability výdajů za určitý druh zboží je
vysvětleno regresní přímkou.
Příklad 3.: Koeficienty regresní přímky vyjadřující závislost Y na X jsou b0 = 67,5, b1 = 0,3.
Koeficient korelace veličin X a Y je 0,75. Průměr veličiny X je 25, veličiny Y je 75. Najděte
koeficienty druhé regresní přímky.
Výsledek: Druhá regresní přímka má rovnici x = -115,625 + 1,875y
Příklad 4.: Na podzim byla uskladněna zimní jablka. Po čase bylo vždy odebráno několik
kusů a u každého byla posuzována chuť, tvrdost, kvalita slupky a celkový vzhled jablka.
Vyšší počet bodů odpovídá lepší kvalitě ovoce. Doba, která uplynula od uskladnění, je
nezávisle proměnná veličina X, počet bodů závisle proměnná veličina Y.
X Y
0 5 6 4 5
2 9 7 8
4 9 8 10 10 8
6 8 5 7 4 6
8 3 1 2
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že regresní přímka je vhodný model závislosti
Y na X. Pokud bude hypotéza o adekvátnosti regresní přímky zamítnuta, použijte model
regresní paraboly.
Řešení v systému STATISTICA:
Načteme datový soubor zimni_jablka.sta se dvěma proměnnými X a Y a 20 případy.
Data znázorníme graficky:
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
0
2
4
6
8
10
12
Y
Je zřejmé, že přímka nebude vhodným regresním modelem.
Test adekvátnosti modelu provedeme pomocí Obecných regresních modelů:
Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Obecné regresní modely – Jednorozměrná
regrese - OK – na záložce Možnosti zaškrtneme Kvalita proložení – OK – Závislá Y, Spoj.
nezáv. prom. X – OK – Více výsledků – Celkové R – ve stromové struktuře vlevo vybereme
Test kvality modelu.
Test of Lack of Fit (zimni_jablka.sta)
Dependnt
Variable
SS
Residual
df
Residual
MS
Residual
SS
Pure Err
df
Pure Err
MS
Pure Err
SS Lack
of Fit
df Lack
of Fit
MS Lack
of Fit
F p
Y 114,3056 18 6,350309 20,00000 15 1,333333 94,30556 3 31,43519 23,57639 0,000006
Hodnota testové statistiky je 23,576 a odpovídající p-hodnota je blízká 0. Na hladině
významnosti 0,05 tedy zamítáme hypotézu, že přímka je vhodným modelem k popisu
závislosti kvality jablek na době skladování.
Použijeme-li model 2
210 xxy β+β+β= , nemůžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout
hypotézu, že tento model je adekvátní, neboť odpovídající p-hodnota je 0,4619:
Test of Lack of Fit (zimni_jablka.sta)
Dependnt
Variable
SS
Residual
df
Residual
MS
Residual
SS
Pure Err
df
Pure Err
MS
Pure Err
SS Lack
of Fit
df Lack
of Fit
MS Lack
of Fit
F p
Y 22,16943 17 1,304084 20,00000 15 1,333333 2,169434 2 1,084717 0,813538 0,461919
Odhadnuté parametry:
Regression Summary for Dependent Variable: Y (zimni_jablka.sta)
R= ,90909975 R2= ,82646235 Adjusted R2= ,80604616
F(2,17)=40,481 p<,00000 Std.Error of estimate: 1,1420
N=20
b* Std.Err.
of b*
b Std.Err.
of b
t(17) p-value
Intercept
X
Xkv
5,038438 0,542163 9,29322 0,000000
2,32875 0,331422 2,193419 0,312162 7,02653 0,000002
-2,78576 0,331422 -0,325953 0,038779 -8,40547 0,000000
Výsledný model má tvar: y = 5,0384 + 2,1934x – 0,3260x2
.
Příklad 5.: Jsou známy údaje o počtu obyvatel USA v letech 1815 až 1975 (v miliónech
osob):
181518251835184518551865187518851895190519151925 1935 1945 19551965 1975
8,3 11 14,7 19,7 26,7 35,2 44,4 55,9 68,9 83,2 98,8 114,2127,1140,1164 190,9214,3
Předpokládáme, že růst populace se řídí exponenciální regresní funkcí x10
ey β+β
= , kde y je
počet jedinců a x je čas, x = 1815, 1825, …, 1975.
Odhadněte parametry exponenciální regresní funkce. Znázorněte data s proloženou regresní
funkcí. Pomocí D-W statistiky testujte hypotézu, že mezi rezidui neexistuje pozitivní
autokorelace.
Návod: Data jsou uložena v souboru populace_USA.sta. V datovému souboru přidáme novou
proměnnou LnY, do jejíhož Dlouhého jména napíšeme Log(Y). Provedeme regresní analýzu
se závisle proměnnou LnY a nezávisle proměnnou X.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : lny (populace_USA.sta)
R= ,98522411 R2= ,97066655 Upravené R2= ,96871099
F(1,15)=496,36 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : ,18230
N=17
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(15) p-hodn.
Abs.člen
X
-34,0828 1,710803 -19,9221 0,000000
0,985224 0,044222 0,0201 0,000902 22,2792 0,000000
Výsledný model má tedy tvar: y = e-34,0828+0,201.x
Dílčí t-testy vedou k zamítnutí hypotéz o nevýznamnosti regresních parametrů β0, β1, obě phodnoty
jsou blízké 0. Testová statistika celkového F-testu nabývá hodnotu 496,36,
odpovídající p-hodnota je také velmi blízká 0. Exponenciální model vysvětluje variabilitu
počtu osob v USA v letech 1815 – 1975 z 97 %.
Grafické znázornění dat s proloženou regresní funkcí:
1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
X
-50
0
50
100
150
200
250
300
D-W statistika nabývá hodnoty 0,1532. Kritické hodnoty pro α = 0,05, n = 15, p = 2 jsou: dL =
0,95, dU = 1,54. Testová statistika je menší než dL, tedy jsme na hladině významnosti 0,05
prokázali existenci pozitivní autokorelace reziduí.
Nepovinný úkol: Postupem popsaným v přednášce odstraňte problém autokorelovaných
reziduí.
Příklad k samostatnému řešení: Ředitel státní správy nebyl spokojen s prací jistého
oddělení. Nařídil proto, aby po dobu půl roku nejméně jednou měsíčně byla práce pracovníků
tohoto oddělení kontrolována a hodnocena. Po půl roce obdržel výsledky hodnocení a chtěl
vědět, zda se práce zlepšila. V tabulce jsou uvedeny průměrné hodnoty bodového hodnocení
(škála 1 až 10, 1 nejlepší, 10 nejhorší) za příslušné měsíce:
body 8,0 7,8 7,3 6,4 6,0 5,6
měsíc leden leden leden únor únor únor
body 5,4 4,8 5,7 5,0 4,8 4,7
měsíc březen březen březen duben květen červen
Proveďte test adekvátnosti přímkového modelu [p = 0,043] a kvadratického modelu [p = 0,6].
Pomocí kvadratického modelu najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro predikci
bodového hodnocení pro měsíc červen a pomocí statistického softwaru nakreslete graf 95%
pásu spolehlivosti. [predikce = 4,896, dolní mez = 4,128, horní mez = 5,664].
Data jsou uložena v souboru statni_sprava.sta.
Bodový graf z Y proti X
statni_sprava.sta 3v*12c
Y = 9,3461-1,9704*x+0,2048*x^2; 0,95 Int.spol.
0 1 2 3 4 5 6 7
X
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
Y