2. cvičení: Základní pojmy matematické statistiky. Diagnostické grafy.
Příklad 1.: Odvoďte hustotu náhodného výběru z normálního rozložení N(µ, σ2
).
Výsledek:
Náhodný vektor (X1, …, Xn)’ má hustotu
( ) ( )
∑
πσ=ϕ






σ
µ−
−
−
2
ix
2
1
2
n
2
n1 e2x,,x K , což je hustota n – rozměrného normálního rozložení
s vektorem středních hodnot µ = (µ, …, µ)’ a varianční maticí σ2
I.
Příklad 2.: Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení se střední hodnotou µ a rozptylem
σ2
. Nechť n ≥ 2.
a) Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl výběrového průměru M = ∑=
n
1i
iX
n
1
.
b) Vypočtěte střední hodnotu výběrového rozptylu S2
= ( )∑=
−
−
n
1i
2
i MX
1n
1
Výsledky:
ad a) E(M) = µ, ad b) E(S2
) = σ2
Příklad 3.: Odvození střední hodnoty a rozptylu výběrové distribuční funkce
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení s distribuční funkcí Φ(x). Nechť n ≥ 2.
Pro libovolné, ale pevně zvolené reálné x vypočtěte střední hodnotu a rozptyl výběrové distribuční
funkce { }xX;icard
n
1
)x(F in ≤= .
Výsledky:
E(Fn(x)) = Φ(x), D(Fn(x)) = Φ(x)(1- Φ(x))/n.
Příklad 4.: Odvození střední hodnoty výběrové kovariance
Nechť (X1,Y1), ..., (Xn,Yn) je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení s vektorem středních
hodnot (µ1, µ2) a kovariancí σ12. Vypočtěte střední hodnotu výběrové kovariance
S12 = ( )( )∑=
−−
−
n
1i
2i1i MYMX
1n
1
.
Výsledek: E(S12) = σ12
Příklad 5.: Ve 12 náhodně vybraných prodejnách ve městě byly zjištěny následující ceny
určitého výrobku (v Kč): 102, 99, 106, 103, 96, 98, 100, 105, 103, 98, 104, 107. Těchto
12 hodnot považujeme za realizace náhodného výběru X1, ..., X12 z rozložení, které má střední
hodnotu µ a rozptyl σ2
.
a) Vypočtěte realizaci výběrového průměru a výběrového rozptylu.
b) Najděte výběrovou distribuční funkci F12(x) a nakreslete její graf.
Výsledky: m = 101,75 Kč, s2
= 12,39 Kč2
Hodnoty a graf výběrové distribuční funkce
1)x(F:071x
691,0
12
11
)x(F:107x106
38,0
12
10
)x(F:106x105
75,0
12
9
)x(F:105x104
6,0
12
8
)x(F:104x103
5,0
12
6
)x(F:103x102
641,0
12
5
)x(F:102x001
3,0
12
4
)x(F:001x99
25,0
12
3
)x(F:99x89
308,0
12
1
)x(F:98x96
0)x(F:96x
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
=≥
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
=<
96 98 99 100 102 103 104 105 106 107
x
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
F12(x)
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné (nazveme ji X) a 12 případech. Do proměnné
X napíšeme zjištěné ceny.
Výpočet realizace výběrového průměru a výběrového rozptylu:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní
výsledky – vybereme Průměr a Rozptyl – Výpočet. Dostaneme tabulku:
Popisné statistiky (Tabulka15)
Proměnná Průměr Rozptyl
X 101,7500 12,38636
Výpočet hodnot výběrové distribuční funkce:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK – Proměnné X – OK – Možnosti
– ponecháme zaškrtnuté pouze Kumulativní relativní četnosti – Výpočet.
Kreslení grafu výběrové distribuční funkce:
Ke vzniklé tabulce přidáme jeden případ před první případ (do sloupce Kategorie napíšeme
95, do sloupce Kumulativní rel. četnost napíšeme 0 ) a jeden případ za poslední případ (do
sloupce Kategorie napíšeme 107, do sloupce Kumulativní rel. četnost napíšeme 100). Proměnnou
Kumulativní rel. četnost podělíme 100: do jejího Dlouhého jména napíšeme =
v2/100.
Nastavíme se kurzorem na proměnnou Kumulativní rel. četnost, klikneme pravým tlačítkem –
Grafy bloku dat – Spojnicový graf: celé sloupce. Ve vytvořeném grafu odstraníme značky,
spojnici změníme na schodovitou a upravíme měřítko na vodorovné ose od 1 do 12.
Příklad 6.: Přírůstky cen akcií v % na burze v New Yorku u 10 náhodně vybraných společností
dosáhly těchto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4.
Odhadněte střední hodnotu a směrodatnou odchylku růstu cen akcií a dále odhadněte pravděpodobnost
růstu cen akcií aspoň o 8,5 %.
Pomocí systému STATISTICA nakreslete krabicový diagram a NP plot.
Výsledky: Průměrný růst cen akcií odhadujeme na 8 % se směrodatnou odchylkou 3,97 %.
Dále, u 40 % akcií vzrostla cena aspoň o 8,5 %.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné (nazveme ji X) a 10 případech. Do proměnné
X napíšeme zjištěné přírůstky cen akcií.
Výpočet realizace výběrového průměru a výběrové směrodatné odchylky:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní
výsledky – vybereme Průměr a Směrodat. odchylka – Výpočet. Dostaneme tabulku:
Popisné statistiky (Tabulka1)
Proměnná Průměr Sm.odch.
X 8,000000 3,972125
Odhad pravděpodobnosti růstu cen akcií aspoň o 8,5 %:
Překódujeme hodnoty proměnné X tak, že hodnotám větším nebo rovným 8,5 přiřadíme 1 a
ostatním hodnotám 0.
Nastavíme se kurzorem na X. Data – Překódovat. Otevře se okno, které vyplníme takto:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK – Proměnné X – OK –– Vý-
počet.
Tabulka četností:X (Tabulka1)
Kategorie
Četnost Kumulativní
četnost
Rel.četnost Kumulativní
rel.četnost
0
1
ChD
6 6 60,00000 60,0000
4 10 40,00000 100,0000
0 10 0,00000 100,0000
Vidíme, že u Kategorie 1 je relativní četnost 40 %.
Kreslení krabicového grafu:
Grafy – 2D Grafy – Krabicové grafy - Proměnné – Závisle proměnné X - OK.
Krabicový graf z X
burza_v_New_Yorku.sta 1v*10c
Medián = 7
25%-75%
= (5, 10)
Rozsah neodleh.
= (4, 16)
Odlehlé
Extrémy2
4
6
8
10
12
14
16
18
X
Kreslení NP plotu:
Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – Proměnné X – zrušíme Neurčovat
průměrnou pozici svázaných pozorování - OK.
Normální p-graf z X
burza_v_New_Yorku.sta 1v*10c
2 4 6 8 10 12 14 16 18
Pozorovaný kvantil
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Oček.normál.hodnoty
Příklad 7.: Výpočet výběrového koeficientu korelace
Máme k dispozici výsledky testů ze dvou předmětů zjištěné u osmi náhodně vybraných studentů
určitého oboru.
Číslo studenta 1 2 3 4 5 6 7 8
Počet bodů v 1. testu 80 50 36 58 42 60 56 68
Počet bodů ve 2. testu 65 60 35 39 48 44 48 61
Vypočtěte a interpretujte výběrový koeficient korelace. Pro usnadnění výpočtů máte
k dispozici tyto součty:
23214yx,20836y,26684x,400y,450x
8
1i
ii
8
1i
2
i
8
1i
2
i
8
1i
i
8
1i
i ===== ∑∑∑∑∑ =====
Dále pomocí systému STATISTICA nakreslete dvourozměrný tečkový diagram s proloženou
95% elipsou konstantní hustoty pravděpodobnosti.
Výsledek:
r12 = 0,6668, mezi výsledky obou testů existuje středně silná přímá lineární závislost.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných X a Y a osmi případech. Do proměnných
X a Y zapíšeme hodnoty testů.
Výpočet výběrové kovariance: Statistiky – Vícerozměrná regrese – Proměnné – Závisle proměnná
Y, nezávisle proměnná X – OK – OK – Residua/předpoklady/předpovědi – Popisné
statistiky – Další statistiky – Kovariance. Dostaneme tabulku:
Kovariance (dva testy.sta)
Proměnná X Y
X
Y
195,9286 102,0000
102,0000 119,4286
Vidíme, že výběrová kovariance veličin X, Y se realizuje hodnotou 102. (Výběrový rozptyl
proměnné X resp. Y nabyl hodnoty 195,93 resp. 119,43.)
Výpočet výběrového koeficientu korelace: V menu Další statistiky vybereme Korelace.
Korelace (dva testy.sta)
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,666802
0,666802 1,000000
Výběrový koeficient korelace veličin X, Y nabyl hodnoty 0,6668, tedy mezi veličinami x, Y
existuje středně silná přímá lineární závislost.
Upozornění: Výběrový koeficient korelace lze pomocí systému STATISTICA vypočítat i
jiným způsobem: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam
proměnných – X, Y – OK – Výpočet. Ve výsledné tabulce máme též realizace výběrových
průměrů a směrodatných odchylek.
Korelace (dva testy.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=8 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Průměry Sm.odch. X Y
X
Y
56,25000 13,99745 1,000000 0,666802
50,00000 10,92834 0,666802 1,000000
Kreslení dvourozměrného tečkového diagramu s 95% elipsou konstantní hustoty pravděpo-
dobnosti:
Grafy – 2D Grafy - Bodové grafy. Vypneme lineární proložení. Zadáme Proměnné – X – Y –
OK.
Dostaneme dvourozměrný tečkový diagram pro vektorovou proměnnou (X, Y).
Nyní do diagramu zakreslíme 95% elipsu konstantní hustoty pravděpodobnosti: 2x klikneme
na pozadí grafu a otevře se okno s názvem Vš. možnosti.
Vybereme Graf: Elipsa, zvolíme Přidat novou elipsu.
Po vykreslení elipsy změníme měřítko: na vodorovné ose bude minimum 0, maximum 120,
na svislé ose bude minimum 0, maximum 100. (Stačí 2x kliknout na číselný popis osy a na
záložce Měřítka vybrat manuální mód.)
Bodový graf z Y proti X
dva testy.sta 2v*8c
0 20 40 60 80 100 120
X
0
20
40
60
80
100
Y