3. cvičení: Bodové a intervalové odhady. Metody hledání bodových odhadů.
Příklad 1.: Nezávisle opakovaná laboratorní měření určité konstanty jsou charakterizována
náhodným výběrem X1, ..., Xn, E(Xi) = µ, D(Xi) = σ2
, i = 1, ..., n. Uvažme statistiky
∑=
+
==
n
1i
n1
nin
2
XX
L,X
n
1
M .
a) Dokažte, že Mn a Ln jsou nestranné odhady konstanty µ a zjistěte, který z nich je lepší.
b) Dokažte, že { } { }∞
=
∞
= 1nn1nn LaM tvoří posloupnosti asymptoticky nestranných odhadů
konstanty µ.
c) Zjistěte, zda { } { }∞
=
∞
= 1nn1nn LaM tvoří posloupnosti konzistentních odhadů konstanty µ.
Výsledky:
ad a) ( ) µ=nME , ( ) µ=nLE , ( )
n
MD
2
n
σ
= , ( )
2
LD
2
n
σ
=
Mn je lepší odhad než Ln pro n ≥ 3.
ad b) Asymptotická nestrannost plyne z nestrannosti.
ad c) 0
n
lim)M(Dlim
2
n
n
n
=
σ
=
∞→∞→
, tedy posloupnost { }M 1nn
∞
=
je posloupností konzistentních
odhadů konstanty µ.
0
2
lim)L(Dlim
2
n
n
n
>
σ
=
∞→∞→
, tedy posloupnost { }∞
=1nnL není posloupností konzistentních odhadů
konstanty µ.
Příklad 2.: Nechť 1n111 X,,X K a 2n221 X,,X K jsou stochasticky nezávislé náhodné výběry,
první z rozložení se střední hodnotou µ1 a rozptylem σ2
, druhý z rozložení se střední hodnotou
µ2 a rozptylem σ2
. Označme M1, M2 výběrové průměry, S1
2
, S2
2
výběrové rozptyly a
( ) ( )
2nn
S1nS1n
S
21
2
22
2
112
*
−+
−+−
= vážený průměr výběrových rozptylů
a) Dokažte, že statistika M1 - M2 je nestranným odhadem parametrické funkce µ1 - µ2.
b) Dokažte, že S*
2
je nestranným odhadem σ2
.
Výsledky:
ad a) E(M1 - M2) = µ1 - µ2.
ad b) 22
* )S(E σ= .
Příklad 3.: Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení Rs(0,b), kde b > 0 je neznámý
parametr. Jsou definovány statistiky T1 = 4321 X
6
1
X
3
1
X
2
1
X +++ a
T2 = ( )4321 XXXX
2
1
+++ . Ukažte, že T1, T2 jsou nestranné odhady parametru b a určete,
který odhad je lepší.
Výsledky:
( ) bTE 1 = , ( ) bTE 2 =
( ) 2
2
1 b116,0
216
b25
TD == , ( ) 2
2
2 b083,0
12
b
TD ==
Menší rozptyl má statistika T2, odhad T2 je tedy lepší než T1.
Příklad 4.: Nechť X1, ..., X9 je náhodný výběr z rozložení N(µ;0,01). Realizace výběrového
průměru je m = 3. Sestrojte 100(1-α)% empirický interval spolehlivosti pro neznámou střední
hodnotu µ, je-li a) α = 0,01, b) α = 0,05, c) α = 0,1.
Výsledky:
ad a) 2,914 mm < µ < 3,086 mm s pravděpodobností aspoň 0,99.
ad b) 2,935 mm < µ < 3,065 mm s pravděpodobností aspoň 0,95.
ad c2,945 mm < µ < 3,055 mm s pravděpodobností aspoň 0,90.
Vidíme, že s rostoucím rizikem klesá šířka intervalu spolehlivosti.
Příklad 5.: Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(µ;0,01). Realizace výběrového
průměru je m = 3. Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro neznámou střední
hodnotu µ, je-li a) n = 4, b) n = 9, c) n = 16.
Výsledky:
ad a) 2,902 mm < µ < 3,098 mm s pravděpodobností aspoň 0,95.
ad b) 2,935 mm < µ < 3,065 mm s pravděpodobností aspoň 0,95.
ad c) 2,951 mm < µ < 3,049 mm s pravděpodobností aspoň 0,95.
Vidíme, že s rostoucím rozsahem výběru klesá šířka intervalu spolehlivosti.
Příklad 6.: Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(µ, 0,04). Jaký musí být
minimální rozsah výběru, aby šířka 95% intervalu spolehlivosti pro µ nepřesáhla číslo 0,16?
Výsledek: n ≥ 25.
Příklad 7.: Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení Po(λ). Odhadněte parametr λ, a to
a) metodou maximální věrohodnosti
b) metodou momentů.
Výsledky: V obou případech je odhadem parametru λ výběrový průměr M.