4. cvičení: Úvod do testování hypotéz. Testy normality.
Příklad 1.: Systematická chyba měřicího přístroje se eliminuje nastavením přístroje a
měřením etalonu, jehož správná hodnota je µ = 10,00. Nezávislými měřeními za stejných
podmínek byly získány hodnoty: 10,24 10,12 9,91 10,19 9,78 10,14 9,86 10,17 10,05,
které považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozložení N(µ, σ2
), kde střední
hodnotu µ neznáme a výrobce přístroje garantuje směrodatnou odchylku σ = 0,15. Budeme
testovat hypotézu, že µ = 10.
Proti nulové hypotéze H0: µ = 10 postavíme oboustrannou alternativu H1: µ ≠ 10. Na hladině
významnosti 0,05 testujte H0 proti H1
a) pomocí kritického oboru
b) pomocí intervalu spolehlivosti
c) pomocí p-hodnoty
Výsledky:
t0 = 1,022
Ad a) ( )∞∪−∞−= ,96,196,1,W . Protože 1,022 ∉ W, H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Ad b) (d, h) = (9,953; 10,149). Protože 10 ∈(-∞; 10,133), H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Ad c) p = 0,3077. Protože 0,3077 > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Příklad 2.: Uvažme data z 1. příkladu. Proti nulové hypotéze H0: µ = 10 postavíme
levostrannou alternativu H1: µ < 10. Na hladině významnosti 0,05 testujte H0 proti H1
a) pomocí kritického oboru
b) pomocí intervalu spolehlivosti
c) pomocí p-hodnoty
Výsledky:
Ad a) ( 64,1,W −∞−= . Protože 1,022 ∉ W, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Ad b) (-∞, h) = (-∞; 10,133). Protože 10 ∈(9,953; 10,149), H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Ad c) p = 0,3077. Protože 0,3077 > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Příklad 3.: Uvažme data z 1. příkladu. Proti nulové hypotéze H0: µ = 10 postavíme
pravostrannou alternativu H1: µ > 10. Na hladině významnosti 0,05 testujte H0 proti H1
a) pomocí kritického oboru
b) pomocí intervalu spolehlivosti
c) pomocí p-hodnoty
Výsledky:
Ad a) )∞= ,64,1W . Protože 1,022 ∉ W, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Ad b) (d, ∞) = (9,969; ∞). Protože 10 ∈(9,969; ∞)H0 nezamítáme na hladině významnosti
0,05.
Ad c) p = 0,15386. Protože 0,15386 > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Příklad 4.: V sedmi náhodně vybraných prodejnách byly zjišťovány ceny určitého druhu
zboží (v Kč): 35 29 30 33 45 33 36. Pomocí Lilieforsovy varianty K-S testu zjistěte, zda
na hladině významnosti 0,05 lze tyto hodnoty považovat za realizace výběru z normálního
rozložení.
Výsledky:
Testová statistika: D7 = 0,23923, modifikovaná kritická hodnota pro n = 7, α = 0,05 je 0,3.
Protože 0,23923 < 0,3, hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné (nazveme ji X) a 7 případech. Do proměnné
X napíšeme zjištěné ceny.
Statistika – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK – Proměnné X – OK –
zvolíme záložku Normalita – odškrtneme K – S test – Testy normality. Dostaneme tabulku:
Testy normality (ceny_zbozi.sta)
Proměnná
N max D Lilliefors
p
X 7 0,240290 p > .20
Testová statistika nabývá hodnoty 0,24 (rozdíl oproti ručnímu výpočtu je způsoben
zaokrouhlováním), odpovídající p-hodnota je větší než 0,05, tedy na hladině významnosti
0,05 nezamítáme hypotézu o normalitě cen daného druhu zboží.
Doplnění: V systému STATISTICA lze snadno provést i Shapiro -Wilkův test a Andersonův
– Darlingův test.
Provedení Shapiro – Wilkova testu:
V menu vybereme Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK, Proměnné
X – OK. Na záložce zvolíme Normalita a zaškrtneme Shapiro – Wilkův W test – Testy
normality.
Testy normality (ceny_zbozi.sta)
Proměnná N W p
X 7 0,868661 0,180679
Vidíme, že testová statistika S-W testu je W = 0,8687, odpovídající p-hodnota je 0,1807, tedy
hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Provedení A - D testu:
Statistiky – Rozdělení & simulace – proložení dat rozděleními – OK – Proměnné Spojité: X –
na záložce Spojité proměnné ponecháme zaškrtnuté pouze Normální, na záložce Možnosti
vybereme Anderson – Darling – OK – Souhrnné statistiky rozdělení.
Souhrn rozdělení for Proměnná: X (ceny_zbozi.sta)
AD stat. AD p-hodn.
Normální (poloha,měřítko) 0,455557 0,786985
Testová statistika A – D testu je 0,4556, odpovídající p-hodnota je 0,787, tedy hypotézu o
normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.