5. cvičení: Úlohy o jednom náhodném výběru z normálního a alternativního
rozložení.
Příklad 1.: Lze předpokládat, že hmotnost pomerančů dodávaných do obchodní sítě se řídí normálním rozložením se střední hodnotou 170 g a směrodatnou odchylkou 12 g. Jaká je pravděpodobnost, že celková hmotnost 9 náhodně vybraných pomerančů balených do síťky překročí 1,5 kg? Výsledek: 0,797.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
9
Uvědomíme si, že výběrový úhrn se řídí normálním rozložením se střední hodnotou
i=l
9 • 170 = 1530 a rozptylem 9 • 144 = 1296 .
Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme
= 1 - INormal(1500;1530;sqrt(1296)). Zjistíme, že hledaná pravděpodobnost je 0,797. (Funkce INormal(x;(j,;a) počítá hodnotu distribuční funkce rozložení N([j,,g2) v bodě x.)
Příklad 2.: Počet bodů v testu inteligence je náhodná veličina, která se řídí rozložením N(100,225). Jaká je pravděpodobnost, že průměr v náhodně vybrané skupině 20 osob bude větší než 105 bodů? Výsledek: 0,06944.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Uvědomíme si, že výběrový průměr se řídí normálním rozložením se střední hodnotou 100 a 225
rozptylem-.
20
Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme
= 1 - INormal(105;100;sqrt(225/20)). Zjistíme, že hledaná pravděpodobnost je 0,068.
Příklad 3.: Při provádění určitého pokusu bylo zapotřebí udržovat v laboratoři konstantní teplotu 26,5°C. Teplota byla v jednom pracovním týdnu 46x namátkově kontrolována v různých denních a nočních hodinách. Z výsledků měření byly vypočteny realizace výběrového průměru a výběrové směrodatné odchylky: m = 26,33°C, s = 0,748°C. Za předpokladu, že výsledky měření teploty se řídí rozložením N(n,o ), vypočtěte 95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu [i i pro směrodatnou odchylku o. Výsledky:
26,11°C <[i< 26,55°C s pravděpodobností aspoň 0,95. 0,62°C < o < 0,94°C s pravděpodobností aspoň 0,95.
Příklad 4.: U 25 náhodně vybraných dvoulitrových lahví s nealkoholickým nápojem byl zjištěn přesný objem nápoje. Výběrový průměr činil m = 1,99 1 a výběrová směrodatná odchylka s = 0,1 1. Předpokládejme, že objem nápoje v láhvi je náhodná veličina s normálním rozložením.
a) Na hladině významnosti 0,05 ověřte tvrzení výrobce, že zákazník není znevýhodněn.
b) Na hladině významnosti 0,05 ověřte tvrzení výrobce, že směrodatná odchylka je 0,08 1. Výsledky:
Ad a) Řešení pomocí intervalu spolehlivosti: Protože číslo c = 2 leží v intervalu (- °°, 2,0242) nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05. Řešení pomocí kritického oboru:
Jelikož hodnota testového kritéria -0,5 neleží v kritickém oboru (-oo;- 1,7109), nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Statistiky - Základní statistiky/tabulky - Testy rozdílů: r, %, průměry - OK - vybereme Rozdíl mezi dvěma průměry (normální rozdělení) - zaškrtneme Výběrový průměr vs. Střední hodnota a Jednostr. - do políčka Prl napíšeme 1,99 do políčka SmOdl napíšeme 0,1, do políčka NI napíšeme 25, do políčka Pr2 napíšeme 2 - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,3108, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.
ad b) Řešení pomocí intervalu spolehlivosti:
Protože číslo c = 0,08 leží v intervalu (0,0781,0,139l) nezamítáme nulovou hypotézu na
hladině významnosti 0,05. Řešení pomocí kritického oboru:
Jelikož hodnota testového kritéria 37,5 neleží v kritickém oboru (0;12,401> u (39,364; oo), nejsme oprávněni na hladině významnosti 0,05 zamítnout tvrzení výrobce.
Příklad 5.: Bylo vybráno šest nových vozů téže značky a po určité době bylo zjištěno, o kolik mm se sjely jejich levé a pravé přední pneumatiky. Výsledky: (1,8; 1,5), (1,0; 1,1), (2,2; 2,0), (0,9; 1,1), (1,5; 1,4), (1,6; 1,4). Za předpokladu, že rozdíly uvedených dvojic tvoří náhodný výběr z normálního rozložení s vektorem středních hodnot, testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě pneumatiky se sjíždějí stejně rychle. Výsledky:
Řešení pomocí intervalu spolehlivosti: Protože číslo c = 0 leží v intervalu (-0,1203,0,287), nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05. Řešení pomocí kritického oboru:
Jelikož hodnota testového kritéria 1,0518 neleží v kritickém oboru
(-oo;-2,5706)u (2,5706; °°), nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout nulovou hypotézu. Výpočet pomocí systému STATISTICA
Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými X a Y a šesti případy. Do proměnných X a Y napíšeme zjištěné hodnoty.
Statistiky - Základní statistiky/tabulky - t-test, závislé vzorky. Zadáme názvy obou proměnných a ve výstupu se podíváme na hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu.
Proměnná	t-test pro závislé vzorky (Tabulkal) Označ, rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000					
	Průměr	Sm.odch.	N Rozdíl	Sm.odch. t rozdílu	sv	P
X	1,500000 0,489898					
Y	1,416667	0,331160	6 0,083333	0,194079 1,051758	5	0,341062
Protože p-hodnota 0,341062 > 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě přední pneumatiky se sjíždějí stejně rychle.
Příklad 6.: Může politická strana, pro niž se v předvolebním průzkumu vyslovilo 60 z 1000 dotázaných osob, očekávat se spolehlivostí aspoň 0,95, že by v této době ve volbách překročila 5% hranici pro vstup do parlamentu? Výsledek:
S pravděpodobností přibližně 0,95 platí, žei3 > 0,047647. Protože tento interval zahrnuje i hodnoty nižší než 0,05, nelze vyloučit, že strana získá méně než 5% hlasů.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Statistiky - Analýza síly testu - Odhad intervalu - Jeden podíl, Z, Chí-kvadrát test - OK -Pozorovaný podíl p: 0,06, Velik. Vzorku (N): 1000, Spolehlivost: 0,9 - Vypočítat. Dostaneme 0,0476.
Příklad 7.: Určitá cestovní kancelář organizuje zahraniční zájezdy podle individuálních přání zákazníků. Z několika minulých let ví, že 30 % všech takto organizovaných zájezdů má za cíl zemi X. Po zhoršení politických podmínek v této zemi se cestovní kancelář obává, že se zájem o tuto zemi mezi zákazníky sníží. Ze 150 náhodně vybraných zákazníků v tomto roce má 38 za cíl právě zemi X. Potvrzují nejnovější data pokles zájmu o tuto zemi? Volte hladinu významnosti 0,05. Výsledek:
Testové kritérium se realizuje hodnotou -1,24722, která nepatří do kritického oboru, -oo,-1,645). Ho nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Výpočet pomocí systému STATISTICA
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných (nazveme je tO a kvantil) a jednom případu. Vypočteme realizaci testového kritéria tak, že do Dlouhého jména proměnné tO napíšeme =(3 8/150-0,3)/sqrt(0,3 *0,7/150) Do Dlouhého jména proměnné kvantil napíšeme =VNormal(0,95;0;l) Tím získáme kvantil up^s._
		
	to	2 kvantil
1	-1,24721913	1,644854
Jelikož realizace testového kritéria to = -1,24721913 nepatří do kritického oboru W = (-oo,-l,644854) , Ho nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Příklad 8.: Při výstupní kontrole bylo náhodně vybráno 150 výrobků vyrobených na ranní směně a rovněž 150 výrobků vyrobených na odpolední směně. U ranní směny bylo zjištěno 16 zmetků a u odpolední 12 zmetků. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pravděpodobnost vyrobení zmetků v obou směnách je táž. Test proveďte pomocí intervalu spolehlivosti a pomocí p-hodnoty. Výsledek:
S pravděpodobností přibližně 0,95 platí, že -0,039 < ůl-ů2 < 0,092. Protože tento interval obsahuje 0, nezamítáme Ho na hladině významnosti 0,05.
Test pomocí p-hodnoty provedeme ve STATISTICE:
Nejprve vypočteme relativní četnosti vyrobení zmetku na ranní a odpolední směně:
m, = — = 0,1067 , m2 = — = 0,08 1    150 2 150
Statistiky - Základní statistiky a tabulky - Testy rozdílů: r, %, průměry - OK - vybereme Rozdíl mezi dvěma poměry - do políčka P 1 napíšeme 0,1067, do políčka NI napíšeme 150, do políčka P 2 napíšeme 0,08, do políčka N2 napíšeme 150 -Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,4274, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.