6. cvičení: Úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech z normálního
a alternativního rozložení.
Příklad 1.: Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n1 = 25, n2 = 10, první pochází
z rozložení N(µ1, σ1
2
), druhý z rozložení N(µ2, σ2
2
), kde parametry µ1, µ2, σ1
2
, σ2
2
neznáme.
Byly vypočteny realizace výběrových rozptylů: s1
2
= 1,7482, s2
2
= 1,7121. Na hladině
významnosti 0,05 testujte hypotézu, že neznámé rozptyly σ1
2
a σ2
2
jsou shodné proti oboustranné
alternativě. Test proveďte pomocí intervalu spolehlivosti.
Výsledek: Testujeme H0:
2
2
2
1
σ
σ
= 1 proti H1:
2
2
2
1
σ
σ
≠ 1
Protože číslo 1 leží v intervalu (0,28; 2,76), H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Příklad 2.: Výrobce limonád chtěl zjistit, zda změna technologie výroby se projeví v prodeji
limonád. Proto sledoval po 14 náhodně vybraných dnů před zavedením nových limonád tržby
v určitém regionu a zjistil, že za den utržil v průměru 39 600 Kč se směrodatnou odchylkou
5 060 Kč. Po zavedení nových limonád prověřil stejným způsobem tržby v 11 náhodně vybraných
dnech v témž regionu a zjistil průměrný příjem 41 200 Kč se směrodatnou odchylkou
4 310 Kč. Předpokládejte, že tržby za starý typ limonád se řídí rozložením N(µ1, σ1
2
) a tržby
za nový typ limonád se řídí rozložením N(µ2, σ2
2
).
a) Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H0:
2
2
2
1
σ
σ
= 1 proti H1:
2
2
2
1
σ
σ
≠ 1.
b) Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H0: µ1 – µ2 = 0 proti H1: µ1 – µ2 ≠ 0.
Výsledky:
ad a)
Protože testové kritérium 1,3783 se nerealizuje v kritickém oboru
W =
)( ∞∪ ;5832,30,3077;0
, nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu o shodě
rozptylů.
ad b)
Protože testové kritérium -0,8363 se nerealizuje v kritickém oboru
W =
)( ∞∪∞− ;0687,22,0687-;
, na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu
o shodě středních hodnot.
Příklad 3.: Bylo vylosováno 11 stejně starých selat téhož plemene. Šesti z nich byla předepsána
výkrmná dieta č. 1 a zbylým pěti výkrmná dieta č. 2. Průměrné denní přírůstky v Dg za
dobu půl roku jsou následující:
dieta č. 1: 62, 54, 55, 60, 53, 58
dieta č. 2: 52, 56, 49, 50, 51.
Zjištěné hodnoty považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů pocházejících
z rozložení N(µ1, σ1
2
) a N(µ2, σ2
2
).
a) Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro podíl rozptylů.
b) Za předpokladu, že data pocházejí z rozložení N(µ1, σ2
) a N(µ2, σ2
), sestrojte 95% empirický
interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot µ1 - µ2.
Pro usnadnění výpočtů máte k dispozici následující číselné charakteristiky:
m1 = 57, m2 = 51,6, s1
2
= 12,8, s2
2
= 7,3.
Výsledky:
ad a) 0,1872 <
2
2
2
1
σ
σ
< 12,9541 s pravděpodobností aspoň 0,95.
ad b) 0,99 Dg < µ1 - µ2 < 9,81 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95.
Příklad 4.: Pro údaje z 3. příkladu testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že
a) rozptyly hmotnostních přírůstků selat při obou výkrmných dietách jsou shodné
b) obě výkrmné diety mají stejný vliv na hmotnostní přírůstky selat.
Testy proveďte všemi třemi způsoby.
Výsledky:
ad a) Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0:
2
2
2
1
σ
σ
= 1 proti H1:
2
2
2
1
σ
σ
≠ 1.
Testování pomocí kritického oboru:
Protože realizace testového kritéria 1,7534 nepatří do kritického oboru
W =
)( ∞∪ ;3645,901354;0
, nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu o shodě
rozptylů.
Testování pomocí intervalu spolehlivosti:
Protože interval (0,1872; 12,9541) obsahuje číslo 1, H0 nezamítáme na hladině významnosti
0,05.
Testování pomocí p-hodnoty:
Protože p-hodnota = 0,6064 je větší než hladina významnosti 0,05, H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
ad b) Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: µ1 - µ2 = 0 proti H1: µ1 - µ2 ≠ 0.
Testování pomocí kritického oboru:
Protože testové kritérium 2,7712 patří do kritického oboru
( )∞∪−∞−= ;2622,22622,2;W
,
H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že s rizikem omylu nejvýše 5% jsme
prokázali rozdíl v účinnosti obou výkrmných diet.
Testování pomocí intervalu spolehlivosti:
Protože interval (0,99; 9,81) neobsahuje nulu, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Testování pomocí p-hodnoty:
Protože p-hodnota 0,0218 je menší než hladina významnosti 0,05, H0 zamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Provedeme dvouvýběrový t-test současně s testem o shodě rozptylů:
Statistika – Základní statistiky a tabulky – t-test, nezávislé, dle skupin – OK, Proměnné –
Závislé proměnné hmotnost, Grupovací proměnná dieta – OK.
t-testy; grupováno: dieta (Tabulka1)
Skup. 1: 1
Skup. 2: 2
Proměnná
Průměr
1
Průměr
2
t sv p Poč.plat
1
Poč.plat.
2
Sm.odch.
1
Sm.odch.
2
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
hmotnost 57,00000 51,60000 2,771222 9 0,021710 6 5 3,577709 2,701851 1,753425 0,606345
Testová statistika pro test shody rozptylů se realizuje hodnotou 1,7534, odpovídající phodnota
je 0,6063, tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
(Upozornění: v případě zamítnutí hypotézy o shodě rozptylů je zapotřebí v tabulce t-testu pro
nezávislé vzorky dle skupin zaškrtnout volbu Test se samostatnými odhady rozptylu.)
Dále z tabulky plyne, že testová statistika pro test shody středních hodnot se realizuje hodnotou
2,7712, počet stupňů volnosti je 9, odpovídající p-hodnota 0,0217, tedy hypotézu o shodě
středních hodnot zamítáme na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že s rizikem omylu
nejvýše 5 % se prokázalo, že obě výkrmné diety se liší účinností.
Tabulku ještě doplníme krabicovými diagramy. Na záložce Detaily zaškrtneme krabicový graf
a vybereme volbu Průměr/SmOdch/Min-Max.
Krabicový graf z hmotnost seskupený dieta
Tabulka1 2v*11c
Průměr
Průměr±SmOdch
Min-Max
Odlehlé
Extrémy
1 2
dieta
48
50
52
54
56
58
60
62
64
hmotnost
Upozornění: Dvouvýběrový t-test lze v systému STATISTICA provést ještě jiným způsobem,
který je vhodný zvláště tehdy, známe-li realizace výběrových průměrů a výběrových
směrodatných odchylek.
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma průměry (normální rozdělení) – do políčka Pr1 napíšeme 57, do políčka
SmOd1 napíšeme 3,5777, do políčka N1 napíšeme 6, do políčka Pr2 napíšeme 51,6, do políčka
SmOd1 napíšeme 2,7019, do políčka N1 napíšeme 5 - Výpočet.
Dostaneme p-hodnotu 0,0217, tedy zamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.
Příklad 5.: Při výstupní kontrole bylo náhodně vybráno 150 výrobků vyrobených na ranní
směně a rovněž 150 výrobků vyrobených na odpolední směně. U ranní směny bylo zjištěno 16
zmetků a u odpolední 12 zmetků. Sestrojte 95% asymptotického interval spolehlivosti pro
rozdíl pravděpodobností vyrobení zmetku v obou směnách.
Výsledek: S pravděpodobností přibližně 0,95 platí, že –0,039 < 21 ϑ−ϑ < 0,092.
Příklad 6.: Pro údaje z příkladu 5 testujte na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu,
že pravděpodobnost vyrobení zmetků v obou směnách je táž.
Výsledek: Protože 95% asymptotický interval spolehlivosti pro 21 ϑ−ϑ , jehož meze jsme
vypočetli v příkladu 5 a zjistili jsme, že jsou -0,039 a 0,092, obsahuje 0, nezamítáme nulovou
hypotézu na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma poměry – do políčka P 1 napíšeme 0,1067, do políčka N1 napíšeme 150,
do políčka P 2 napíšeme 0,08, do políčka N2 napíšeme 150 –Výpočet. Dostaneme p-hodnotu
0,4274, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.