7. cvičení: Úlohy o více nezávislých náhodných výběrech z normálního a
alternativního rozložení
Příklad 1.: Jsou známy měsíční tržby (v tisících Kč) tří prodavačů za dobu půl roku.
1. prodavač: 12 10 9 10 11 9
2. prodavač: 10 12 11 12 14 13
3. prodavač: 19 18 16 16 17 15
Na hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu, že střední hodnoty tržeb všech tří prodavačů
jsou stejné. Pokud zamítnete nulovou hypotézu, zjistěte, tržby kterých dvou prodavačů se liší
na hladině významnosti 0,01.
Výsledky:
Testová statistika:
( )
( )
58,38
15/7,27
2/3,142
rnS
1rS
F
E
A
A ==
−
−
=
Kritický obor: ( ) ) )∞=∞= ,3589,6,15,2FW 99,0
Protože se testová statistika realizuje v kritickém oboru, nulovou hypotézu zamítáme na
hladině významnosti 0,01.Tukeyova metoda prokázala, že na hladině významnosti 0,01 se liší
tržby prodavačů 1, 3 a 2, 3.
Příklad 2.: Je dáno pět nezávislých náhodných výběrů o rozsazích 5, 7, 6, 8, 5, přičemž i-tý
výběr pochází z rozložení N(µi,σ2
), i = 1, ..., 5. Byl vypočten celkový součet čtverců ST = 15 a
reziduální součet čtverců SE = 3. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o shodě
středních hodnot.
Výsledky:
Testová statistika: 26
263
412
)rn(S
)1r(S
F
E
A
A ==
−
−
=
Kritický obor: ( ) ) )∞=∞= ,7426,2,26,4FW 95,0
Protože se testová statistika realizuje v kritickém oboru, H0 zamítáme na hladině významnosti
0,05.
Příklad 3.: Je dána neúplná tabulka ANOVA. Místo otazníků doplňte chybějící čísla.
zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl FA
skupiny ? 2 ? ?
reziduální 16,033 ? ? celkový
17,301 35 - -
Výsledek:
zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl FA
skupiny 1,268 2 0,634 1,304
reziduální 16,033 33 0,486 celkový
17,301 35 - Příklad
4.: V jisté továrně se měřil čas, který potřeboval každý ze tří dělníků k uskutečnění
téhož pracovního úkonu. Čas v minutách:
1. dělník: 3,6 3,8 3,7 3,5
2. dělník: 4,3 3,9 4,2 3,9 4,4 4,7
3. dělník: 4,2 4,5 4,0 4,1 4,5 4,4.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výkony těchto tří dělníků jsou stejné.
Zamítnete-li nulovou hypotézu, určete, výkony kterých dělníků se liší na dané hladině
významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Načteme datový soubor cas_delniku.sta. Proměnná X obsahuje zjištěné časy, proměnná ID
nabývá hodnoty 1 pro 1. dělníka, hodnoty 2 pro 2. dělníka a hodnoty 3 pro 3. dělníka.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA – Proměnné - Závislé
X, Grupovací ID, OK, Kódy pro grupovací proměnné – Vše, OK, Výpočet: Tabulka statistik
(zobrazí se průměry, směrodatné odchylky a rozsahy všech tří výběrů).
Rozkladová tabulka popisných statistik (cas_delniku.sta)
N=16 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
ID X
průměr
X
N
X
Sm.odch.
1 3,650000 4 0,129099
2 4,233333 6 0,307679
3 4,283333 6 0,213698
Vš.skup. 4,106250 16 0,353023
Komentář: Na uskutečnění daného pracovního úkonu potřebuje nejkratší čas 1. dělník.
Podává také nejvyrovnanější výkony – směrodatná odchylka proměnné X je u něj nejmenší.
Naopak nejpomalejší je 3. dělník.
Nyní vytvoříme krabicové diagramy: Návrat do Statistiky podle skupin – Kategoriz.
krabicový graf (současné zobrazení krabicových diagramů pro všechny tři výběry )
Průměr
Průměr±SmOdch
Průměr±1,96*SmOdch
1 2 3
ID
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
X
Pomocí N-P plot orientačně posoudíme normalitu všech tří výběrů:
Návrat do Statistiky podle skupin – ANOVA & testy – Kategoriz. norm. pravd. grafy
ID: 1
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4Očekávanánormálníhodnota
ID: 2
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
ID: 3
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
Komentář: Ve všech třech případech se tečky jen málo odchylují od přímky, lze soudit, že
data pocházejí z normálního rozložení.
Provedení testu o shodě rozptylů:
Návrat do Statistiky podle skupin – Leveneovy testy
Leveneův test homogenity rozpylů (cas_delniku.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 0,042708 2 0,021354 0,183333 13 0,014103 1,514205 0,256356
Komentář: Testová statistika Levenova testu nabývá hodnoty 1,5142, stupně volnosti čitatele
= 2, jmenovatele = 13, odpovídající p-hodnota = 0,256, tedy na hladině významnosti 0,05 se
nezamítá hypotézu o shodě rozptylů.
Provedení testu o shodě středních hodnot:
Návrat do Statistiky podle skupin – Analýza rozptylu.
Analýza rozptylu (cas_delniku.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 1,117708 2 0,558854 0,751667 13 0,057821 9,665327 0,002680
Komentář: Skupinový součet čtverců SA = 1,1177, počet stupňů volnosti fA = 2, reziduální
součet čtverců SE = 0,7517, počet stupňů volnosti fE = 13, testová statistika
EE
AA
A
fS
fS
F =
nabývá hodnoty 9,6653, počet stupňů volnosti čitatele = 2, jmenovatele = 13, odpovídající p-
hodnota = 0,00268, tedy na hladině významnosti 0,05 se zamítá hypotéza o shodě středních
hodnot .
Provedení Scheffého metody mnohonásobného porovnávání:
Návrat do Statistiky podle skupin – Post- hoc – Schefféův test.
Scheffeho test; proměn.:X (cas_delniku.sta)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
ID
{1}
M=3,6500
{2}
M=4,2333
{3}
M=4,2833
1 {1}
2 {2}
3 {3}
0,008391 0,004705
0,008391 0,937504
0,004705 0,937504
Komentář: Tabulka obsahuje p-hodnoty pro testování hypotéz o shodě středních hodnot
všech dvojic výběrů. Výsledek Scheffého metody ukazuje, že na hladině významnosti 0,05 se
liší výkony dělníků (1,2), (1,3) a neliší se (2,3).
Příklad 5.: V cestovní kanceláři zkoumali u 609 náhodně vybraných klientů, o jaké ubytování
měli zájem (varianty apartmán, bungalov, hotel, stan) a zjišťovali též pohlaví klienta.
Typ ubytování apartmán bungalov hotel stan
Počet žen 12 27 208 33
Počet mužů 100 68 36 152
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozdíly v typech ubytování
mezi muži a ženami jsou způsobeny pouze náhodnými vlivy.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Načteme datový soubor klienti_CK.sta. Proměnná POHLAVI obsahuje hodnotu 0 pro ženu, 1
pro muže. Proměnná TYP UBYTOVANI má hodnotu 1 pro apartmán, hodnotu 2 pro
bungalov, hodnotu 3 pro hotel a hodnotu 4 pro stan.
Nejprve zjistíme podíly mužů v jednotlivých typech ubytování.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky - Rozklad & jednofakt. ANOVA - OK - Proměnné Závislé
POHLAVI, Grupovaci TYP UBYTOVANI, OK, Kódy pro grupovací proměnné –
Vše, OK – Popisné statistiky - Výpočet: Tabulka statistik – ponecháme zaškrtnuto N - OK.
typ ubytovani pohlavi
průměr
pohlavi
N
apartmán 0,892857 112
bungalov 0,602941 68
hotel 0,147541 244
stan 0,821622 185
Vš.skup. 0,540230 609
Komentář: Vidíme, že z těch klientů, kteří se ubytovali v apartmánu, bylo 89,3% mužů, mezi
obyvateli bungalovů bylo 60,3% mužů, z ubytovaných v hotelu bylo mužů pouze 14,7% a
z těch, kteří bydleli pod stanem, bylo 82,1% mužů.
Ověříme splnění podmínek dobré aproximace: njm* > 5 pro všechna j = 1, ..., r. Vážený
průměr m* se nachází v posledním řádku výstupní Rozkladové tabulky popisných statistik.
Jeho hodnotu okopírujeme do políček pro průměry relativní četnosti ubytovaných
v jednotlivých typech ubytování, poslední řádek odstraníme a k tabulce přidáme jednu novou
proměnnou, do jejíhož Dlouhého jména napíšeme =v2*v3.
typ ubytovani pohlavi
průměr
pohlavi
N
NProm
=v2*v3
apartmán 0,540230 112 60,505747
bungalov 0,540230 68 36,735632
hotel 0,540230 244 131,816092
stan 0,540230 185 99,942529
Komentář: Vidíme, že podmínky dobré aproximace jsou splněny.
Dále provedeme testování hypotézy o shodě parametrů čtyř alternativních rozložení.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky – OK - Specif. tabulky – List
1 POHLAVI, List 2 TYP UBYTOVANI, OK– Možnosti - Statistiky dvourozm tabulek zaškrtneme
Pearson & M-L Chi –square – Detailní výsledky – Detailní 2-rozm. tabulky
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
267,6070 df=3 p=0,0000
294,9782 df=3 p=0,0000
Komentář: Testová statistika Q se realizuje hodnotou 267,6070, počet stupňů volnosti je 3,
odpovídající p-hodnota = 0,0000, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu
H0 zamítáme. S rizikem omylu nejvýše 0,05 jsme tedy prokázali, že rozdíly v podílech klientů
a klientek ubytovaných v různých typech ubytovacích zařízení nelze vysvětlit pouze
náhodnými vlivy.
Nakonec provedeme metodu mnohonásobného porovnávání, abychom zjistili, které dvojice
typů ubytování se liší na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Návrat do Statistiky podle skupin – Post- hoc – Schefféův test.
typ ubytovani
{1}
M=,89286
{2}
M=,60294
{3}
M=,14754
{4}
M=,82162
apartmán {1}
bungalov {2}
hotel {3}
stan {4}
0,000016 0,000000 0,471207
0,000016 0,000000 0,000797
0,000000 0,000000 0,000000
0,471207 0,000797 0,000000
Komentář: Tabulka obsahuje p-hodnoty pro testování hypotéz o shodě středních hodnot
všech dvojic výběrů. Výsledek Scheffého metody ukazuje, že z hlediska podílu mužů se na
hladině významnosti 0,05 neliší pouze ubytování v apartmánu a ve stanu.