Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooooo Spojité modely a statistika - 1. přednáška Funkce a zobrazení více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 9. 2014 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Křivky v euklidovských prostorech Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Literatura Zobrazení a funkce více proměnných •ooooooooooo V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními f : R ->• R. Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm -> Rn. Začneme dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru Rn Literatura Zobrazení a funkce více proměnných o»oooooooooo Definice Zobrazení f : W —> M nazýváme reálná funkce více proměnných (ty obvykle značíme xi,... ,x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = W budou značeny f:M"3(x1,...,x„)4f(x1,..,x„)£l a např. funkce f definované v „rovině" E2 = M2 budou značeny f : R2 3 (x, y) f (x, y) G M Definiční obor A c M" - množina, kde je funkce definována. (Častým úkolem - nejen - v písemkách bývá nalézt k dané formuli pro funkci co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oo#ooooooooo Příklad Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + \l\x\ + |y| - \Í2. Řešení Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo^oooooooo ' Příklad * Zobrazte v rovině definiční obory funkcí: a) f(x,y) = + Příklad Určete definiční obor funkce f{x,y,z) = arccos - V x2 + y2 Zobrazení a funkce více pramenných oooo»ooooooo Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfcR"xl = Rn+1 splňující Gf = {{xi, ■ ■ ■ ,xn, f{xi, ■ ■ ■ ,xn)); (xi,... ,x„) G A}, kde A je definiční obor funkce f. Příklad Grafem funkce definované v E2 f(x'y) = x^t7 je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je E2 \ {(0,0)}. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooo^oooooo U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice_] Nechť f : M2 —> M. je funkce dvou proměnných, c£l Množinu fc = {(x,y)eR2:f(x,y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Zřejmě jde v případě vrstevnice na úrovni c o přímou analogii řezu grafu funkce f rovinou z = c. Pro představu o grafu funkce dvou proměnných jsou samozřejmě užitečné rovněž řezy rovinami x = 0, y = 0, z = 0 a rovinami rovnoběžnými (kde je místo 0 jiná konstanta). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooo»ooooo ' Příklad Načrtněte vrstevnice funkcí: a) f{x,y) = x2 - y2, b) f(x,y) = y/xy. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooosoooo Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových" křivek (správněji spíše jejich obrazů). Definice Křivka je zobrazení c : R —> En. Je třeba rozlišovat křivku a její obraz v En: Příklad Obrazem křivky t i-> (cos t, sin t), t £ M. v rovině E2 je jednotková kružnice, stejně jako v případě jiné křivky 11-> (cos(ř3), sin(ř3)), t G R. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooo»ooo Analogicky k funkcím v jedné proměnné lze definovat: Definice "* • Limita: limt^t0 c(ŕ) G En « Derivace: c'(t0) = limř^řo (c(ř)-^o)) £ Rn « Integrál: f^c(t)dt G M". Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooo«oo Analogie souvislosti Riemannova integrálu a primitivní funkce pro křivky: Věta _] Je-li c : M —> En křivka spojitá na intervalu [a, b] Riemannův integrál f c(t)dt. Navíc je křivka pak existuje její C(t) = í c(s)ds G Rn J a dobře definovaná, diferencovatelná a platí C(t) -všechny hodnoty t G [a, b]. = c(t) pro Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooo»o En v bodě Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : I c(řo) £ En, tj. vektor c'(řo) ěM"v prostoru zaměření M" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +t • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo> na rozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cos t, t, t2), t £ [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlením čase t = 0. c'(t) = (- sin t, 1, 2t), c"(t) = (- cos t, 0, 2), c'(0) = (0,1,0), ||c'(0)|| = l,c"(0) Zrychlení ve směru tečny je pak |c'(0) (-1,0,2). ■(c'(0) • c"(0)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných 0OOOOOOOOOO» Příklad Určete tečnu křivky dané předpisem f(t) = (2cosř + cos3ř,sin2ř, t) v bodě t = Příklad Na křivce f(ř) = (t, t , ř ) najděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou x + 2y + z = 1.