Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oooooooo oooooo ooo Matematika III - 10. přednáška Náhodné veličiny - základní vlastnosti a typy ■ Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 11. 2014 Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veliči oooooooooooooo oooooooo oooooo ooo Obsah před náš Q Náhodné veličiny Q Typy diskrétních náhodných veličin Q Typy spojitých náhodných veličin Q Funkce náhodných veličin • Transformace náhodných veličin Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oooooooo oooooo ooo mmwwn • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. • Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. • Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných velič in Typy spojitých náhodných velič in Transformace náhodných veličin •ooooooooooooo oooooooo oooooo ooo Náhodné veličiny Vratme se k jednoduchému a názornému příkladu statistik kolem výsledku studentů v daném predmetu, který je a není podobný klasické pravděpodobnosti a s n í související statistice při házení kostkou. Na jedné straně jsme připustili pouze konečný počet možných bodových hodnocení (v případě MB103 celá čísla od 0 do 45), zároveň ale není patrně vhodné představovat si výsledky jednotlivých studentů jako analogii nezávislého házení kostkou (to by byla skutečně divně vedená přednáška). Místo toho máme na základním prostoru Q všech studentů definovánu funkci bodového ohodnocení X : Q. —> M.. Je to typický příklad náhodné veličiny. U každé náhodné veličiny potřebujeme umět pracovat s vhodnou množinou jevů. Zpravidla požadujeme, abychom mohli pracovat s pravděpodobnostmi příslušnosti hodnoty X do předem zadaného intervalu. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin o»oooooooooooo oooooooo oooooo ooo Přirozenější interpretací výsledku pokusu je totiž často spíše než zjištění, zda konkrétní náhodný jev nastal či nenastal, nějaká hodnota: • součet bodů na dvou kostkách, • počet bakterií v daném množství roztoku nebo • počet studentů, kteří uspěli u zkoušky nebo kteří získali alespoň 5 bodů z konkrétního příkladu. Od pravděpodobnostního prostoru (Q,A,P) tedy potřebujeme přejít k obdobné dvojici (M, £>) tak, abychom podmnožinám M, ležícím v u-algebře B byli schopni přiřadit pravděpodobnost odvozenou z (Q.,A, P). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oo»ooooooooooo oooooooo oooooo ooo Na prostoru Rk uvažujme nejmenší jevové pole B obsahující všechny /c-rozměrné intervaly. Množinám v B říkáme borelovské množiny (nebo také měřitelné množiny) na Rk. Speciálně pro k = 1 jde o množiny, které obdržíme z intervalů konečnými průniky a nejvýše spočetnými sjednoceními. Náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Q, A, P) je taková funkce X : Q. —> M, že vzor X~1(B) patří do A pro každou Borelovskou množinu B g B na M (tj. X : Q. —> M je tzv. borelovsky měřitelná). Množinová funkce PX{B) = P{X-\B)) = P{{lo g Q;X{lo) g B}) se nazývá rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Náhodný vektor (Xi,... ,Xk) na (Q, A, P) je /c-tice náhodných veličin. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin ooo»oooooooooo oooooooo oooooo ooo Příklady k procvičení Příklad Hodíme jedenkrát kostkou, množina elementárních jevů je Q = {ui, u)2, ía>3, ía>4, u)$, u}q}. Jevovým polem nechť je A = {0, {UJÍ, U)2}, {^3, ^4, ^5, ^6}, Zjistěte jestli zobrazení X : Q. —> M dané předpisem a) X (u i) = i pro každé / g {1, 2, 3,4, 5, 6}, b) X(íji) = X(w2) = -2,X(w3) = X(w4) = X(w5) = X{uj6) = 3, je náhodnou veličinou vzhledem k A. Příklad Je dáno jevové pole (Q, A), kde Q. = <^35 <^45^5} a „4 = {0, {cji, cj2}, {^3}, {^4, ^5}, {^i, ^2, ^3}, Najděte nějaké (co nejobecnější) zobrazení X : Q —> M, které bude náhodnou veličinou vzhledem k A. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooo^ooooooooo oooooooo oooooo ooo Definice náhodné veličiny zajišťuje, že pro všechny —oo < a < b < oo existuje pravděpodobnost P(a < X < b), kde používame stručné značení projev A = (lo g Q.; a < X(lo) < b)). Definice Distribuční funkcí (distribution, cumulative density function) náhodné veličiny X je funkce F : M —> M definovaná pro všechny x g M vztahem F(x) = P(X < x). Distribuční funkcí náhodného vektoru (Xi,... , X^) je funkce F : M.k —> M definovaná pro všechny (xi,... , x^) g MŔ vztahem F(x) = P(Xi < xi A • • • A Xk < xk). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin ooooo»oooooooo oooooooo oooooo ooo Předpokládejme, že náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Q, A, P) nabývá jen konečně mnoha hodnot xi,x2,..., x„ £ M. Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce f (x) taková, že Takové náhodné veličině se říká diskrétní. Každá náhodná veličina definovaná pro klasickou pravděpodobnost je diskrétní. Obdobně lze definici pravděpodobnostní funkce rozšířit na veličiny se spočetně mnoha hodnotami (pracujeme pak s nekonečnými řadami). P(X = xf) pro x = x; 0 jinak. Evidentně Y11-i f{xi) 1. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooo»ooooooo oooooooo oooooo ooo Příklady k procvičení Příklad Nechť Q = {lúi,lú2, lo^} a A = {Q., 0, {^3}, {wi, ^2}}- Určete všechny pravděpodobnostní funkce zobrazující A do množiny {0,1,9,1-9}. Příklad Třikrát nezávisle na sobě hodíme mincí. Náhodná veličina X udává počet hlav, které padnou při těchto hodech. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny X. Příklad Pravděpodobnost, že výrobek bude vyhovovat všem technickým požadavkům, je 0,9. Popište rozdělení náhodné veličiny udávající počet nevyhovujících výrobků mezi 3 výrobky. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin OOOOOOO0OOOOOO oooooooo oooooo ooo Spojité náhodné veličiny I když hodnoty náhodné veličiny X nejsou diskrétní, můžeme postupovat podobně s užitím diferenciálního a integrálního počtu. Intuitivně lze uvažovat takto: hustotu f(x) pravděpodobnosti pro X si představíme jako P{x < X < x + dx) = f(x)dx. To znamená, že chceme pro —oo < a < b < oo P(a < X < b) = Definice Náhodná veličina X, pro kterou existuje její hustota pravděpodobnosti splňující (*), se nazývá spojitá. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooo»ooooo oooooooo oooooo ooo Příklady k proc Príklad Rozhodnete, které z následujících funkcí jsou hustotami (mimo vymezený interval je vždy funkce nulová, c je vhodná konstanta -v případě, že jde o hustotu, tuto konstantu určete): q c pro x g (a, b), O cx pro x g (0,1), 0 cx pro x g (-1, 2), O cxsinx pro x g (—f, f), O cex pro x g (0, oo), Q ce~x pro x g (0, oo), O Ä- Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin ooooooooo»oooo oooooooo oooooo ooo Príklad V lese tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech (—1, 0), (1, 0) a (0, VŠ) se ztratilo dítě. Pravděpodobnost výskytu dítěte v určité části lesa je úměrná velikosti této části, nikoliv umístění této části. Určete O rozdělení vzdálenosti dítěte od zvolené strany lesa, O rozdělení vzdálenosti dítěte od nejbližší strany lesa. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veliči oooooooooo»ooo oooooooo oooooo ooo Vlastnosti distri Věta Necht X je náhodná veličina, F (x) je její distribuční funkce. O F je neklesající. O F je zprava spojitá, lim^-oo F (x) = 0 a linix^oo F (x) = 1. 0 Je-li X diskrétni s hodnotami xi,..., xn, pak je F (x) po částech konstantní, F (x) = J2x- xn. Q Je-li X spojitá, pak je F (x) diferencovatelná a její derivace se rovná hustotě X, tj. platí F'(x) = f (x). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooo»o oooooooo oooooo ooo Obdobně definujeme distribuční funkce a hustotu a pravděpodobnostní funkci pro spojité a diskrétní náhodné vektory. Hovoříme také o simultánních pravděpodobnostních funkcích a hustotách. Pro dvě proměnné (vektor (X, Y) náhodných veličin): (P(X =x, A Y =yí) x=x/Ay = y/ 1 0 jinak, u diskrétních a pro všechny a, b g M pro spojité: P(-oo < X < a, -oo 1 (o jinak Binomické rozdělení Bi(n,p) odpovídá n-krát nezávisle opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením, přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů. Je tedy '(?)př(l-p)"-ř t e {0,1,..., n} O jinak fx(t) Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin OOOOOOOOOOOOOO O0OOOOOO oooooo ooo Binomické rozdělení Na obrázku jsou pravděpodobnostní funkce pro Bi(50, 0.2), Bi(50, 0.5) a Bi(50,0.9). Rozdělení pravděpodobnosti dobře odpovídá intuici, že nejvíce výsledků bude blízko u hodnoty np: Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oo»ooooo oooooo ooo Binomické rozdělení S binomickým rozdělením se potkáváme velice často v praktických úlohách. Jednou z nich je popis náhodné veličiny, která popisuje počet X předmětů v jedné zvolené přihrádce z n možných, do nichž jsme náhodně rozdělili r předmětů. Umístění kteréhokoliv předmětu do pevně zvolené přihrádky má pravděpodobnost 1/n (každá z nich je stejně pravděpodobná). Zjevně tedy bude pro jakýkoliv počet k = 0,..., r «*-^o(i)vr-(o^- jde proto o rozložení X typu Bi(r, 1/n). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo ooo»oooo oooooo ooo Binomické —> Poissonovo rozdělení Jestliže nám bude vzrůstat počet přihrádek n společně s počtem předmětů rn tak, že v průměru nám na každou přihrádku bude připadat (přibližně) stejný počet prvků A, můžeme dobře vyjádřit chování našeho rozdělení veličin Xn při limitním přechodu n —> oo. Takovéto chování popisuje např. fyzikální soustavy s velikým počtem molekul plynu. Standardní úpravy vedou při limn^oo rn/n = A k výsledku: lim P{Xn = k) = lim ("f) {n ~ lJ"~k .. rn{rn - 1)... (r„ - k + 1) 1 = lim —— >cxd {n-l)k k\ = — hm lH--°- = —e_A k\ n^oo y rn J k\ protože obecně funkce (1 + x/n)n konvergují stejnoměrně k funkci Typy diskrétních náhodných veličin Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo ooooo»oo oooooo ooo Poissonovo rozdělení Po(A] Poissonovo rozdělení popisuje náhodné veličiny s pravděpodobnostní funkcí fx(k) Jak jsme odvodili výše, toto diskrétní rozdělení (rozložené do nekonečně mnoha bodů) dobře aproximuje binomická rozdělení Bi(n, A) pro konstantní A > 0 a veliká n. Snadno ověříme k=Q k k Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oooooo»o oooooo ooo Poissonovo rozdělení Dobře modeluje výskyt jevů: • s očekávanou konstantní hustotou na jednotku objemu - nap bakterie ve vzorku (popis očekávaného výskytu k bakterií při rozdělení vzorku na n stejných částí) • rozdělení událostí, které se vyskytují náhodně v čase a bez závislosti na předchozí historii - v praxi jsou takové procesy často spojeny s poruchovostí strojů a zařízení Příklad • počet branek ve fotbalovém zápase (za 90 minut) • počet telefonních hovorů za minutu na call centru • počet aut přijíždějících na křižovatku Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin OOOOOOOOOOOOOO 0000000» oooooo ooo i Geometrické rozdělení má náhodná veličina X ~ Ge(p), která udává celkový počet nezdarů, které v posloupnosti opakovaných pokusu předcházejí prvnímu zdaru, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je rovna p . Hypergeometrické rozdělení. Mějme N předmětů, z nichž právě M má danou vlastnost. Z těchto N předmětů náhodně vybereme n předmětů bez vracení. Náhodná veličina X ~ Hg(/V, M,n) udává počet vybraných prvků s danou vlastností. Zřejmě tato náhodná velišina může nabývat pouze celočíselných hodnot z intervalu [max{0, M — N + n}, min{n, M}]. Pro t z tohoto intervalu pak Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin OOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO »00000 ooo Typy spojitých náhodných veličin Rovnoměrné spojité rozdělení Rs(a, b) je nejjednoduším příkladem spojitého rozdělení. Ilustruje, že při jednoduše formulovaném požadavku na chování rozdělení nám nezbude moc prostoru pro jeho definici. Nyní chceme, aby pravděpodobnost každé hodnoty v předem daném intervalu (a, b) c M byla stejná, tj. hustota fx našeho rozdělení náhodné veličiny X má být konstantní. Pak ovšem jsou pro libovolná reálná čísla —oo < a < b < oo jen jediné možné hodnoty (O tb, [l t>b. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oooooooo o»oooo ooo Exponenciální rozdělení Ex(A) je dalším rozdělením, které je snadno určeno požadovanými vlastnostmi náhodné veličiny. Předpokládejme, že sledujeme náhodný jev, jehož výskyty v nepřekrývajících se časových intervalech jsou nezávislé. Je-li tedy P(r) pravděpodobnost, že jev nenastane během intervalu délky t, pak nutně P[t + s) = P(r)P(s) pro všechna ŕ, s > 0. Předpokládejme navíc diferencovatelnost funkce P a P(0) = 1. Pak jistě In P[t + s) = In P[ť) + In P(s), takže limitním přechodem lim lnP't + 5'-|nP'r» = (lnP)'+(0). Označme si spočtenou derivaci zprava v nule jako —A g M. Pak tedy pro P[ť) platí In P{ť) = —Aŕ + C a počáteční podmínka dává jediné řešení P(ř) = e-Ař. Všimněme si, že z definice našich objektů vyplývá, že A > 0. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oooooooo oo«ooo ooo Nyní uvažme náhodnou veličinu X udávající (náhodný) okamžik, kdy náš jev poprvé nastane (je vidět analogie s geometrickým rozdělením?). Zřejmě tedy je distribuční funkce rozdělení pro X dána íl - e~Ař t > 0 Fx (t) = 1 - P (t) = { Je vidět, že skutečně jde rostoucí funkci s hodnotami mezi nulou a jedničkou a správnými limitami v ±oo. Hustotu tohoto rozdělení dostaneme derivováním distribuční funkce, tj. 'Ae-Ař t > 0 0 t < 0. fx Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oooooooo ooo»oo ooo Jde o nejdůležitější rozdělení. Uveďme nejprve motivaci pro jeho zavedení. Pokud budeme v binomickém rozdělení Bi(n,p) zvyšovat n při zachování úspěšnosti p, bude mít pravděpodobnostní funkce pořád přibližně stejný tvar. 7 v -10 10 Bi(500,0.5) Bi(5000,0.5) graf funkce e x2/2 Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oooooooo oooo»o ooo Normální rozdělení A/(0,1) Vzhledem k uvedené motivaci se nabízí hledat vhodné spojité rozdělení, které by mělo hustotu danou nějakou obdobnou funkcí. Protože je e~x I2 vždy kladná funkce, potřebovali bychom spočíst J^e^2/2 dx což není pomocí elementárních funkcí možné. Je však možné (i když ne úplně snadné) ověřit, že příslušný nevlastní integrál konverguje k hodnotě Odtud vyplývá, že hustota rozdělení náhodné veličiny může být Rozdělení s touto hustotou se nazývá normální rozdělení N(0,1). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných velič Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oooooooo 00000» ooo Normálni rozdělení A/(0,1 ) Příslušnou distribuční funkci Fx(x) = ľ e~x2/2 c/x J—oo nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí, přesto se s ní numericky běžně počítá (pomocí tabulek nebo softwarových aplikací). Hustotě fx se také často říká Gaussova křivka. Abychom uměli přesněji zformulovat asymptotickou blízkost normálního a binomického rozdělení pro n —> oo, musíme si vytvořit další nástroje pro práci s náhodnými veličinami. Budeme k tomu používat funkce dvojím různým způsobem. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných vel i či OOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOO »00 Příklady k proc Príklad Nechť má X binomické rozdělení s parametry n = 4, p = 2/3. Určete rozdělení transformované náhodné veličiny Y = (X — 2)2 a nakreslete graf její distribuční funkce. Príklad Mějme náhodnou veličinu X hustoty f (x) = 2xe x pro x > O (a jinde nulové). Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny Y = X2. Typy spojitých náhodných \ oooooo Transforma' 090 Příklad Nechť má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, r). Určete distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti rozdělení objemu koule o poloměru X. Určeme nejprve distribuční funkci F (pro 0 < d < 57rr3) F(d) = P 4 , 3fšď -ttX3 < d = P X< \ — 3 ~ V 4?r celkem pro x < 0 F(x) W^3 Pro 0 j7rr Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Transformace náhodných veličin oooooooooooooo oooooooo oooooo oo» Príklad (rozdělení x2(l)) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Řešení Zřejmě je pro x < 0 distribuční funkce nulová, pro x > 0 dostáváme: Fx{x) = P[Z2 < x] = P[—y/x < Z < ^/x] = 2tt z2 T dz t 2 e 2 dŕ 2tt 1 _x "2 e 2 a derivací podle x dostaneme hustotu 6c(x) : Rozdělení náhodné veličiny s touto hustotou se nazývá (Pearsonovo) x2 rozdělení s jedním stupněm volnosti a značí se X~X2(1).