Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Matematika III - 11. přednáška Náhodné veličiny - základní typy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 1. 12. 2014 Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Ql Spojité náhodné veličiny • Typy spojitých náhodných veličin Q Funkce náhodných veličin • Transformace náhodných veličin Q| Číselné charakteristiky náhodných veličin Spojité náhodné ve oooooo 1 i činy Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Doporuč^ ené zd roje J • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. • Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. • Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin •ooooo oooooooooo ooooooooooooooooooooooo Typy spojitých náhodných veličin Rovnoměrné spojité rozdělení Rs(a, b) je nejjednoduším příkladem spojitého rozdělení. Ilustruje, že při jednoduše formulovaném požadavku na chování rozdělení nám nezbude moc prostoru pro jeho definici. Nyní chceme, aby pravděpodobnost každé hodnoty v předem daném intervalu (a, b) c M byla stejná, tj. hustota fx našeho rozdělení náhodné veličiny X má být konstantní. Pak ovšem jsou pro libovolná reálná čísla —oo < a < b < oo jen jediné možné hodnoty (0 tb, [l t>b. Spojité náhodné veličiny o»oooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Exponenciální rozdělení Ex(A) je dalším rozdělením, které je snadno určeno požadovanými vlastnostmi náhodné veličiny. Předpokládejme, že sledujeme náhodný jev, jehož výskyty v nepřekrývajících se časových intervalech jsou nezávislé. Je-li tedy P(r) pravděpodobnost, že jev nenastane během intervalu délky t, pak nutně P[t + s) = P(r)P(s) pro všechna ŕ, s > 0. Předpokládejme navíc diferencovatelnost funkce P a P(0) = 1. Pak jistě In P[t + s) = In P[ť) + In P(s), takže limitním přechodem lim '"^ + *)-'"^) = (|nf%(0). Označme si spočtenou derivaci zprava v nule jako —A G M. Pak tedy pro P[ť) platí In P{ť) = —Aŕ + C a počáteční podmínka dává jediné řešení P(ř) = e-Ař. Všimněme si, že z definice našich objektů vyplývá, že A > 0. Spojité náhodné veličiny oo»ooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Nyní uvažme náhodnou veličinu X udávající (náhodný) okamžik, kdy náš jev poprvé nastane (je vidět analogie s geometrickým rozdělením?). Zřejmě tedy je distribuční funkce rozdělení pro X dána íl - e~Ař t > 0 Fx (t) = 1 - P (t) = { Je vidět, že skutečně jde rostoucí funkci s hodnotami mezi nulou a jedničkou a správnými limitami v ±oo. Hustotu tohoto rozdělení dostaneme derivováním distribuční funkce, tj. 'Ae-Ař t > 0 0 t < 0. fx Jde o nejdůležitější rozdělení. Uveďme nejprve motivaci pro jeho zavedení. Pokud budeme v binomickém rozdělení Bi(n,p) zvyšovat n při zachování úspěšnosti p, bude mít pravděpodobnostní funkce pořád přibližně stejný tvar. 7 v -10 10 Bi(500,0.5) Bi(5000,0.5) graf funkce e x2/2 Spojité náhodné veličiny 0000*0 Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Normální rozdělení A/(0,1) Vzhledem k uvedené motivaci se nabízí hledat vhodné spojité rozdělení, které by mělo hustotu danou nějakou obdobnou funkcí. Protože je e~x I2 vždy kladná funkce, potřebovali bychom spočíst fj^e^2/2 dx což není pomocí elementárních funkcí možné. Je však možné (i když ne úplně snadné) ověřit, že příslušný nevlastní integrál konverguje k hodnotě Odtud vyplývá, že hustota rozdělení náhodné veličiny může být Rozdělení s touto hustotou se nazývá normální rozdělení N(0,1). Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo* oooooooooo ooooooooooooooooooooooo Normální rozdělení A/(0,1) Příslušnou distribuční funkci Fx(x) = ľ e~x2/2 c/x J—oo nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí, přesto se s ní numericky běžně počítá (pomocí tabulek nebo softwarových aplikací). Hustotě fx se také často říká Gaussova křivka. Abychom uměli přesněji zformulovat asymptotickou blízkost normálního a binomického rozdělení pro n —> oo, musíme si vytvořit další nástroje pro práci s náhodnými veličinami. Budeme k tomu používat funkce dvojím různým způsobem. Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOO »000000000 ooooooooooooooooooooooo Transformace - úvodní příklady k procvičení Příklad Nechť má X binomické rozdělení s parametry n = 4, p = 2/3. Určete rozdělení transformované náhodné veličiny Y = (X — 2)2 a nakreslete graf její distribuční funkce. Príklad Mějme náhodnou veličinu X hustoty f (x) = 2xe x pro x > O (a jinde nulové). Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny Y = X2. Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo o»oooooooo ooooooooooooooooooooooo Transformace náhodných veličin Příklad Nechť má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, r). Určete distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti rozdělení objemu koule o poloměru X. Určeme nejprve distribuční funkci F (pro 0 < d < 57rr3) F(d) = P 4 i -tvX3 < d = P X< \ — 3 ~ V 4?r celkem F(x) pro x < 0 W*3 Pro 0 j7rr Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oo»ooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Príklad (rozdělení x2(l)) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Řešení Zřejmě je pro x < 0 distribuční funkce nulová, pro x > 0 dostáváme: Fx{x) = P[Z2 < x] = P[—y/x < Z < ^/x] = 2tt z2 T dz t 2 e 2 dŕ 2tt 1 _x "2 e 2 a derivací podle x dostaneme hustotu 6c(x) : Rozdělení náhodné veličiny s touto hustotou se nazývá (Pearsonovo) x2 rozdělení s jedním stupněm volnosti a značí se X~X2(1). Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin ooo«oooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Místo náhodné veličiny X, např. „roční plat zaměstnance", budeme vyčíslovat jinou závislou hodnotu ip(X), např. „roční čistý příjem zaměstnance po zdanění a včetně sociálních dávek". V systému se značnou sociální solidaritou je první veličina hodně variabilní, zatímco druhá může být skoro konstantní. Statisticky se proto budou značně odlišovat. Připomeňme si přechod od binomického k Poissonovu rozdělení: Věta (Poissonova) Je-li Xn ~ Bi(n,p„) taková, že lim„- ^oo npn = A a X ~ Po(A), pak lim P[Xn = k] = P[X = k] pro k = 0,1,.... Spojité náhodné veličiny OOOOOO Transformace náhodných veličin OOOO0OOOOO Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost ip(x) = a + bx. V prípade afinní transformace diskrétní náhodné veličiny x = |(y — b) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y, = ax\ + b. Ukážeme si, že v případě rozdělení Xn typu Bi(n, p) převádí transformace x = y y/ np{l — p) + np náhodnou veličinu Xn na rozdělení Yn s distribuční funkcí blízkou distribuční funkci spojitého rozdělení A/(0,1). Dříve uvedená Poissonova věta popisuje asymptotické chování binomického rozdělení pří n —> oo a p —> 0, následující věta pak chování v případě konstantní pravděpodobnosti zdaru p. Věta (de Moivre-Laplaceova) Pro náhodné veličiny Xn s rozdělením Bi(n,p) platí Xn - n p lim P n—>oo a < < b 0. Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooo»ooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Řešení (pokr.) Volbou p = 1/6, A = 1800, B = p^.^í 2100 - 2000^ V12000-My = 4>(V6) - Í>(-2V6 2100, n = 12000 dostávame odhad / 1800 - 2000 ^ VV12000-5Í/ ) « 0,992. Poznámka Statistické tabulky - viz např. https://is.muni.cz/auth/el/ 1433/podzim2014/MB103/um/StatTab.pdf nebo sbírka příkladů [BMO]. ' Příklad ^ Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi tisíci novorozenci bude alespoň tolik děvčat jako chlapců? Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin ooooooo»oo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Príklad Nezávisle opakujeme pokus s výsledky 1 a 0, které mají neznámé pravděpodobnosti p a 1 — p. Parametr p chceme odhadnout pomocí relativních četnostíXn/n (Xn je počet jedniček při n pokusech). Víme, že je Xn ~ Bi(n,p), proto nám Moivre-Laplaceova věta umožní určit počet pokusů n potřebný k zajištění požadované přesnosti odhadu ô se spolehlivostí 1 — /3. Využijeme Moivre-Laplaceovu větu zapsanou ve tvaru 0 = lim nó yjnp{l-p) < ó nó yjnp{l-p) Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooo»o Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Řešení Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost P[\Xn/n — p| < ô] > 1 — /3, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností \y/np{l-p)J \ y/np{l - p) = 2* ( , nS )-l>l-fi. \y/np(l-p)J - Ta je ekvivalentní s podmínkou nô/yjnp(l — p) > z(/3/2), kde z(p) je řešení rovnice í>(z(p)) = 1 — p (tzv. kritická hodnota normovaného normálního rozdělení). Pro ô = 0,05 a 1-/3 = 0,9 máme z tabulek z(/3/2) 1,645 a s využitím zřejmého odhadu p(l - p) < 1/4 dostáváme n > (z(/3/2)/2č)2 « 270,6. Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin 000000000» Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooooo Príklad Náhodne vybraná konzerva v armádním skladu je vadná s pravděpodobností 0,1. Kolik konzerv musí zásobovací důstojník ze skladu vzít, aby mezi nimi bylo s pravděpodobností 99% alespoň 60 bezvadných konzerv. (Předpokládejte, že konzervy jsou vydávány náhodně). Při statistickém zkoumání hodnot náhodných veličin (např. zpracování výsledků nějakého měření) hledáme výpovědi o náhodné veličině pomocí různých z ní odvozených čísel. Jako nejjednodušší příklad může sloužit střední hodnota1 E(X) náhodné veličiny X, která je definována Obecně střední hodnota náhodných veličin nemusí existovat, protože příslušné sumy či integrály nemusí konvergovat. 1Často se místo E(X) píše EX. ^2ixi • 6((*/) Pro diskrétní veličinu f^^x • fx{x) dx pro spojitou veličinu. Spojité náhodné ve li činy Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo o»ooooooooooooooooooooo ihodné veličiny Střední hodnotu můžeme přímo vyjádřit také pro funkce Y = ip(X) náhodné veličiny X. V diskrétním případě můžeme přímo spočíst j = ^ v(*,-)P(x = */) = X>(*/)6f(x,-). / i Je tedy E(tp(X)) přímo spočítatelná pomocí pravděpodobnostní funkce fx- Podobně vyjadřujeme střední hodnotu funkce ze spojité náhodné veličiny: /oo V>(x)fx(x) dx, -oo pokud tento integrál absolutně konverguje. Spojité náhodné ve i činy Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo oo»oooooooooooooooooooo Príklad Spočtěme střední hodnotu binomického rozdělení. Řešení Pro X ~ Bi(n, p) je E(X) = J> • ("V(1 - p)""* = = np(p + (1 - p))"-1 = np. Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo ooo»ooooooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Nechť a, b G M a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E (a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), » E(X + Y) = E{X) + E{Y), » jsou-li X a Y nezávislé, pak E(XY) = E (X) ■ E(Y). Důkazy těchto tvrzení jsou přímočaré, zkuste si je udělat! Analogická tvrzení platí i pro náhodné vektory. Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooo»oooooooooooooooooo Príklad Spočtěme ještě jednou střední hodnotu binomického rozdělení, tentokrát s využitím vlastností střední hodnoty. Řešení Vyjádříme počet zdarů v n pokusech jako počet zdarů v jednotlivých pokusech *=x> k=l přičemž náhodné veličiny mají všechny alternativní rozdělení A(p). Snadno spočítáme E( Y^) = 1 • p + 0 • (1 — p) = p. Dále víme, že střední hodnota součtu je součtem středních hodnot, proto n E(X) = Y,E(Yk) = np. k=l Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo ooooo»ooooooooooooooooo Kvantily Dalšími užitečnými charakteristikami jsou tzv. kvantily. Pro ryze monotónní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde prostě o inverzní funkci F^1 : (0,1) —> M. To znamená, že hodnota y = F-1 (a) je taková, že P[X < y) = a. Obecněji, je-li Fx(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci2 F_1(o;) = inf{x G R; F (x) > a}, a G (0,1). Zřejmě jde o zobecnění předchozí definice. Nejčastěji jsou používané kvantily s a = 0.5, tzv. medián, s a = 0.25, tzv. první kvartil, a = 0.75, tzv. třetí kvartil, a podobně pro decily a percentily (kdy je a rovno násobkům desetin a setin). K těmto hodnotám se vrátíme v popisné statistice později. 2Uvědomte si, že jsme se již s kvantily setkali, jen jsme jím tak zatím neříkali. Tyto číselné charakteristiky rozdělení náhodné veličiny nepopisují nějakou střední či typickou hodnotu (jako střední hodnota či medián), ale míru „kolísání" náhodné veličiny kolem střední hodnoty. Rozptylem (variancí) náhodné veličiny X, která má konečnou střední hodnotu, nazýváme číslo D(X) = varX = E([X - E(X)]2), odmocnina z rozptylu \JD(x) se pak nazývá směrodatná odchylka. Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo ooooooo»ooooooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E(X)2, O D(a + bX) = b2D(X), 0 ^/D(a + bX) = \b\y/D{X). Důkaz. Důkaz je přímočarý. Poznamenejme, že tvrzení 1 se často používá k výpočtům D{X). □ Spojité náhodné ve i činy Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo oooooooo»oooooooooooooo Kovarian ce O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Věta Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí: O C(X,Y) = C(Y,X), e c{x,x) = d{x), O C(X, Y) = E{XY) - E{X)E{Y), O C(a + bX,c + dY) = bd ■ C(X, Y), O D(X +Y) = D(X) + D(Y) + 2C(X, Y), speciálně, jsou-li X, Y nezávislé, je D(X + Y) = D(X) + D(Y), tj. C(X, Y) = 0 a X, Y jsou nekorelované. Spojité náhodné ve i činy Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo ooooooooosooooooooooooo Koeficier it kore lace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: \ s/nm i/nm J ' Věta ^ 9 R{X,X) = 1, O R{a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), O jsou-li X, Y nezávislé, je R(X, Y) = 0, O (Cauchyova nerovnost) \R(X, Y)\ < 1. Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooo»oooooooooooo Príklad Spočtěme rozptyl binomického rozdělení. Řešení Stejně jako dříve lze psát X = Yll-i ^k, kde Y\,...,Yn jsou nezávislé náhodné veličiny vyjadřující úspěch v /c-tém pokusu. Snadno vypočteme E(Y%) = l2 • p + O2 • (1 — p) = p, proto D{Yk) = E(y2) - E{Yk)2 = p - p2 = p(l - p). Protože pro nezávislé Yk platí D(£ Yk) = £ D(Yk), je D(X) = np(l - p). Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo ooooooooooo»ooooooooooo Příkladv k procvičení Príklad Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkcí pro x = —2 pro x = 3 pro x = 1 0 jinak. Určete E(X), E(2X + 5), E(X2), D(X) a D(2X + 1). Příklad Nekorelované náhodné veličiny X a Y mají rozptyly D(X) = a a D(Y) = 2. Určete konstantu a, jestliže rozptyl náhodné veličiny Z = 3Y -X ]e D(Z) = 25. Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOO OOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOO Normovaná náhodná veličina a limitní věty Všimněme si, že výraz , " np vystupující v Moivre-Laplaceově y/np(l-p) větě je totéž, co x"~£^f) a jde tedy o tzv. normovanou vD(x) náhodnou veličinu (tj. veličinu lineárně transformovanou tak, aby měla střední hodnotu 0 a rozptyl 1). Moivre-Laplaceova věta pak říká, že pro n —> oo se rozložení této náhodné veličiny blíži normovanému normálnímu rozdělení A/(0,1). Jde o speciální případ limitních vět, ukazujících, že za určitých podmínek platí „zákony velkých čísel", kdy se obdobným způsobem transformované náhodné veličiny chovají jako normální rozdělení. Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo ooooooooooooo»ooooooooo Další momenty Někdy je užitečné studovat řadu dalších charakteristik rozdělení náhodných veličin. Za rozumných předpokladů jsou definovány k-té obecné momenty E(Xk) a4 a k-té centrální momenty pk = E{[X-E{X)]k). Pomocí momentů pak definujeme např. šikmost (asymetrii) náhodné veličiny X jako Aí3 nebo špičatost (exces) jako /i4 D{xf 3. Spojité náhodné ve i činy Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo oooooooooooooo»oooooooo 30 20 10 0 4..........i Kladná šikmost distribuce (více vysokých kladných hodnot než odpovídá normálnímu rozdělení s nulovou šikmostí). Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooo»ooooooo Momentová vytvořující funkce Definice Reálnou funkci proměnné ŕ G M Mx(t) = E(e ) nazveme momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny x. Poznámka Je-1i x např. spojitá, platí /oo etxf(x) dx = -oo ľ°° t2X2 = / (l + íx+_ + ...)f(x)dx = J — oo = 1 + t/ii + -^p + • • • a jde vlastně o exponenciální vytvořující funkci posloupnosti /c-tých obecných momentů p!k. Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooooo»oooooo ' Věta ^ Pro momentovou vytvořující funkci platí: * ti = ^Mx(ŕ) |t=o- • Platí-li M x {t) = M y {t) pro všechna t G (- b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. Fx(x) = FY(x). • Ma+bX(t) = eatMx(bt). • Jsou-li x, Y nezávislé, je Mx+y(ŕ) = Mx{ >)MY{t). Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooo»ooooo Příklad Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení. Řešení M(t) = E(etx) = etk('í)pk(1 ~ P)"~k = =z (*W)*(i - pr*= = (pet + (l-p)y = (p(et-l) + ly. Snáze jsme mohli funkci určit s využitím předchozích vět a momentové vytvořující funkce alternativního rozdělení, neboť pro Y ~ A(p) je E(etY) = eřl • p + eř0(l - p) = p(eř - 1) + 1. * Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooooooo»oooo Příklad Naposled spočtěme střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení, tentokrát s využitím vytvořující funkce. Řešení M(t) = (p(eř - 1) + 1)", proto je ftM(t) = n(p(eř - -i) + i)"-VP, což pro t = 0 dá E(X) = fi^ = np Podobně spočítáme i D(x) = //2 — Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo ooooooooooooooooooo»ooo Momenty normálního rozdělení Přímý výpočet střední hodnoty a rozptylu normovaného normálního rozdělení není triviální. S využitím momentové vytvořující funkce je ale poměrně jednoduchý. Nechť Z~ N(0,1). Pak „ 1 Mz(t) —oo oo 27T exp exp dz = 2tz + t2 exp exp (z - tf dz dz exp Poslední integrál je roven 1 díky tomu, že na místě integrované funkce je funkce s vlastnostmi hustoty. Spojité náhodné veličiny Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooo oooooooooo oooooooooooooooooooo^oo S využitím předchozího výpočtu M^(ŕ) = exp^-yj snadno spočítame, že M^(ŕ) = ŕexp(|), 2 2 M^(ŕ) = ŕ2exp(^)+exp(^-). Dosazením ŕ = 0 pak dostaneme E(Z) = 0,D(Z) = 1. Pro transformovanou náhodnou veličinu Y = fi + aZ ~ a2) pak snadno odvodíme z vlastností střední hodnoty, resp. rozptylu, že E(Y) = /x, D(Y) = a2 (což zpětně zdůvodňuje zápis A/(/x, u2)) Momentová vytvořující funkce má tvar My(ŕ) = expí/xŕ + a2y J. Spojité náhodné veličiny oooooo Transformace náhodných veličin oooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooooo»o Príklad Určete rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin X~N{vx,a2x), Y ~ N(vy,v2y)- Řešení Z vlastností momentové vytvořující funkce dostáváme t2 t2 Mx+v{t) = exp(/xxŕ + ct2x—) exp(/xyŕ + o2Y—) = ŕ2 = exp((/iX + /iy)t + (CJX + (Ty) y). Proto X + V ~ A/(/xx + /xy, a2x +