Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testovaní hypotéz oooooooooooooooo Matematika III - 13. přednáška Bodové a intervalové odhady, testovaní hypotéz Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 12. 2014 Náhodný výběr Bodové a intervalové odhady Testovaní hypotéz Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testovaní hypotéz oooooooooooooooo Doporučené zd roie J • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. • Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. • Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. Definice Náhodným výběrem rozsahu n rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin Xl,... ,X„ ~ Fx{x) (někdy také hovoříme o n nezávislých kopiích náhodné veličiny X). Náhodným výběrem rozsahu n z p-rozměrného rozdělení rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených p-rozměrných náhodných vektorů. V matematické statistice často pracujeme s transformacemi náhodného výběru, takovým náhodným veličinám (příp. vektorům) říkáme statistiky. V následujícím zavedeme několik důležitých statistik a ukážeme jejich souvislost s číselnými charakteristikami náhodných veličin. Definice Nechť Xl,... ,X„ je náhodný výběr. Statistiku 1 " M = ~yx, n t—' nazýváme výběrový průměr, statistiku i=l výběrový rozptyl a statistiku S = VŠ^ výběrová směrodatná odchylka. Analogicky se definují i výběrová kovariance, příp. výběrový korelační koeficient pro dvourozměrný náhodný výběr. Protože jsou uvedené statistiky náhodnými veličinami, lze se přirozeně ptát po jejich číselných charakteristikách. Věta _' Nechť X1,.. ., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení se střední hodnotou fi a rozptylem a2 . Pak platí: « E(M) = = V, « D(M) -. = var(M) = a2/n, • E(S2) - = a2. Náhodný výběr ooo»oooooooo Bodové a intervalové odhady oooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooooo Důkaz. Ukážeme jen (nejsložitější) 3. tvrzení. Snadno se odvodí, že platí Proto je n — 1 1 n — 1 n n — 1 ^2 _2 -2~X2(n)- Poznámka K odhadu /x, neznáme-li u2, slouží T, v opačném případě Í7. K odhadu a2, neznáme-li fi, slouží K, v opačném případě následující (bezejmenná?) statistika, která je vlastně statistikou K, v níž místo odhadu M použijeme přímo fi. Náhodný výběr oooooo^ooooo Bodové a intervalové odhady oooooooooooo Testovaní hypotéz oooooooooooooooo V roce 1951 bylo rozsáhlým statistickým průzkumem zjištěno, že střední hodnota výšky desetiletých chlapců je 136,1 cm se směrodatnou odchylkou a = 6,4 cm. V roce 1961 byla zjištěna výška pouze u 15 náhodně vybraných chlapců: 130 140 136 141 139 133 149 151 139 136 138 142 127 139 147 Otázkou je, zda se v porovnání s rokem 1951 změnila střední výška chlapců, pokud předpokládáme, že variabilita výšek se v různých generacích příliš nemění. Náhodný výběr OOOOOOO0OOOO Bodové a intervalové odhady oooooooooooo Testovaní hypotéz oooooooooooooooo Řešení Vzhledem k tomu, že základní soubor všech desetiletých chlapců je rozsáhlý, lze zmíněná data považovat za náhodný výběra. Zjistíme, že výběrový průměr M = 139,133, n = 15 a s využitím statistiky U dostáváme, že s 95% pravděpodobností leží hodnota fi v intervalu (M - l,96a/vn; M + 1,96a/y/ň) = (135,9; 142,4). Protože i střední hodnota výšek z roku 1951 leží v tomto intervalu, nemáme vážný důvod tvrdit, že se střední výška změnila. Pokud bychom ovšem připustili vyšší možnost omylu a stanovili interval se spolehlivostí pouze 90%, pak bychom na této hladině hypotézu, že se střední výška změnila, „přijali" - interval je nyní (136,41;141,85). Podobně, pokud nás zajímá pouze dolní odhad střední hodnoty výšek chlapců (a vůbec tedy nepřipouštíme možnost, že by se střední výška snížila), pak s 95% pravděpodobností je střední výška větší než 136,41, a tedy nyní opět „přijímáme" hypotézu, že se střední výška zvýšila. Príklad Předpokládejme, že velká skupina studentů má ze zápočtové písemky ze statistiky bodové hodnoty normálně rozloženy kolem střední hodnoty 72 se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Určete pravděpodobnost, že a) náhodně vybraný student bude mít výsledek lepší než 80 bodů, b) průměr výsledků náhodného výběru 10 studentů bude lepší než 80 bodů. Příklad Rychlost letadla byla určována v 5 zkouškách, jejichž aritmetický průměr byl M = 870,3 ms^1. Najděte 95% interval spolehlivosti pro /i, víte-li, že měření rychlosti se řídí normálním rozdělením se směrodatnou odchylkou 2,1 ms^1. Náhodný výběr Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz OOOOOOOOO0OO oooooooooooo oooooooooooooooo Dva nezávislé výběry z normálního rozdělení Nechť je Xn,..., Xmi náhodný výběr rozsahu m z rozdělení A/(/x, a2) a X12,..., X„2 je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N(fi, a2), přičemž m, n > 2. Označme Mi, M2 jejich výběrové průměry a S2, S| výběrové rozptyly. Dále necht je s2=(m-l)S2 + (n-l)S2 m + n - 2 vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí: • Mi — M2 a S2 jsou stochasticky nezávislé, • Mi - M2 ~ /V(/ii - /i2, 5 + f) , • _/e-// u2 = aj pa/c • F : (m + n-2)S2/a2 ~x2(m + n-2) 5£M F(m- 1). Náhodný výběr Bodové a intervalové odhady Testovaní hypotéz oooooooooo»o oooooooooooo oooooooooooooooo Užití statistik dvou nezávislých výběrů • Statistika U, vzniklá normováním M\ — M2, se používá pro odhad rozdílu \i\ — [12, známe-li rozptyly a2,a2. • Je-li a\ = a\ = a2, pak statistika T (vzniklá z U nahrazením teoretického společného rozptylu a2 váženým průměrem výběrových rozptylů S2) slouží pro odhad rozdílu [i\ — [12, neznáme-li rozptyl a2. • Statistika K = (m + n — 2)S2/a2 slouží k odhadu společného rozptylu a2. • Statistika F = \. \ slouží k odhadu podílu rozptylů o\ja\. Náhodný výběr ooooooooooo* Bodové a intervalové odhady oooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooooo Príklad Mějme dva nezávislé náhodné výběry; první rozsahu 10 z rozdělení A/(2; 1,5) a druhý rozsahu 5 z rozdělení A/(3, 4). Určete pravděpodobnost, že výběrový průměr prvního výběru bude menší než výběrový průměr druhého výběru. P(Mi < M2) = P(Mi - M2 < 0) p - (Mi - M2) - (/ii - /i2) < 0 - (/ii - /i2) 2 2 Zl + £Í 2 2 íl _L 2i m ' n p\u<-HL LŘ. _L 1 10 t 5 . 0(1,05) = 0,853. P{U < 1,05) Náhodný výběr Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz oooooooooooo •ooooooooooo oooooooooooooooo Náhodný výběr je n-tice nezávislých náhodných veličin se stejným rozdělením, které záleží na jednom nebo více parametrech. Obvykle přitom hodnotu těchto parametrů neznáme, ale můžeme tuto hodnotu nebo hodnotu nějaké jeho funkce (tzv. parametrické funkce) z náhodného výběru odhadnout. Definice Mějme náhodný výběr Xl,... ,X„, které závisí na (obecně vektorovém) parametru 9. Bodovým odhadem parametru 9 rozumíme statistiku 7~(Xi,... ,X„), která je v nějakém smyslu blízko parametru 9. Rozdíl (příp. vektorový) E(T) — 9 nazveme vychýlení, je-li E(T) = 9, pak odhad T nazveme nestranným. Intervalovým odhadem parametru 9 rozumíme (obecně vícerozměrný) interval (Ti, Ty), kde T/_(Xi,..., X„) a 7~ty(Xi,... ,X„) jsou statistiky výběru (Xi,... ,X„). Platí-1i P{TL<9< Tu) = l-a, říkáme, že (Ti, Tu) je interval spolehlivosti 1 — a pro parametr 9 . Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady O0OOOOOOOOOO Testovaní hypotéz oooooooooooooooo Definice Jsou-li 7~i, T2 nestranné odhady parametru 9, říkáme, že odhad 7~i je lepší než odhad 7~2, pokud D(7~i) < D(7~2), příp. var 7"i < var 7~2 (tj. matice var 7~2 — var 7"i je pozitivně definitivní). O posloupnosti Tn odhadu 9 říkáme, že je asymptoticky nestranná, pokud limn^oo E(Tn) = 9. O posloupnosti Tn odhadu 9 říkáme, že je konzistentní, pokud y\m„^00P{\T„-9\ a2 (známe fi) V^-a/2(")' XÍ/2(n) J Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady ooooooo»oooo Testování hypotéz oooooooooooooooo Príklad Nechť Xi,..., X„ je náhodný výběr z rozdělení A/(/x; 0,1). Jaký musí být minimální rozsah výběru, aby velikost 95% intervalu spolehlivosti pro fi nepřesáhla číslo 0,03? Řešení Podle předchozí tabulky dostáváme (pro a = 0,05) 0,03 > M + 4="i-<*/2 - (M - -^=Ul_a/2) v" vn = Z—ž=ul-a/2- Jn 1 Proto Aa2u2 n > l-a/2 0,032 1707,38 a rozsah výběru tedy musí splňovat n > 1708. Náhodný výběr Bodové a intervalové odhady Testovaní hypotéz oooooooooooo oooooooo»ooo oooooooooooooooo Intervaly spolehlivosti pro parametry 2 normálních rozdělení A'i ~~ f-2 (známe [12, tj. že pravé pneumatiky se sjíždějí více než levé. Je to takové číslo a, aby příslušný interval spolehlivosti neobsahoval číslo O - v našem případě je a = 0,34, což je riziko příliš vysoké. Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testovaní hypotéz •ooooooooooooooo Testovaní hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Definice Hq .. . nulová hypotéza (např. 9 = c, kde c vyjadřuje naši domněnku o hodnotě parametru 9) H\ ... (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové) Testováním Ho oproti alternativní hypotéze rozumíme postup založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost Ho zamítneme nebo nezamítneme (= připouštíme). Chyba 1. druhu ... Ho platí a my ji zamítneme (závažnější) Chyba 2. druhu ... Ho neplatí a my ji nezamítneme Pravděpodobnost chyby 1. druhu se nazývá hladina významnosti (a, obvykle a = 0,05), pravděpodobnost chyby 2. druhu se značí /3 a číslo 1 — /3 se nazývá síla testu. Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testovaní hypotéz 0*00000000000000 Způsoby testovaní nulové hypotézy O pomoci intervalu spolehlivosti Q pomoci kritického oboru O pomoci tzv. p—hodnoty (p-value) Interval spolehlivosti Na základě realizace náhodného výběru sestrojíme 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro neznámý parametr 9 a zjistíme, zda c patří do tohoto intervalu. Pokud ano, hypotézu Ho nezamítáme (v opačném případě zamítáme) na hladině významnosti a. Kritický obor Stanovení kritického oboru je postup do jisté míry obrácený. Nejprve (i bez náhodného výběru) zvolíme vhodnou statistiku T a množinu hodnot, jichž může T nabývat, rozdělíme na dvě disjunktní podmnožiny: obor nezamítnutí Ho (značíme V) a kritický obor W (obor zamítnutí Ho). Pokud realizace T padne do W, pak Hq zamítneme, jinak nezamítáme. Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz OO0OOOOOOOOOOOOO Stanovení kritického oboru na hladině a Pro statistiku T [testové kritérium) stanovíme obor nezamítnutí V jako interval, jehož hraniční body tvoří kvantil a/2 a 1 — a/2, odtud je W = (-00, F_1(a/2)) U (F_1(l - a/2), 00). Náhodný výběr oooooooooooo Způsoby Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz ooo«oooooooooooo p-hodnota Testovaní pomoci p-hodnoty je jednoduchý test, umožněný rozšířením statistických balíků, p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti, při níž Ho zamítáme. Je-li p-hodnota > a, hypotézu Ho nezamítáme, pro p-hodnotu menší než a, hypotézu zamítneme. p-hodnota se stanoví rovněž se znalostí konkrétní realizace íq statistiky T náhodného výběru jako p = 2min{P(7< t0),P(T> to)}. Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz OOOO0OOOOOOOOOOO Je-1i Ho hypotéza 9 = c, pak levostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Volba typu alternativní hypotézy vyplýva z konkrétní situace. Príklad • V predmetu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na 2 skupiny. Hypotéza Ho : obě zadání mají stejnou průměrnou obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní hypotéze zadání nejsou stejně obtížná. • V předmětu Matematika 3 se dříve po studentech nevyžadovalo řešení domácích úloh. Toto bylo nyní nově zavedeno s cílem dosažení lepších výsledků studentů u závěrečné zkoušky. V tomto případě zřejmě použijeme nulovou hypotézu Ho : výsledné bodové hodnocení se nezlepšilo oproti pravostranné alternativní hypotéze Hl : bodový výsledek studentů se zlepšil Príklad Náš protivník hodil 60x kostkou a padla mu 16x šestka. Testujme na hladině významnosti a = 0,05 nulovou hypotézu Ho : kostka není upravená oproti jednostranné alternativní hypotéze Hl : kostka je upravená tak, aby padalo více šestek. Řešení Statistika T (počet šestek) ma rozdělení T ~ 6/(60,1/6). Kritický obor je dán 95. percentilem tohoto rozdělení. Snadno vypočteme, že P(T > 14) = 0,065 a P(T > 15) = 0,034, proto je p-hodnota rovna 0,034 (nebo jinými slovy: kritickým oborem na hladině 0,05 je interval (16, oo). Hypotézu Ho tedy zamítáme - na hladině 0,05 můžeme tvrdit, že kostka je upravená. Řešení (pomocí aproximace) Porovnejme předchozí řešení příkladu s řešením, při kterém využijeme aproximaci pomocí de Moive-Laplaceovy věty. Náhodnou veličinu 7-10 X lze považovat za veličinu mající normální rozdělení N(fi,a2) s jednotkovým rozptylem a2 = 1, testovat budeme hypotézu fi = 0. Kritickým oborem A/(0,1) je interval (1,65, oo) (stále uvažujeme pravostranou alternativu). Přitom pro realizaci statistiky X platí x = (16 — 10)/-\/50/6 2,08 a hypotézu tedy opět zamítáme. Jednostranným intervalem spolehlivosti pro X je ((2,08— l,65)/\/6Ô, oo) a protože do něj nepatří hodnota 0 zamítáme nulovou hypotézu (všimněte si, že v obou případech rozhodlo porovnání 1,65 < 2,08). Řešení (pomocí aproximace a p-hodnoty ) Určeme nejmenší pravděpodobnost p, při níž stále ještě zamítáme nulovou hypotézu fi = 0 oproti pravostranné hypotéze fi > 0 (tj. p-hodnotu). Má-li X rozdělení A/(0,1), pak p = P(X > 2,08) = 1 - 0,981 = 0,019. Protože je a = 0,05 > 0,019, opět hypotézu zamítáme. Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz OOOOOOOO0OOOOOOO Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i základní testy standardizované (není divu - jak jsme viděli, jde o úzce propojené pojmy). z-test Nechť je Xi,... ,X„ náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2) se známým a2 a n > 2. Test Hq : fi = c proti alternativní hypotéze /i / c se nazývá z-test. jednovýběrový t-test Nechť je Xi,... ,X„ náhodný výběr z rozdělení N(fi,a2) s neznámým a2 a n > 2. Test Ho : /x = c proti alternativní hypotéze /i / c se nazývá jednovýběrový t-test. dvouvýběrový t-test Nechť je Xn,..., Xmi náhodný výběr z rozdělení A/(/íi, a2) a X12,..., X„2 na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení A/(/i2,cr2) s m, n > 2 a neznámým u2. Test Ho : \i\ — [12 = c proti Hi : /ii — /i2 7^ c se nazývá dvouvýběrový t-test. Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz ooooooooo»oooooo Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení párový t-test Nechť je (Xi, Vi)7",..., (X„, Yn) výběr z rozdělení s n > 2 a neznámými parametry. Test Ho : /ii — fi2 = c oproti Hl : /ii — /x2 7^ c se nazývá párový t-test. F-test Nechť je Xn,... ,Xmi náhodný výběr z rozdělení A/(/ii,u2) a Xi2,...,X„2 na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení A/(/i2, cr|) s m, n > 2. Test Ho : a2/o"| = 1 proti Hl : a\ja\ 7^ 1 se nazývá F-test. test rozptylu Nechť je Xi,... ,Xn náhodný výběr z N(fi,a2) s neznámým /ia/i>2. Test Hq \ a2 = c proti Hi : u2 7^ c se nazývá test o rozptylu. Náhodný výběr Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz oooooooooooo oooooooooooo oooooooooo»ooooo Kritický obor testů normálního rozdělení z-test \{M-c)/{a/^~n)\ > Ul_a/2 jednovýběrový t-test |(M — c)/(S/^fh~)\ > t1_a/2{n — 1) dvouvýběrový t-test Mi - M2 - c * >' m ' n > h-a/^m + n - 2) párový t-test sestrojením rozdílu Z/ = X, — Y; a fi = [i\ — fi2 úlohu předvedeme na jednovýběrový t— test F-test S2/S| < Fa/2(m — 1, n — 1) nebo Si2/S22 > FW2(m-l,n-l) test rozptylu (n — l)S2/c < X2ř/2(" ~~ -0 ne':)o (n-l)S2/c>X2_a/2(n-l) Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz ooooooooooo»oooo Príklad Aktivní studenti chtěli dopravnímu podniku dokázat, že autobusy trpí většími výkyvy příjezdových dob na danou zastávku než tramvaje a provedli měření odchylek od jízdního řádu: autobus 0 2 4 -3 2 -4 -3 0 0 5 tramvaj 4 6 3 0 -2 2 0 1 1 0 Z tabulky lze snadno vypočítat, že S2 = 9,12 a S| = 5,39. Q Na hladině 0,05 testujte nulovou hypotézu, že autobus i tramvaj jsou stejně spolehlivé oproti alternativní hypotéze, že tramvaj je spolehlivější. 0 Určete maximální pravděpodobnost, s níž můžete tvrdit, že je tramvaj spolehlivější než autobus. Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz oooooooooooo^ooo Príklad Ve dvou nádržích se zkoumal obsah chlóru. Z první bylo odebráno 22 vzorků, z druhé 10 vzorků. Byly vypočteny následující hodnoty výběrových průměrů a rozptylů: M\ = 34,23, M2 = 35,73, S2 = 1,76, S| = 1,81. Hodnoty zjištěné z odebraných vzorků považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z rozdělení A/(/íi,u2), resp. A/(/i2, c2). Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot \i\ — fi2 a vyslovte závěr na dané hladině spolehlivosti o podstatnosti rozdílu naměřených hodnot. Řešení Dosadíme do vztahu M1 - M2 ± S*y ^ + \ ■ t-y_ai2(m + n - 2) hodnoty M\ — M2 = —1,5, S* = 1,3323 a dostaneme interval (—2,5377; —0,4623). Do tohoto intervalu 0 nepatří, proto je rozdíl /íi — fi2 statisticky významně různý od nuly. Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz OOOOOOOOOOOOO0OO Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test Příklad Uvažme bodové výsledky studentů z 2. termínu zkoušky předmětu MB103 v roce 2008, přičemž výsledky testů skupiny A a skupiny B považujeme za dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. Úkolem je zjistit, jestli výsledky některé ze skupin byly statisticky významně horší. Testujme nulovou hypotézu Ho : \i\ — [12 = O oproti alternativní hypotéze H\ : \i\ 7^ fi2- Nejprve pomocí F-testu otestujeme hypotézu o stejných rozptylech, v případě úspěchu poté použijeme dvouvýběrový t-test. Vypočteme základní statistiky: rozsa h výb. průměr výb. rozptyl A 65 10,48 22,49 B 64 7,21 29,75 Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz oooooooooooooo»o Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Dostáváme3 S2/S| = 0,76 a protože F(0,025; 64; 63) = 0,61, nezamítáme hypotézu o rovnosti rozptylů. O tomtéž se přesvědčíme i vypočtením intervalu spolehlivosti sl/sl sl/sl Fi-a/2{m - 1, n - 1)' Fa/2(m - 1, n - 1) (0,46;1,24), v němž leží testovaný podíl rozptylů 1. Budeme tedy dále s výběry pracovat s předpokladem, že mají stejný rozptyl a použijeme dvouvýběrový t-test. 3Detaily výpočtů jsou uvedeny v doprovodném souboru Náhodný výběr oooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOOO Testování hypotéz ooooooooooooooo* Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů s2 = (m-l)S2 + (n-l)S22 ^ 2 * m + n — 2 dále Mi — M2 = 3,27. V tabulkách najdeme hodnotu ř0,975(65 + 64 - 2) = 1,98, a protože Mi - M2 7 =- « 3,64, S*V 65 + 64 docházíme k závěru, že můžeme hypotézu o stejné střední hodnotě obou rozdělení (tj. hypotézu \i\ = /x2) zamítnout (neboť 3,64 > 1,98).Toto opět ověříme výpočtem intervalu spolehlivosti, který má střed v Mi — M2 a velikost rovnou dvojnásobku S*\Jm + n " ři-a/2(m + " - 2) ~ 1J8, proto je interval spolehlivosti roven (1,49; 5,05).