Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace 00 Matematika III - 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace 00 Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q| Parciální a směrové derivace • Parciální derivace Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace 00 • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Literatura Zobrazení a funkce více proměnných •OO Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace OO V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními f : R ->• R. Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm -> Rn. Zabývat se budeme především dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru Rn Literatura Zobrazení a funkce více proměnných 090 Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace 00 Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic je invertibilní zobrazení M." —> M.n. Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x. Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (r>v) ^ (rcos^rsinv?) = Pkartézské Graf funkce můžeme také vnímat jako obraz zobrazení M." —> M" Zobrazení a funkce více proměnných ak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Archimedova spirála má v polárních souřadnicích rovnici r(ip) = a + bip, kde I a, b G M jsou parametry. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce •oooo Parciální a směrové derivace 00 Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě agR" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x G 0{a) \ {a} platí f(x) G O(L). Píšeme lim f(x) = L Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce o»ooo Parciální a směrové derivace 00 Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d • lim g(x), x—>a x—>a x—>a • multiplikativita, divisibilita, • je-li limx^a f(x) = O a funkce g(x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu a, pak lim f{x)g(x) = 0. aněkdy také o dvou policajtech :) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce oo»oo Parciální a směrové derivace 00 Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) Vx2+y2+l-l f=- v bodě (0,0). Viz cvičení. Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bodě (0, 0). J Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) x2+y2 v bodě (0,0). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce ooo»o Parciální a směrové derivace 00 Příklad Vypočtěte limity nebo dokažte jejich neexistenci. a) lim(x,yH(0,0) ^T^, b) lim(XiyH(00i00)(x2+y2)e-(x+^, c) lim(Xiy)_>(o0il)(l + -)*+*, ,\ ,. 1—cos(x2+y2) d) lim(yiy)_,(0,o) {x2+y2)xy. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce oooo» Parciální a směrové derivace 00 Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G W, pokud má v bodě a vlastní limitu a platí lim f(x) = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : M" —> M je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b G A takové, že f (a) < O < f (b), pak existuje c G A tak, že f (c) = 0. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace •O Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice /K,...,xn*)), , x*] parciální ,x*) (příp. Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : En —> M. parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z En do M. Existuje-li limita t™o 1 ' ' " ''X/-1'X/ 'X/+1'' ' ' ' *"> ~ říkáme, že funkce f : En —> M. má v bodě [xj*,... derivaci podle proměnné x; a značíme fXi{x\, ■ ■ ■ g(x1*,...,x*)nebo^(x1*,...,x*)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace O* Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) 1 pro x=0 nebo y=0 0 jinak má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá.