Literatura Parciální a srr ěrové derivace Diferenciál ooooo oooooooooooooo Matematika III - 3. přednáška Funkce více proměnných: směrové derivace, diferenciál, derivace vyšších řádů Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2014 Literatura Parciální a směr 3vé derivace Diferenciál ooooo oooooooooooooo Ql Literatura 01 Parciální a směrové derivace • Parciální derivace - připomenutí • Směrové derivace Q Diferenciál funkcí více proměnných • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál oooooooooooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Parciální a směrové derivace Diferencia •oooo oooooooooooooo Parciální derivace - připomenutí Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. '-" Definice Existuje-li limita + r' x/+l) • • • ) xn) -f{x;,...,x*n)), říkáme, že funkce f : En —> M má v bodě [xf, .., x*] parciální derivaci podle proměnné x; f-(XlV..,x*) nebo ^(4, a značíme fXi{x\, ■ ■■■,<))■ . .,x*) (příp. Literatura Parciální a směrové derivace o»ooo Diferenciál oooooooooooooo Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. ' Příklad * Funkce '<*•">={s pro x=0 nebo jinak y=0 má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá Literatura Parciální a směrové derivace oo»oo Diferenciál oooooooooooooo Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : W1 —> M má derivaci ve směru vektoru věM"v bodě x £ En, jestliže existuje derivace dvf(x) složeného zobrazení 11-> f(x + tv) v bodě t = 0, tj. dvf(x) = lim y(f(x + tv) - f(x)). Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv(x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. Literatura Parciální a směrové derivace ooo»o Diferenciál oooooooooooooo Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné tp(t) = f(x+ tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro i/ěK" směrové derivace dvf(x), dvg(x) funkcí f, g : En —» M. v bodě x £ En, pak: O d/(Vf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné ItsR, O dv{f ± g){x) = dvf{x) ± dvg{x), 0 dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), O pro g(x) ^Oje dv^ = -^(dvf(x)g(x) - f(x)dvg(x)). Poznámka Neplatí ale aditivita vzhledem ke směrům: du+vf{x) ŕ duf{x) + dvf{x). Rovněž je vidět z výše uvedené věty, že směrová derivace nezávisí jen na „směru" vektoru, ale i na jeho velikosti. Literatura Parciální a směrové derivace oooo» Diferenciál oooooooooooooo Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem mimo počátek a ^(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci „po různých parabolách" dostáváme různé limity). Příklad Určete směrovou derivaci funkce f(x, y) = arctg(x2 + y2) v bodě [— 1,1] ve směru vektoru (1, 2). Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál •ooooooooooooo V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující Formálně říkáme, že funkce f : M —> M je diferencovatelná v xo, pokud existuje A £ M. tak, že dy = f'(xo) ■ dx. lim f{x0 + h)- f{x0) - Ah h = 0. (Přitom z definice derivace snadno plyne, že pak A = f'(xo).) Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál o«oooooooooooo Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> ffi i je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,... , an) £ W takový, že pro všechny „směry" i/ě!" platí lim li^ji (f(x + v) - f(x) -a-v) =0. Lineární funkci df definovanou předpisem v ^ a • v (závislou na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f. Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál 00*00000000000 Funkce f : En —> M je tedy diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,..., an) g W takový, že pro všechny „směry" i/é!" platí O v bodě x existují všechny směrové derivace dvf(x), v g M", Q v i—> dvf(x) je lineární v závislosti na přírůstku v O 0 = \\mv^0^(f{x+v)-f{x)-dvf{x)), tj. 0 = linrwo l^i\{f{x + v)~ f{x) -a-v). Literatura Parciální a směr 3vé derivace Diferenciál ooooo ooo»oooooooooo Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již konečně dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : M" —> M diferencovatelná v bodě xěI", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f{x + v) — f{x) = a ■ v + t(v), kde lim^o = 0. Proto: lim)(/r(x + v) - f(x)) = lim (a • v + t (v)) = 0, a tedy lim f{x + v) = f(x). □ Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál oooo»ooooooooo Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x, y) = x2 + y2 v obecném bodě [x*,y*]. Řešení Kvůli přehlednosti označme h := dx, k := dy . Pak f(x* +dx,y* +dy) - f{x*,y*) = = (x* + hf + (y* + kf - (x*)2 - (y*)2 = = 2x*h + 2y*h +h2 + k2. Odtud df(x*,y*)(h, k) = 2x* ■ h + 2y* • k a t(/j,/c) = h2 + k2. Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál ooooo»oooooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné je přitom dvf(x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Důkaz: dvf(x) = lim -t (f(x + tv) - f(x)) = lim ^ {df(x)(tv) + r(tv)) = = df(x)(v) + IMI lim 1^ = df(x)(v) = a-v. v t^o \\tv\\ Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací f'(x) je přímo roven vektoru a. Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál oooooo»ooooooo Uvažujme f : E2 —> M se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> M Jf df J df J df = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Literatura Parciální a směr 3vé derivace Diferenciál ooooo ooooooo»oooooo Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně Jf df J df J df J df = — dx-y + — dx2 H-----h -z—dxn OXi OX2 oxn (*) a platí: Necht f : En —^ M je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x g En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál d f v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*). Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál 00000000*00000 Příklad Určete diferenciál v daném bodě: a) f(x,y)=xy + f v bodě [1,1], b) fix,y) = arcsin Jí—v bodě [1, VŠI- Vx2+y2 Příklad Spočtěme znovu jednodušeji dřívější příklad a určeme směrovou derivaci funkce f(x,y) = arctg(x2 +y2) v bodě [—1,1] ve směru vektoru (1,2) pomocí diferenciálu. Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál ooooooooo»oooo Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e0'1 Řešení Využijeme diferenciál funkce f(x,y) = ex3+y v bodě x = [0,0] s diferencemi v = (0,05; -0,02). Máme df (x, y) = ex3+y -3x2 dx + ex3+y dy, a tedy df(0, 0) = 0 dx + 1 dy, což celkem dává odhad e0,053-0,02 _ f(0,05; -0,02) « f(0, 0) + df(0,05; -0,02) = 1 - 0,02 = 0,98. Literatura Parciální a směr 3vé derivace Diferenciál ooooo oooooooooo^ooo Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte: \ ■ 0,48 a) arcsmj^, b) 1,042<02. Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál ooooooooooo»oo Pro f : E2 a pevný bod [xo,yo] £ E2 uvažme rovinu v e3: df df z = f(x0,y0) + —(x0,y0)(x -x0) + ^;(xo, Yo){y ~ Yo)- Je to jediná rovina procházející bodem (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(r) = (x(ř), y(t), f(x(t), y(t))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t,t,f(t, t)). Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál ooooooooooooso Obecně pro f : En —> M je tečnou rovinou afinní nadrovina v E„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) Q její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> M, tj. diferenciálu v bodě x 6 En. Literatura Parciální a směrové derivace ooooo Diferenciál 0000000000000» ' Příklad ^ Určete rovnici tečné nadroviny ke grafu funkce v daném bodě: a) f(x y) =x2+xy+ 2y2, [x0, y0, z0] = [1,1 4], b) f(x y) = arctg^, [x0,y0, z0] = [1,-1, ?].