Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Extrémy 000 oooooooooooo ooooooooooooooo Matematika III - 4. přednáška Funkce více proměnných: Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom, extrémy funkcí Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2014 Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy ooooooooooooooo Q Diferenciál funkcí více proměnných • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy ooooooooooooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Silvie Kuráňová, Jan Vondra, Diferenciální počet funkcí více proměnných - interaktivní sbírka příkladů a testových otázek, PřF MU, 2009, http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/ prif/ps09/sbirka/web/index.html • Předmětové záložky v IS MU Literatura Diferenciál •OO Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy ooooooooooooooo Pro f : E2 a pevný bod [xo,yo] £ E2 uvažme rovinu v E3: df df z = f(x0,y0) + —(x0,y0)(x -x0) + ^;(xo, Yo){y ~ Yo)- Je to jediná rovina procházející bodem (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t),y(t),f(x(t),y(t))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(ŕ) = (ŕ, t, f (t, t)). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy ooooooooooooooo Obecně pro f : En —> M je tečnou rovinou afinní nadrovina v E„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) Q její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> M, tj. diferenciálu v bodě x £ En. Literatura Diferenciál OO* Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy ooooooooooooooo Příklad Určete rovnici tečné nadroviny ke grafu funkce v daném bodě: a) f{x,y) = x2 + xy + 2y2, [x0,y0,z0] = [1,1,?], b) f{x,y) = arctg^, [x0,y0,z0] = [1,-1,?]. Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Extrémy OOO »00000000000 ooooooooooooooo Parciálni derivace vyssicn radu Pro pevný vektor přírůstku v G W je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —> M f^dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —> M. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Pro parciální derivace druhého řádu píšeme fi0ilf {dxj ° dx-,' d2 dxjdxj -f d2f dxjdxj v případě opakované volby / = j píšeme také {dx: ° dx;' dxf dxf Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta o»oooooooooo Extrémy ooooooooooooooo Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích /c-tého řádu dkf dxh ... dx-,k' Věta (Schwarzova) Necht f : En —» M je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xéI". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Speciálně tedy pro n = 2 platí (při alternativním způsobu zápisu parciálních derivací): fxy{xO,Yo) = fyx{xO,Yo)- Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Extrémy ooo oo»ooooooooo ooooooooooooooo Taylorův polynom funkce jedné proměnné - opakování Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Definice Nechť xo £ T>(f) je bod, ve kterém existují vlastní derivace f'(xo), f"(xo), ..., f("\xo) funkce f(x) až do řádu n. Taylorův polynom stupně n funkce f(x) se středem v bodě xq je polynom T(x)= Tn(x)= Tfn(x)= Tfn(x;xQ) definovaný jako T(x) := f (xo)+f'(x0) (x-xQ)+^M (x-x0)2+- • •+^^ )". Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Extrémy ooo ooo»oooooooo ooooooooooooooo Taylorova věta pro funkce jedné proměnné Věta Necht f (x) má spojité derivace f'(x), f"(x), ..., f^n\x) na uzavřeném intervalu [a,b] a necht existuje vlastní derivace f("+1)(x) na otevřeném intervalu (a, b). Potom pro každý bod x G (a, b) existuje bod c G (a, x) tak, že platí rovnost f(x) = Tn{x) + Rn(x), kde Rn(x) = (* - a)n+1., kde Tn(x) je Taylorův polynom stupně n funkce f(x) se středem v bodě a. Diferencia 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooo»ooooooo Extrémy ooooooooooooooo Definice Je-li f : En —> M libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici dxidx„ C*) dx„dx„ (x)/ Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"(x). Poznámka Analogicky jako v případě parciálních derivací lze definovat i směrové derivace vyšších řádů v bodě x G En. Pak platí (za předpokladu spojitosti jedné ze stran v x) fuv{x) = fvu{x) = uTHf(x)v = {Hf(x)u) ■ v. Hf(x) í d2f \ dxjdxj \(9x„(9xi (^) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Extrémy OOO OOOOO0OOOOOO ooooooooooooooo Použití Hessiánu připomíná Taylorovu v. jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x) cos(y). Obecně pro funkce f : En —> M, body x = [xi,... ,x„] G En a přírůstky v = (£1,..., £„) klademe l f(x*)). Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x 7^ x*, hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df(x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. Nutnou podmínkou pro existenci maxima nebo minima v bodě x* (v případě diferencovatelnosti funkce f v x*) je vymizení diferenciálu v tomto bodě, tj. df(x*) = 0. Skutečně, pokud je df(x*) ý 0. Pak existuje směr v, ve kterém je dvf(x*) 7^ 0. Pak ovšem nutně podél přímky x* + tv na jednu stranu od bodu x* hodnota funkce roste a na druhou klesá. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy o»ooooooooooooo Příklad Funkce f : E2 f {x, y) definovaná předpisem fx2+y2, pro [x,y] ^ [0,0], ll pro [x, y] = [0,0] má v počátku ostré lokální maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Příklad Funkce f(x,y) = \J x1 + y2 je v počátku spojitá a má zde ostré lokální minimum, přestože v tomto bodě není diferencovatelná (grafem funkce je kuželová plocha - viz první přednáška). Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy oo«oooooooooooo Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = |£c/x + §^dy = (y - yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. „sedlo"). Poznat, jakého typu je daný stacionární bod, nám stejně jako v případě funkcí jedné proměnné umožní (díky Taylorově větě) derivace vyšších řádů. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy 000*00000000000 Mějme funkci f : M —> M a její stacionární bod xo (tj. f'(xo) = 0). Je-li f"(xo) < O, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= Tí{x) + Rí{x) = = f(xo) + f'(xo)(x - x0) + \f"{0{x - xo)2 = = f(«)) + \f"(Z)(x-xo)2, kde £ leží mezi x a xo. Ze spojitosti f" a vlastnosti f"(xo) < O pak pro £ dostatečně blízko xo dostáváme f"(£) < O a tedy Ri(x) < O dostatečně blízko xo . Proto zde f(x) < f(xo) a xo je lokálním maximem. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy oooo»oooooooooo Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = O - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= T1{x) + R1{x) = = f(x*) + df(x*)(x - x*) + \ d2f(0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde £ = x* + 6v (pro 6 G (0,1)) leží „mezi" x a x*. Zbývá do více proměnných přeložit podmínku, která říká, že výraz d2f (£)(x - x*) = (x - x*)THf(0(x - x*) je nekladný (resp. nezáporný) pro libovolné x. Literatura Diferencia 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy ooooo»ooooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : V —> M je • pozitivně definitní, je-li h(u) > O pro všechny u / O » pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > O pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < O pro všechny u / O • negativně semidefinitní, je-li h(u) < O pro všechny u G V • indefinitní, je-li h(u) > O a h(v) < O pro vhodné u, v G V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). S těmito pojmy jste se setkali již v části věnované lineárním modelům a měli byste tedy umět rozeznat definitnost kvadratické formy (resp. její matice v dané bázi). Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Extrémy ooo oooooooooooo oooooo»oooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, • hlavní minory A střídají znaménko, počínaje záporným. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy ooooooo»ooooooo Věta Necht f : En —» M je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* G En nechť je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), O je-li Hf(x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, Všimněme si, že věta nedává žádný výsledek, pokud je hessián funkce ve zkoumaném bodě degenerovaný (nulový). Důvod je opět stejný jako u funkcí jedné proměnné. V takových případech totiž existují směry, ve kterých první i druhá derivace zmizí a my proto v tomto řádu přiblížení neumíme poznat, zda se funkce bude chovat jako ř3 nebo jako ±ř4, dokud nespočteme alespoň v potřebných směrech derivace vyšší. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy oooooooo»oooooo Příklad Uvažme funkci f(x,y) = sin(x) cos(y), která připomíná známá kartónová plata na vajíčka a spočtěme její lokální extrémy. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy ooooooooo»ooooo Příklad (pokr.) Spočtěme si nejprve první parciální derivace: fx{x,y) = cos(x)cos(y), fy{x,y) = - sin(x) sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = O, sin(y) = O, tj. [x,y] = [2k^lrK,£ir], pro libovolné 0 cos(y) = O, sin(x) = O, tj. [x,y] = [kir, ^-^vr], pro libovolné Mez. Druhé parciální derivace jsou Hf(x,y) fxy fyy (*>y) sin(x)cos(y) — cos(x) sin(y)N cos(x)sin(y) — sin(x) cos(y)y Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy oooooooooo»oooo Příklad (pokr.) V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: O Hf(kir + ^,£tv) = ± přičemž znaménko + nastává, když k a í jsou různé parity a naopak pro —, O Hf(kir, £tv + |) = ± ^ ^ , přičemž znaménko + nastává, když /c a ^ jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami k a i. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. Naopak, hessián u druhé skupiny bodů se vyčíslí kladně na některých přírůstcích a záporně na jiných. Stejně se proto bude chovat i celá funkce f v okolí těchto stacionárních bodů. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy ooooooooooo^ooo Příklad (Poznámky) • matice je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) • nalezené lokální extrémy šlo jistě najít snadněji úvahou o nabývání hodnot ±1 funkcí f(x,y) = sin(x) cos(y), neměli bychom ale jistotu, že jde o všechny extrémy. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy oooooooooooo»oo Příklad Určete stacionární body funkce f : M2 —> M, f(x,y) = x2y + y2x — xy a rozhodněte, které z těchto bodů jsou lokálními extrémy a jakého druhu. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy oooooooooooooso Definice Nechť f : En —> M a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x G M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Věta Necht M C En je kompaktní množina, f : M —> M spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Hledání absolutních extrémů funkce na množině tak máme převedeno na nalezení lokálních extrémů (což umíme) a vyšetření hraničních bodů. To je ale často komplikovanější záležitost, které se budeme více věnovat později v části o vázaných extrémech. Literatura Diferenciál 000 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooooo Extrémy 00000000000000» Příklad Nalezněte extrémy funkce f(x,y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Řešení Jediným stacionárním bodem je [1,1], kde nastává absolutní maximum f(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 nastává v hraničních bodech [4,0] a [0,4].