Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo Matematika III - 5. přednáška Zobrazení více proměnných, implicitně definované f u n kce Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13. 10. 2014 Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitně definovaná zobrazení oooooooooo ooooooooooo Obsah přednášky Q Absolutní (globální) extrémy Q| Zobrazení mezi euklidovskými prostory • Zobrazení a transformace • „Chain Rule" • Věta o inverzním zobrazení Q Implicitně definovaná zobrazení Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitně definovaná zobrazení oooooooooo ooooooooooo Doporučené zdroje • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Silvie Kuráňová, Jan Vondra, Diferenciální počet funkcí více proměnných - interaktivní sbírka příkladů a testových otázek, PřF MU, 2009, http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/ prif/ps09/sbirka/web/index.html • Předmětové záložky v IS MU Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitně definovaná zobrazení oooooooooo ooooooooooo Obsah první písemky 7. listopadu, 18:00 (Dl, D2, D3, A217) • určování limit, resp. důkaz neexistence, spojitost • výpočty parciálních a směrových derivací • použití diferenciálu - aproximace, tečná nadrovina • využití Taylorovy věty a Hessiánu pro aproximaci • implicitně definované funkce • určování lokálních a globálních extrémů. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo Absolutní extrémy Definice Nechť f : En —> M a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x G M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Věta Necht M C En je kompaktní množina, f : M —> M spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Hledání absolutních extrémů funkce na množině tak máme převedeno na nalezení lokálních extrémů (což umíme) a vyšetření hraničních bodů. To je ale často komplikovanější záležitost, které se budeme více věnovat později v části o vázaných extrémech. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo Příklad Nalezněte extrémy funkce f(x,y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Řešení Jediným stacionárním bodem je [1,1], kde nastává absolutní maximum f(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 nastává v hraničních bodech [4,0] a [0,4]. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory •ooooooooo Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo Zobrazení mezi euklidovskými prostory Zobrazení F : En —» Em je při zvolených kartézských souřadnicích na obou stranách obyčejná m-tice F(x1,... ,x„) = (fi(xi,... ,x„),..., fm(x1,... ,x„)) funkcí f, : En —» M. Řekneme, že F je diferencovatelné nebo spojitě diferencovatelné zobrazení, jestliže tuto vlastnost mají všechny funkce f±,... ,fm. Diferencovatelná zobrazení F : En —> En, která mají inverzní zobrazení G : En —> En definované na celém svém obrazu, se nazývají (diferencovatelné) transformace. Příkladem transformace v E2 je přechod mezi polárními a kartézskými souřadnicemi: [r, 9] 1-4- [r cos 9, r srn 9] s inverzí [x,y] ^ [Vx2 + y2,arctg^], [0,y] ^ [y, ^sgny]. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory o»oooooooo Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo Lineární zobrazení d//(x) : En lineárně aproximují přírůstky f,. Definice M(x)\ /f§ ĚÍL 8x7 d£ 9x2 <9x„ \ df2 dx„ Mm dxi Mm 9x2 Mm dx„ se nazývá J a co bi ho matice zobrazení F v bodě x (a její determinant nazýváme jacobián). Lineární zobrazení D1F(x) definované na přírůstcích v = (vi,..., vn) pomocí stejně značené Jacobiho matice nazýváme diferenciál zobrazení F v bodě x z definičního oboru, jestliže \\mo — (F(x + v) - F(x) - D1F(x)(v)) = 0. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oo»ooooooo Implicitně definovaná zobrazení OOOOOOOOOOO Důsledek Věty o existenci diferenciálu pro funkce n proměnných je: Věta Necht F : En —» Em je zobrazení, jehož všechny souřadné funkce mají spojité parciální derivace v okolí bodu x G En. Pak existuje diferenciál D1F(x) zobrazení F zadaný Jacobiho maticí. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitně definovaná zobrazení ooo»oooooo ooooooooooo Věta („Chain rule", o derivaci složeného zobrazení) Nechť F : En —» Em a G : Em —» Er jsou dvě diferencovatelná zobrazení, přičemž definiční obor G obsahuje celý obor hodnot F. Pak také složené zobrazení G o F je diferencovatelné a jeho diferenciál je v každém bodě z definičního oboru F kompozicí diferenciálů D\G o F)(x) = DxG(F(x)) o D1F{x). Příslušná Jacobiho matice je dána součinem příslušných Jacobiho matic. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooo»ooooo Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo Polární souřadnice vzniknou z kartézských souřadnic transformací F : E2 —> E2, kterou v souřadnicích [x,y] a [r, tp] zapíšeme: r = \Jx2 + y2, (p = arctg -. x Uvažme funkci gt : E2 —> M. zadanou v polárních souřadnicích předpisem g{r,(p, t) = sin(r-t). Funkce nám docela dobře přibližuje vlnění povrchu hladiny po bodovém vzruchu v počátku v čase t (viz obrázek s hodnotou t = —7r/2). Zatímco v polárních souřadnicích bylo snadněji zadat, v kartézských bychom asi tápali: Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory ooooo»oooo Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo Chceme-li vypočítat derivaci funkce zadané parametricky v kartézských souřadnicích, využijeme větu o derivaci složeného zobrazení g o F : E2 —> M: D1 (g o F)(x) = DV(F(x)) o DxF(x) = / dr_ dr \ dg dg_\ I dx dy dr díp J \ díp díp J \dx dy J = ^(^^)Í(x,y) + |f(r^)Ě(x,y)N Tedy ^(x,y, ŕ) = cos(V/x2+y2- ť) * + 0 ox ^Jx2- + yz a podobně dS,„ .. -____/ /„? , „o ^ y -5-(x,y,ŕ) = cos(V/x2+y2-ŕ) - 5y ^/x + y2 Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooo»ooo Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo Věta o inverzní funkci jedné proměnné - pripomenutí Pokud k dané funkci f : M —> M inverzní funkce f existuje (nezaměňujme značení s funkcí x i-> (^(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f^1 o f = idjR, f o f^1 = id^,. Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci f je i f^1 diferencovatelná, vztah pro derivaci složené funkce nám (pro y = f(x)) dává i = od)'(x) = (r1 o fy(x) = (r'nnx)) • f(x) a tedy přímo víme formuli (zjevně f'(x) v takovém případě nemůže být nulové) (f^Yifix)) = jfa. Věta _ Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu xq a f'(xo) ^ 0, pak existuje na nějakém okolí bodu yo = f(xo) funkce f^1 inverzní k f a platí vztah 1 Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitně definovaná zobrazení ooooooo»oo ooooooooooo Příklady - opakování Určete derivaci v obecném bodě definičního oboru inverzní funkce k funkci: O ex; O sinx. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitně definovaná zobrazení oooooooo»o ooooooooooo Věta Necht F : En —> En je spojitě diferencovatelné zobrazení na nějakém okolí bodu x* G En a necht je Jacobiho matice D1F(x*) invertibilní. Pak na nějakém okolí bodu x* existuje inverzní zobrazení F^1 a jeho diferenciál v bodě F(x*) je inverzním zobrazením k D1 F (x*), tzn. je zadán inverzní maticí k Jacobiho matici zobrazení F v bodě x*. Príklad Rozhodněte, zda zobrazení F = (f, g) : R2 ->• R2 defi novane po souřadnicích f (x, y) = xy,g(x,y) = - je prosté v okolí bodu [2,1]. V kladném prípade určete Jacobiho matici inverzního zobrazení F-1 v bodě F(2,1). Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory 000000000» Implicitně definovaná zobrazení ooooooooooo Příklad Spočítejte jacobián zobrazení F, které je transformací dvou proměnných do polárních souřadnic, a příslušné inverzní transformace. Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitně definovaná zobrazení OOOOOOOOOO »0000000000 Věta o implicitní funkci - neformální připomenutí Pokud máme zadánu funkci f(x) vzorcem y = f(x), hovoříme 0 jejím explicitním zadání. Obecnějším zadáním funkce je rovnice F(x,y) = O, kde závislá proměnná y představuje „neznámou" funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pak hovoříme o funkci zadané implicitně. Avšak 1 v tomto obecnějším případě budeme schopni vypočítat y'(x) (aniž bychom nutně znali explicitní vzorec pro y(x)), a to pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. Příklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce proměnné x: yi = Vx, y2 = -Vx Při derivování implicitně zadaných funkcí obsahuje výsledná derivace y' jak proměnnou x tak proměnnou y (na rozdíl od běžného derivování funkce, kdy je ve výsledku pouze proměnná x). Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitně definovaná zobrazení oooooooooo o»ooooooooo Věta o implicitní funkci Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x,y) : E2 —> M hledejme body [x,y], ve kterých platí F(x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x - s)2 + (y - ŕ)2 - r2 = 0, r > 0. V prvním případě je (při b 7^ 0) předpisem zadaná funkce y = f (x) = - pro všechna x. Ve druhém případě umíme pouze pro [a, b] splňující rovnici kružnice a b 7^ t najít okolí bodu a, na kterém nastane jedna z možností: y = f (x) = t + y/(x — s)2 — r, y = f (x) = ŕ - y/(x - s)2 - r. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení oo^oooooooo Body [s ± r, t] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r,t) = 0, což znamená, že tečna ke kružnici v těchto bodech je rovnoběžná s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f (x). Navíc umíme spočítat i derivace: = 1 2(x~s) = x~s = _[x { ' 2 ^/(x - s)2 - r2 y-t Fy Naopak, pokud budeme chtít najít závislost x = f (y) takovou, aby F(f(y),y) = 0, pak v okolí bodů (s ± r, ŕ) bez problémů uspějeme. Všimněme si, že v těchto bodech je parciální derivace Fx nenulová. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení ooo»ooooooo Shrňme pozorování (pro pouhé dva příklady): Pro funkci F(x,y) a bod [a, b] G E2 takový, že F(a, b) = 0, umíme najít funkci y = f(x) splňující F(x, f(x)) = 0, pokud je Fy(a, b) ^ 0. V takovém případě umíme i vypočíst f'(x) = —Fx/Fy. Z následující věty plyne, že takto to platí vždy, navíc pro libovolné počty proměnných. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení 0000*000000 Věta (O implicitní funkci) Necht F : En+\ —> M je spojitě diferencovatelná funkce na otevřeném okolí bodu [x*,y*] é f„ x K, ve kterém je F(x*,y*) = 0 a §^(x*,y*) ^ 0. Potom existuje spojitá funkce f : En —> M definovaná na nějakém okolí U bodu x* g En taková, že F(x, f(x)) = O pro všechny x g U. Navíc má funkce f v okolí bodu x* parciální derivace splňující df_, , dxi f(x,f(x))' '-" Pomůcka Poslední tvrzení o derivaci přitom je dobře zapamatovalné (i pochopitelné) z výrazu pro diferenciál: 0 = dF = Fx dx + Fy dy = (Fx + Fyf\x)) dx. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení ooooo»ooooo Příklad Nakreslete graf funkce definované implicitně vztahem ( „ V ' /|(|x|-l)(|x|-.75)| ^ V (l-|x|)(|x|-.75) 3|x| + .75 \ - 1 3+V/l-(l|x|-2|-l)2-y 8|x|-y • 2.25, |(x-.5)(x+.5)| (.5-x)(.5 + x) -.75)(|x|-.5)| (.75-|x|)(|x|-.5) (^ + (U-.SM,^p-^^FiF-y)=o Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení 0000000*000 Příklad Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y), která je určena implicitně rovnicí F(x,y, z) = x2 + y2 + z2 — xz — \f2yz — 1 = 0. Řešení Derivováním rovnosti podle x a y dostáváme: 2x + 2z • zx — z — x • zx - V2yzx = 0 2y + 2z • zy — x • zy - - \Í2z — Vlyzy - = 0, odkud vyjádříme z - 2x V2z - 2y 2z — x — \/2y' 2z — x — V2y' Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení oooooooo»oo Řešení (pokr.) Stacionární body musí splňovat: zx = 0, zy = 0, tj. z = 2x = V2y, a tedy y = \[2x. Dosazením do původní rovnice dostáváme stacionární body [1, V2, 2] a [—1, — V2, —2]. V těchto bodech je Fz/0 (je to zároveň jmenovatel všech zde vystupujících zlomků), proto je v jejich okolí implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Dalším derivováním implicitní rovnice vypočteme parciální derivace f 2. řádu: 2 2 zxx — ~ 0 /ô ' z*y ~ °' zw — ~ o /ô ' 2z — x — V2y 2z — x — V2y Ve stacionárních bodech je Hf negativně, resp. pozitivně definitní, proto zde nastávají lokální maximum, resp. minimum funkce f. Body, v nichž nen/danou rovnicí implicitně určena funkce z = f(x, y) jsou body roviny 2z — x — \f2y = 0 (tedy body, v nichž během výpočtu dostaneme nulový jmenovatel některé z derivací). Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitně definovaná zobrazení oooooooooo ooooooooo»o Příklady k procvičení Příklad Ukažte, že funkce F(x,y) = exsin(y) + eysin(x) definuje předpisem F(x,y) = 1 pro [x,y] £ (0, |) x (0, ^) implicitně proměnnou y jako funkci f(x) proměnné x. Určete f'(x). Příklad Rozhodněte, zda křivka tvořená body vyhovujícími vztahu x3 + y3 — 2xy = 0 leží v okolí bodu [1,1] nad (nebo pod) svojí tečnou. Příklad Najděte lokální extrémy funkce y = y(x) dané implicitně rovnicí In \Jx2 + y2 = arctg £. Literatura Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo Implicitně definovaná zobrazení OOOOOOOOOO* Nejobecnější případ, kdy definujeme implicitně zadané zobrazení, popisuje následující věta (v případě n=l kopíruje větu o implicitní funkci). Věta (O implicitním zobrazení) Necht F : Em+n —> En je spojitě diferencovatelné zobrazení na otevřeném okolí bodu [x*,y*] G Em x En = Em+n, v němž platí F{x*,y*) = 0 a det DyF ^ 0. Potom existuje spojitě diferencovatelné zobrazení G : Em —^ En definované na nějakém okolí U bodu x* G Em s obrazem G(U), který obsahuje bod y*, a takové, že F(x, G(x)) = 0 pro všechny x G U. Navíc je Jacobiho matice D1G zobrazení G na okolí bodu x* zadána součinem matic D1G(x) = -{DlF)-\x, G(x)) • DlF{x, G(x)).