Matematika III - 7. přednáška Integrální počet funkcí dvou proměnných ody ooooo Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2014 Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooooooo ooooooooooooooo Integrální počet více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Numerické metody • Interpolace vs. aproximace • Numerická kvadratura (integrování) Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooooooo ooooooooooooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Potřebu zavedení integrálu více proměnných motivujeme výpočtem objemu prostoru pod grafem funkce z = f(x, y) dvou proměnných. Pracujeme s děleními na vícerozměrné intervaly v obou proměnných a s hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Říkáme, že (dvojný) integrál existuje, jestliže pro každou volbu posloupnosti dělení E (nyní v obou proměnných zároveň) a reprezentantů jednotlivých obdélníčků s maximální velikostí mezi všemi použitými intervaly jdoucí k nule, budou integrální součty konvergovat k jedné hodnotě, kterou zapisujeme fs f(x, y) áx áy. Šíj e x [yj,yj+i] c m2 Integrální počet více proměnných Numerické metody o»oooooooooooooooooooo ooooooooooooooo Násobné integrály Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y G [ip(x),tp(x)], poté rozsah další souřadnice z G [i](x, y), ((x, y)] atd. (Zejména tedy i případy, kdy jsou funkce tp,7p,r],( konstantní.) Věta (Fubiniova) V případě množiny S zadané jako výše a Riemannovsky integrovatelné funkce f na S je Riemannův integrál vyčíslen formulí J f(x,y,...,z)dx...dz l-ri(x,y,...) f(x,y,... ,z)dz .. .dy dx Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody oosooooooooooooooooooo ooooooooooooooo Přímým důsledkem pro konstantní funkce je: Věta Pro vícerozměrný interval S = [ai, b\\ x [32, 62] x ... x [a„, bn] a spojitou funkci f(xi,..., x„) na S _/e násobný integrál f(xi, ...,xn) dxi... dx„ = nezávislý na pořadí, ve kterém postupně integraci provádíme. Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody ooo»oooooooooooooooooo ooooooooooooooo Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál l=í 3(x-l)2 + (y-2)2 + 2 dxdy. J[0,l]x[0,3] Řešení S využitím předchozí věty dostáváme ' = Iq {Iq 3^ ~ + ^ ~ 2^ + 2 ^ = = /'3[(x-l)3+x(y-2)2 + 2x]^0 dy J o = / (y - 2)2 + 3 dy = [\{y - 2)3 + 3y]3 = 12 Jo Stejný výsledek dostaneme i při integraci v opačném pořadí. Literatura Integrální počet více proměnných oooosooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooo Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál xy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E2 ohraničená grafy funkcí y = x a 2 y = x . Snadno je vidět, že grafy se protínají v bodech [0, 0] a [1,1], přičemž pro x £ [0,1] je x2 < x. Proto je / X 1 40' Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOO Příklad Převeďte dvojný integrál ffA f(x, y) áA na dvojnásobný (obě možnosti pořadí integrace) pro množinu A ohraničenou přímkami y = x, y = x — 3, y = 2, y = 4. Ověřte (přímo nebo s využitím SW např. MAW) rovnost výsledku pro konkrétní funkci f (x, y) = y. Literatura Integrální počet více proměnných oooooo«ooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooo Záměna souřadnic pri integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: Integrovaný výraz f(x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f(x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(t), vyjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako dx = —dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako f{u{t))ftdt, přičemž bud' předpokládáme, že znaménko derivace u'(t) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví. Literatura Integrální počet více proměnných ooooooo»oooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooo Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů (http://en.wikipedia.org/wiki/Integrat ion_by_ substitution#Substitution_for_multiple_variables). Věta Nechť G(ri,..., tn) : En ->• En, [xi,... ,xn] = G(ri,..., tn), je spojitě diferencovatelné zobrazení, T a S = G(T) jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S —> M spojitá funkce. Potom platí f(x1,... ,x„) dxi.. .x„ = J f (G(ti,..., t„))| detíD^íti,..., řn))|t/ři... |x|}. ' Příklad Spočtěte integrál J í1 J dy dx. — \/x—x2 Příklad Pomocí vhodné transformace souřadnic vypočtěte integrál ffA^/xydxdy, kde množina A je ohraničena křivkami y2 = 2x, y2 = x, xy = 1, xy = 2. Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooo»ooooooooo OOOOOOOOOOOOOOO Časté tran sformace souřadnic v £3 Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, ip, z]; r > 0, ip G [0, 2ir), z G M} —> E3 je dáno předpisem x = r cos tp, y = rsufttp, z = z, Literatura Integrální počet více proměnných ooooooooooooo»oooooooo Numerické metody ooooooooooooooo Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tp, z]; r > 0, ip G [0, 2ir), z G M} —> E3 je dáno předpisem x = rcosíp, y = r s\n íp, z = z, y x r = v/x2_+y2",tg= -,z = z) , a tedy ^cos]; r > 0, 6 e [0,vr],• E3 je dáno předpisem x = r sin cos tp, y = r sin #sin , ]; r > 0, 9 e [0,7r], • E3 je dáno předpisem x = rsin 9cos + r2 cos2 6»sin 0 = r2sin#. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooo»ooooo Numerické metody ooooooooooooooo Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. Řešení Koule B(R) o poloměru R je dána ve sférických souřadnicích (r, 6, tp) jednoduchou podmínkou r < R. Je tedy obrazem intervalu U = [0, R] x [0,7r] x [0,27r), přičemž víme, že objemový element (tj. determinant jakobiánu transformačního zobrazení) je roven r2sin#. Proto je objem koule roven 1 dx dy dz r sin 6 dr dô dtp r2 d r s\n6d6 o "'O 2tt dm = -R5ti. * 3 Literatura Integrální počet více proměnných ooooooooooooooooosoooo Numerické metody ooooooooooooooo ' Příklad Vypočtěte integrál /= ľ ^/x2+y2+z2 Jv dx dy dz, kde množina V je vymezena plochou x2 + y2 +z2 = z. Řešení Transformací do sférických souřadnic dostáváme (grafem plochy je koule se středem v [0,0,1/2] a poloměrem 1/2) - promyslete meze! 1=1 I I r ■ ŕsmOdrdOdip = Jo Jo Jo = "' = 10' Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo»ooo Numerické metody ooooooooooooooo Určování mezí integrace Častým obtížným úkolem je při integraci v E3 určování integračních mezí. V tom nám může pomoci: • prostorová představivost • u symetrických objektů omezení pouze na výpočet v části objektu • zakreslení řezu objektu vhodnými rovinami (často x = 0, y = 0 nebo z = 0, případně využití SW pro vykreslení prostorového grafu. Integrální počet více proměnných Numerické metody ooooooooooooooooooo»oo ooooooooooooooo Využití ve fyzice Hmotnost tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x, y,z] dané funkcí p(x,y,z) má hmotnost danou vztahem M = I p dxdy dz. 'v Těžiště tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x, y,z] dané funkcí p(x,y,z) má souřadnice těžiště [xo,yo,zo] dané vztahy x°= Iď Jvxp dxdydz' yo = j/j jvyp dxcJydz>Zo = fvzp dxdy& Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooo»o Numerické metody ooooooooooooooo Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose í je pr2 dx dy dz, kde r je funkce závislosti bodu [x,y,z] od osy i. Příklad Určete souřadnice těžiště kruhové destičky x2 +y2 < a2, je-li její hustota v bodě [x,y] přímo úměrná vzdálenosti od bodu [a, 0]. [xr = -f,yr = 0] Příklad Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního válce x2 +y2 < a2, |z| < h o hustotě po vzhledem k ose tvořené přímkou x = y = z. FT \a "T" 3' [y (a2 + |/72), kde M je hmotnost válce.] Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO* ooooooooooooooo Příklad Vypočtěte O těžiště, O momenty setrvačnosti vzhledem k souřadným osám tenké homogenní rovinné lichoběžníkové desky s vrcholy v bodech [-1,0], [2,0], [2, 2] a [-1,1]. Řešení Hustota p(x,y) = 1 pro libovolná x,y. Integrujeme přes množinu /4:-l(*/)-y/)2 byla minimální. S využitím diferenciálního počtu lze snadno odvodit následující tvrzení. Mezi přímkami tvaru f(x) = a ■ x + b má nejmenší součet čtverců vzdáleností funkčních hodnot v bodech x\,..., x„ od hodnot y funkce splňující a ^ x; + b ■ n = y j Príklad Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1.5 1.6 2.1 3.0 Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: X y xy x2 1 1.5 1.5 1 2 1.6 3.2 4 3 2.1 6.3 9 4 3 12 16 10 8.2 23 30 Odtud a = 0,5, b = 0,8. Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooooooo oooooo»oooooooo Numerická integrace (kvadratura) Numerická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) • integrovaná funkce je známá, ale její primitivní funkci (antiderivaci) je obtížné (či dokonce nemožné) vyjádřit j a kožto elemen tární funkci. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody ooooooo»ooooooo Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem „pod plochou" apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy. Newton-Cotesovy vzorce Interval [a, b] , nad kterým integrujeme, rozdělíme na n stejných částí (délky h) tak, že v krajních bodech těchto částí známe hodnotu integrované funkce. Podle toho, jestli uvažujeme i hodnoty v krajních bodech a a b intervalu, rozlišujeme Newton-Cotesovy formule na uzavřené a otevřené. Pak Wj jsou váhy (uzavřený tvar). Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody oooooooo»oooooo Váhy snadno odvodíme např. pomocí Lagrangeovy interpolace. ľb ľb j f (x) dx « / L(x) dx = Ja Ja ľb n n ľb = ^ f (x;)£;(x) dx = ^ f (x;) / £;(x)dx. J 3 ■ n -n J 3 /=0 /=0 Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody 000000000*00000 Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooooooo oooooooooo»oooo lichoběžníkové pravidlo (uzavřená Newton-Cotesová formule) -interpolace lineární funkcí Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooo^ooo Simpsonovo pravidlo (uzavřená Newton-Cotesova formule) -interpolace kvadratickou funkcí Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody oooooooooooo»oo ' Příklad Pomocí lichoběžníkového, res l = ) 3. Simpsonova pravidla vypočtěte r-w/2 sinx dx. 0 Řešení • lichoběžníkové pravidlo: / ? • Simpsonovo pravidlo: / ~ : • \ « 0.785 « 1.003. Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooooooo oooooooooooooso Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Podíl objemu tělesa a krychle je pak aproximován relativní četností jevu, že náhodný bod leží uvnitř tělesa. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Numerické metody oooooooooooooo* Integrál J f (x) dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných n bodů x; z intervalu [a,b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak b — a f(x) dx i=l