5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška
DDD
příklad   c j ľ I        učo   l  j ľ     ľ j ľ     ľ     ľ j ľ j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Náhodné veličiny (6 bodů): Příklcld 1
(a) Náhodná veličina X má hustotu fx(x) =     Pro x £ (1, oo) a jinde nulovou.
Určete její distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl. (3)
(b) Hmotnost jedné porce kávy považujeme za náhodnou veličinu s rozdělením iV(6g; l,56g2). Určete pravděpodobnost, že k přípravě 16 porcí kávy postačí jeden lOOg balíček. (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška
D D D   l   příklad c , 2
příklad   c j l_        učo   c     ľ u ľ j c j ľ u ľ j ľ j   body   c     c u ľ j
_D IS3H5E1B9
Diferenciální rovnice (6 bodů): Příklad 2
Jedna z metod určování stáří artefaktů je tzv. radioaktivní metoda. Kosmické záření produkuje radioaktivní izotop uhlíku C14 (poločas rozpadu T = 5568 let). Tento izotop je absorbován zelenými rostlinami. Do těla živočichů se dostává potravou. V živých tkáních živočichů i rostlin je dávka C14 v rovnováze s množstvím rozpadlého C14. Když organismus zemře, přestane přijímat C14 a tak se koncentrace C14 začne snižovat. Za předpokladu konstantní aktivity kosmického záření lze usuzovat, že množství C14 v živých tkáních je pořád stejné. Z toho lze odvodit přibližné stáří vzorků.
Rozpad prvku se řídí rovnici N(t) = Noe~xt, kde N(t) je množství látky v čase t, Nq udává množství látky na začátku (v čase t = 0) a A je konstanta. Určete konstantu A pro uhlík C14.
Dřevěné uhlí z doby osídlení jeskyně Lascaux vykazovalo v roce 1950 aktivitu a\ = 0,97 min-1 g_1, živé dřevo mělo clq = 6,68 min-1 g_1. Aktivita je definována vztahem a = —N'(t)/m, kde m je hmotnost vzorku. Odhadněte dobu vzniku kreseb uhlím v jeskyni.
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška
D D D I pHkiad c, 3
příklad   c j _l        učo   c     l     l  j c     L     L -j L- j   body   c     L     c j
_D IS3H5E1B9
Aplikace diferenciálního a integrálního počtu (8 bodů): Příklcld 3
(a) Nechť M značí definiční obor funkce (4)
f(x,y) = ^y-f + x-x2\f^/T
y2 — x.
Zobrazte M v rovině a pomocí integrálu dvou proměnných vypočtěte obsah množiny M. (b) Najděte lokální extrémy (a jejich typ) funkce y = y{x) dané implicitně rovnicí (4)
ln \Ac2 + y2 = arctg —.
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška
DDDE
příklad   c j ľ I        učo   l  j ľ     ľ j ľ     ľ     ľ j ľ j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Náhodné veličiny (6 bodů): Příklcld 1
(a) Náhodná veličina X má hustotu fx(x) = |l Pro x £ (2, oo) a jinde nulovou.
Určete její distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl. (3)
(b) Hmotnost jedné porce kávy považujeme za náhodnou veličinu s rozdělením iV(3g; ffg2)-Určete pravděpodobnost, že k přípravě 32 porcí kávy postačí jeden lOOg balíček. (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška
DDDE ,„.,..... E
příklad   c j l_        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     c     c j
_D IE3H5E1B9
Diferenciální rovnice (6 bodů): Příklad 2
Jedna z metod určování stáří artefaktů je tzv. radioaktivní metoda. Kosmické záření produkuje radioaktivní izotop uhlíku C14 (poločas rozpadu T = 5568 let). Tento izotop je absorbován zelenými rostlinami. Do těla živočichů se dostává potravou. V živých tkáních živočichů i rostlin je dávka C14 v rovnováze s množstvím rozpadlého C14. Když organismus zemře, přestane přijímat C14 a tak se koncentrace C14 začne snižovat. Za předpokladu konstantní aktivity kosmického záření lze usuzovat, že množství C14 v živých tkáních je pořád stejné. Z toho lze odvodit přibližné stáří vzorků.
(a) Úbytek prvku v určitém časovém intervalu je přímo úměrný (konstantu označme A) jeho množství na začátku intervalu. Sestavte odpovídající diferenciální rovnici, vyřešte ji a určete A pro uhlík C14.
(b) Dřevěné uhlí z doby osídlení jeskyně Lascaux mělo v roce 1950 obsah uhlíku C14 vůči jeho původní hodnotě 14, 5%. Odhadněte dobu vzniku kreseb uhlím v jeskyni.
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška
DDDE ,„.,..... 3
příklad   c j _l        učo   c     l     l  j c     L     L -j L- j   body   c     L     c j
_D IS3H5ElBg
Aplikace diferenciálního a integrálního počtu (8 bodů): Příklcld 3
(a) Nechť M značí definiční obor funkce (4)
f(x,y) = y2\/Vl -x1 -y- -^\JVx^^ + y.
Zobrazte M v rovině a pomocí integrálu dvou proměnných vypočtěte obsah množiny M.
(b) Určete rovnici tečné roviny a normály v bodě [2, |, — 1] k ploše zadané
implicitně rovnicí (4)
^ - 3y + 2z2 = 0.
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška
BDB3
příklad   c j ľ I        učo   l  j ľ     ľ j ľ     ľ     ľ j ľ j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Náhodné veličiny (6 bodů): Příklcld 1
(a) Nechť jsou X±,X2 stochasticky nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Určete rozdělení transformované náhodné veličiny Y = 6 — 2Xľ — X2 a najděte její dolní kvartil. Dále vypočtěte E(Xi ■ Y). (3)
(b) Ke každému jogurtu „běžné značky" je náhodně (rovnoměrně) přibalen obrázek některého z 26 fotbalových reprezentantů. Kolik jogurtů si musí Petřík koupit, aby s pravděpodobností 0,99 získal alespoň jednu kartičku svého oblíbence Davida Lafaty? (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška
BDB3 ,„.,..... E
příklad   c j l_        učo   c     c     l  j c     L     L -j l- j   body   c     L     c j
_D H B 3 H 5 E H B 9
Diferenciální rovnice (6 bodů): Určete všechny funkce y = f (x),        Příklcld 2
pro které platí, že tečna k jejich grafu v libovolném jeho bodě [x0, y0] protíná osu x v bodě [^,0]. (Sestavte nejprve diferenciální rovnici a tu vyřešte.)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška
DDD3 ,„.,..... 3
příklad   c j _l        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     c     c j
_D IE3H5E1B3
Aplikace diferenciálního a integrálního počtu (8 bodů): Příklcld 3
(a) Krabice ve tvaru kvádru je umístěna v prvním oktantu (x, y, z > 0) tak, že jeden vrchol je umístěn v počátku a s ním incidentní stěny leží v souřadných rovinách. Protější vrchol V = [x, y, z] leží na ploše 5x2 + 2y2 + z = 1. Zapište vztah pro objem f(x,y) kvádru v závislosti na x,y a explicitně vyjádřete přípustný obor pro hodnoty x, y. Dále nalezněte maximum / pro hodnoty x, y v přípustném oboru (nezapomeňte zdůvodnit, že jde skutečně o globální maximum). (4)
(b) Určete hmotnost tělesa, které je tvořeno částí mezikruží 4 < x2 +y2 < 16 ležící v polorovině x > 0, je-li hustota v bodě [x,y] rovna   ^ ž. (4)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška
DDDH
příklad   c j ľ I        učo   l  j ľ     ľ j ľ     ľ     ľ j ľ j   body   c     c     c j
_D H B 3 H 5 E n B g
Náhodné veličiny (6 bodů): Příklcld 1
(a) Nechť jsou X1} X2 stochasticky nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Určete rozdělení transformované náhodné veličiny Y = — 2 — 5X± + 3X2 a najděte její horní kvartil. Dále vypočtěte E(Y ■ X2). (3)
(b) Náhodně vybraná konzerva v armádním skladu je vadná s pravděpodobností 0,1. Kolik konzerv musí zásobovací důstojník ze skladu vzít, aby mezi nimi bylo s pravděpodobností 0,99 alespoň 50 bezvadných konzerv. (Předpokládejte náhodné vydávání konzerv). (3)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška
DDDH ,,..... E
příklad   c j l_        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     L     c j
_D H B 3 H 5 E n B g
Diferenciální rovnice (6 bodů): Určete všechny funkce y = f (x),        Příklcld 2
pro které platí, že tečna k jejich grafu v libovolném jeho bodě [x0, y0] protíná osu x v bodě [2rr0,0]. (Sestavte nejprve diferenciální rovnici a tu vyřešte.)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
5. ledna 2015
MB103   Spojité modely a statistika
Čas: 100 minut
Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška
DDDH ,,..... 3
příklad   c j _l        učo   c     c     l  j c     c     L -j l- j   body   c     c     c j
_D IE3H5E1B3
Aplikace diferenciálního a integrálního počtu (8 bodů): Příklcld 3
(a) Krabice ve tvaru kvádru je umístěna v prvním oktantu (x, y, z > 0) tak, že jeden vrchol je umístěn v počátku a s ním incidentní stěny leží v souřadných rovinách. Protější vrchol V = [x, y, z] leží na ploše Ax2 + 3y2 + z = 1. Zapište vztah pro objem f(x,y) kvádru v závislosti na x,y a explicitně vyjádřete přípustný obor pro hodnoty x, y. Dále nalezněte maximum / pro hodnoty x, y v přípustném oboru (nezapomeňte zdůvodnit, že jde skutečně o globální maximum). (4)
(b) Určete hmotnost tělesa, které je tvořeno částí mezikruží 1 < x2 + y2 < 9 ležící v horní polorovině (y > 0), je-li hustota v bodě [x,y] rovna   J ž. (4)
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.