13. ledna 2015 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška DDD příklad c j ľ I učo l j ľ ľ j ľ ľ ľ j ľ j body c c c j _D H B 3 H 5 E H B 9 Náhodné veličiny (6 bodů): Příklcld 1 (a) Rozhodněte, zda je rozptyl součtu libovolné dvojice náhodných veličin X, Y roven součtu rozptylů těchto veličin. Vše zdůvodněte (buď dokažte nebo uveďte protipříklad). (2) (b) Odběratel provádí kontrolu jakosti výrobků namátkovou kontrolou testovaného rozměru u 21 náhodně vybraných výrobků. Dodávka bude přijata, pokud nebude výběrová směrodatná odchylka překračovat hodnotu 0,1 mm. Víme, že naše stroje produkují výrobky, u nichž má sledovaný rozměr normální rozdělení iV(10mni; 0, 0208mm2). Určete pravděpodobnost, s níž bude dodávka přijata. Jak se změní odpověď, pokud odběratel kvůli nákladům na testy začne testovat pouze 4 výrobky? (V případě chybějících údajů v tabulce hodnoty, které máte k dispozici, lineárně interpolujte). (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 13. ledna 2015 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška D D D l příklad c , 2 příklad c j l_ učo c ľ u ľ j ľ j ľ c j ľ j body c ľ c j _D IS3H5E1B9 Pravděpodobnost (6 bodů): Příklcld 2 (a) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost jevů: „padne součet deset", resp. „padne alespoň jedna pětka", a rozhodněte, zda jde o stochasticky nezávislé jevy. (2) (b) V lese tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech (1, 0), (—|, ^) a (—|,— ^) se ztratilo dítě. Pravděpodobnost výskytu dítěte v určité části lesa je úměrná velikosti této části, nikoliv umístění této části. Určete rozdělení vzdálenosti dítěte od zvolené strany lesa. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 13. ledna 2015 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 2. zkouška D D D I pHkiad c, 3 příklad c j _l učo c l l j c L L -j l- j body c L c j _D IS3H5E1B9 Funkce (8 bodů): Příklad 3 (a) Vypočtěte derivaci funkce f(x,y,z) = x2y + z4 v bodě [1,1,1] ve směru vektoru (1,3, —1) i) z definice; ii) pomocí gradientu (diferenciálu). (b) Určete rovnici tečné nadroviny ke grafu funkce f(x, y, z) = arctg 22 v bodě [2^3, 2,4, ?]. (c) Nechť je funkce y = y(x) dána v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicí y3 +xy — 2x2 = 0. Určete Taylorův polynom 2. stupně této funkce v bodě x0 = 1. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 13. ledna 2015 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška DDDE příklad c j ľ I učo l j ľ ľ j ľ ľ ľ j ľ j body c c c j _D H B 3 H 5 E H B 9 Náhodné veličiny (6 bodů): Příklad 1 (a) Rozhodněte, zda je směrodatná odchylka součtu libovolné dvojice nezávislých náhodných veličin X, Y rovna součtu směrodatných odchylek těchto veličin. Vše zdůvodněte (buď dokažte nebo uveďte protipříklad). (2) (b) Odběratel provádí kontrolu jakosti namátkovou kontrolou testovaného rozměru u 21 náhodně vybraných výrobků. Dodávka bude přijata, pokud nebude výběrová směrodatná odchylka překračovat hodnotu 0,2 mm. Víme, že naše stroje produkují výrobky, u nichž má sledovaný rozměr normální rozdělení iV(10mni; 0, 0737mm2). Určete pravděpodobnost, s níž bude dodávka přijata. Jak se změní odpověď, pokud odběratel kvůli nákladům na testy začne testovat pouze 4 výrobky? (V případě chybějících údajů v tabulce hodnoty, které máte k dispozici, lineárně interpolujte). (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 13. ledna 2015 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška DDDE ,„.,..... E příklad c j l_ učo c c l j c c L -j l- j body c L c j _D H B 3 H 5 E H B 9 Pravděpodobnost (6 bodů): Příklcld 2 (a) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost jevů: „padne součet devět", resp. „padne alespoň jedna pětka", a rozhodněte, zda jde o stochasticky nezávislé jevy. (2) (b) V lese tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech (0, 0), (1, 0) a (0,1) se ztratilo dítě. Pravděpodobnost výskytu dítěte v určité části lesa je úměrná velikosti této části, nikoliv umístění této části. Určete rozdělení vzdálenosti dítěte od nej delší strany lesa. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 13. ledna 2015 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 2. zkouška DDDE ,„.,..... 3 příklad c j _l učo c c l j c c L -j l- j body c L c j _D H B 3 H 5 E H B 9 Funkce (8 bodů): Příklad 3 (a) Dokažte, že funkce f (x,y) = -^r^ nemá limitu v bodě (0,0). (b) Rozhodněte, zda graf funkce y = y (x) zadané implicitně rovnicí |x2 — 3xy2 + y3 — | = 0 leží v bodě [1, 3] nad nebo pod svojí tečnou v tomto bodě. Rovnici tečny zapište. (c) Pomocí Taylorova polynomu stupně 2 se středem v bodě [1,1] odhadněte (a s pomocí kalkulačky vyčíslete) hodnotu funkce f(x,y) = \n(x2 + y2 + 1) pro [x,y] = [1,1; 1,2]. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 13. ledna 2015 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: C Místnost: 2. zkouška BDB3 příklad c j ľ I učo l j ľ ľ j ľ ľ ľ j ľ j body c c c j _D H B 3 H 5 E H B 9 Náhodné veličiny (6 bodů): Příklcld 1 (a) Spojitá náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0,3). Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny Y = X2. (2) (b) Na dvou soustruzích (s teoreticky stejnou variabilitou produkce) se vyrábějí tytéž součástky, u nichž se měří vnitřní průměr (předpokládá se normální rozdělení). Byl pořízen náhodný výběr rozsahu 14 z produkce prvního soustruhu a rozsahu 18 z produkce druhého soustruhu. Příslušné výběrové průměry jsou 36,5 mm, resp. 36,0 mm a výběrové rozptyly 1,21 mm2, resp. 1,44 mm2. Testujte hypotézu o rovnosti střední hodnoty kontrolovaných rozměrů v produkci obou strojů oproti oboustranné alternativě při a = 0,05. Svůj závěr explicitně zformulujte. (4) Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 13. ledna 2015 MB103 Spojité modely a statistika Čas: 100 minut Jméno: Skupina: C Místnost: 2. zkouška BDB3 ,„.,..... E příklad c j l_ učo c c l j c c L -j l- j body c L c j _D H B 3 H 5 E H B 9 Pravděpodobnost (6 bodů): Příklcld 2 (a) Uvažujte rodiny se třemi dětmi (předpokládáme stejnou pravděpodobnost kterékoliv z osmi kombinací pohlaví - děti rozlišujeme dle věku). Určete pravděpodobnost jevů „rodina má nejvýše jedno děvče" a „rodina má děvče i chlapce"; rozhodněte, zda jde o nezávislé jevy. (2) (b) Uvažujte kvadratický polynom x2 + ax + b, jehož reálné koeficienty splňují |a|